ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2011, том 45, № 4, с. 409-416
УДК 66.067.55
ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА ЦЕНТРОБЕЖНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ © 2011 г. В. Г. Жуков, В. М. Чесноков
Московский государственный университет прикладной биотехнологии
z-v-gr@mail.ru vmches@yandex.ru Поступила в редакцию 06.07.2010 г.; после доработки 27.09.2010 г.
Получено точное решение задачи напорной центробежной фильтрации без струеобразования в осадке в режиме промывки для определения величины радиуса расположения фильтрующей поверхности и функции изменения высоты барабана. Решение позволило предложить и рассчитать новую конструкцию с периферийной сужающейся областью барабана, имеющего существенно больший объем для набора осадка и при этом позволяющего обеспечивать сплошную, без струеоб-разования фильтрацию.
ВВЕДЕНИЕ
К 1960-м гг. работами Гриса [1—3], Сторруа [4], Соколова [5] и Шкоропада [6] была сформирована теория центробежной фильтрации. Ее основой служила формула Дарси [7]. Считалось, что во вращающемся барабане с периферийной цилиндрической фильтрующей поверхностью при любой производительности перед осадком возникает напорное кольцо жидкости, обеспечивающее избыточное давление, максимальное при втекании в осадок и равное нулю при протекании фильтрата через фильтрующую поверхность барабана. При этом поток фильтрата является сплошным и заполняет все сквозные поры осадка. Расчеты по ее формулам служили лишь ориентиром в назначении конструкторских и технологических параметров, поскольку в работающих машинах выявлялись неожидаемые эффекты, часто весьма вредные. Так, промывка осадка могла оказаться неэффективной: в осадке оставались непромытые зоны (20—50%), производительность могла существенно, в два—четыре и даже более раз отличаться от расчетной и др.
В конце прошедшего века теория центробежной фильтрации была уточнена [8, 9]. Наиболее важным результатом уточнения было установление факта и условий струеобразования фильтрационного потока в пористом осадке вращающегося ротора. Традиционное решение оказалось дополнением к многовариантным формам фактически реализуемых процессов [10]. Сделанное уточнение дало принципиально новые представления о процессе центробежной фильтрации и его параметрах. Возникли технологические понятия радиуса окружности струеобразования, расчетной минимальной производительности, при которой начинает образовываться напорное кольцо жидкости перед осадком, условия смены сплошного (напор-
ного) и струйного (безнапорного) режимов при различных параметрах работы машины и другие.
Струеобразование может приводить к появлению и росту прочных неизвлекаемых, приклеивающихся к барабану конгломератов, например, в производстве сахара и некоторых других суспензий пищевых и непищевых производств. Поэтому производственники часто говорят об искусстве, а не науке центрифугирования.
Уточненная теория центробежной фильтрации и появившиеся в этой связи технологические и конструкторские возможности позволяют правильно рассчитывать производительность, надежно промывать осадки в цилиндрических фильтрующих барабанах. Общее представление об особенностях уточненной теории центробежной фильтрации в одномерной постановке задачи и появившихся в этой связи технологических возможностях отражено в [11]. Струеобразование возникает при определенных, но практически всегда сопровождающих процессы центробежного фильтрования, условиях. Теория центробежной фильтрации с учетом струе-образования применима для любых суспензий, в том числе для образующих сжимаемые или несжимаемые осадки, в любых периодически или циклически действующих центрифугах, включая нецилиндрические. Однако она разработана только для одномерной задачи радиального течения (в цилиндрических барабанах постоянной высоты) для несжимаемых и сжимаемых осадков [12].
Важной является проблема увеличения объема барабана центрифуги с целью повышения общей производительности центрифуги. При этом не должно возникать струйного режима течения. Тривиальное увеличение объема за счет высоты барабана ухудшает динамические характеристики центрифуги. Увеличение объема за счет увеличения диаметра стабилизирует работу центрифуги. Однако
Рис. 1. Схема процесса центробежной фильтрации в комбинированном барабане, симметричном относительно плоскости вращения, с переменной по радиусу высотой h: hi, h(r) — половина высоты барабана в первой и второй соответственно областях; h2 — половина высоты фильтрующей поверхности.
увеличение диаметра барабана, т.е. объема осадка, при неизменной его высоте приводит к возникновению нежелательного режима струйной фильтрации. Увеличить диаметр барабана и при этом не допустить струеобразования возможно лишь, постепенно сужая высоту барабана. Фильтрация становится таким образом двумерной в осевой плоскости. Аналитическое решение такой задачи для барабана с внутренним объемом, симметричным относительно оси вращения, отсутствовало до настоящего времени. Отсутствовал ответ на важный вопрос: каков должен быть профиль барабана фильтрующей центрифуги, чтобы при заданных параметрах процесса и сохранении сплошного режима фильтрации можно было увеличить объем осадка в барабане за счет увеличения диаметра? Увеличение объема осадка напрямую связано со временем его набора и ростом средней за смену производительности центрифуги.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Рассмотрим общий случай, когда вращающийся барабан центрифуги с фильтруемым осадком состоит из двух кольцевых объемов (рис. 1). Внутренний объем с параллельными торцевыми стенками переходит по окружности радиуса Л2 в постепенно сужающийся симметрично срединной плоскости периферийный объем, завершающийся фильтрующей перегородкой по окружности радиуса Л3. Пористый изотропный, несжимаемый осадок заполняет внутренней объем барабана, начиная с окружности радиуса Л1. Жидкость подается в барабан со стороны оси вращения г с такой производительностью д, при которой перед осадком образуется напорное
кольцо жидкости толщиной Л1 — Л0, вращающееся с угловой скоростью барабана ю. Отвод фильтрата происходит сквозь цилиндрическую фильтрующую перегородку по радиусу Л3.
Определим условия фильтрации без струеобра-зования вплоть до радиуса Л3 и при этом условии закон уменьшения высоты к барабана от радиальной координаты г (рис. 1). Без потери общности решения примем сопротивление перегородки несущественным.
В соответствии с поставленной задачей будем считать, что область фильтрационного течения разбивается на две части. В первой части Яу < г < Я2, -Ну < г < Ну, а во второй части Я2 < г < Я3, -к (г) < < г < к (г), где г и г — оси цилиндрической системы координат. В силу симметрии течения относительно плоскости г = 0, будем решать задачу только для областей Яу < г < Я2, 0 < г < Ну и Я2 < г < Я3, 0 < г < к (г).
Исходными уравнениями для исследования данного фильтрационного течения являются уравнения Дарси, записанные в цилиндрической системе координат г, ф, г, при условии осевой симметрии, т.е. при д/дф = 0 и стационарности течения, т.е. при д\д1 = 0. Так как фильтрационное течение жидкости является медленным, то в уравнениях течения не учитывается кориолисова сила инерции. При этих условиях получим
к, = - k dP,
ц дг
Uz = - k дР,
ц dz
(1)
где иг, uz — проекции фильтрационной скорости точек жидкости на оси цилиндрической системы координат, к — коэффициент проницаемости фильтрата, ц — коэффициент динамической вязкости фильтруемой жидкости, Р — модифицированное давление по Дж. Бетчелору [13], иногда называемое условным динамическим [14], равное
Р = p
2 2 рю г
2 '
(2)
где р — давление, р — плотность жидкости, ю — угловая скорость барабана центрифуги. К уравнениям (1) должно быть присоединено уравнение несжимаемости фильтрационного потока
д (гиг ) + dZ К ) = 0.
дг dz
Решение системы (1)—(3) найдем при следующих граничных условиях:
г = 0: и® (г,0) = и? (г,0) = 0,
г = к,: и{? (г, к1) = 0,
г = Я2: и? (Я2,г) = и? (Я2,г), (4)
и? (Я2, г) = и? (2, г), Р(1) (Я2, г) = Р(2) (Я2, г),
г = Яу Р(2) (з,г) = -рш^, Ц^(Я3,г) = -рш2Яз.
2 дг
В граничных условиях (4) верхними индексами в круглых скобках обозначены значения величин соответственно в первой и второй областях течения.
Первое из граничных условий (4) отражает симметрию течения относительно плоскости г = 0. Второе граничное условие является условием непротекания жидкости в первой области через верхнюю границу (твердую плоскость). Третьи граничные условия представляют условия непрерывности скорости и давления при г = Я2, а четвертые граничные условия, на основании (2), выражают равенства нулю давления жидкости и первой производной от давления по координате г при выходе жидкости из барабана центрифуги. Необходимость выполнения последнего граничного условия для обеспечения сплошного потока фильтрата без струеобразования была обоснована в [8, 9]. Подстановкой выражений проекций скорости фильтрации из соотношений (1) в уравнение несжимаемости (3) получим двумерное уравнение Лапласа относительно модифицированного давления Р (г, г):
Ц + i dP + = 0.
dr r dr dz
(5)
R" +1 R' -X 2R = 0, r
(6)
Г + X = 0, (7)
где X2 — константа разделения.
Уравнение (6) является уравнением Бесселя, решение которого согласно [15] может быть выражено через две независимые функции 10 (X г) и К0 (X г) действительного аргумента, т.е.
Я (г) = 0 (Хг) + С2К0 (Хг). (8)
Решение уравнения (7) имеет вид
2 (г) = С3ео8 X г + С ^п X г. (9)
В выражениях (8), (9) С1, С2, С3, С4 — постоянные интегрирования.
Таким образом, получим
P (r, z) = [CI0 (Xr) + C2K0 (Xr)] X x (C3 cos Xz + C4 sin Xz). В целях большей общности получим частное ре шение уравнения (5) в виде
(10)
Р (г, г) = у /1 (г) + (1п г)/2 (г) + /з (г). (11)
После подстановки этого выражения в уравнение (5) имеем 2
2/1 (г) + ^ /1" (г) + (1п г )/2 (г) + /" (г) = 0. (12)
Равенство (12) будет иметь место для любых значений г и г только в том случае, когда 2/ (г) + /3" (г) = = 0, /¡' (г) = 0, /2" (г) = 0. Отсюда находим /1 (г) = Сг + С2, /2 (г) = Сзг + С4,
/з (z) = -C z3 - C2Z2 - C5z - C6
(13)
где С5,С6,С7, С8,С9,С10 — постоянные интегрирования. Таким образом, выражение (1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.