ГЕОМАГНЕТИЗМ И АЭРОНОМИЯ, 2014, том 54, № 4, с. 463-469
УДК 524.1-52:524.6
ДВУМЕРНОЕ ТРАНСПОРТНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ГАЛАКТИЧЕСКИХ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ КАК СЛЕДСТВИЕ РЕДУКЦИИ ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ
© 2014 г. М. С. Калинин, М. Б. Крайнев
Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, г. Москва e-mail: mkalinin@fian.fiandns.mipt.ru; krainev@fian.fiandns.mipt.ru Поступила в редакцию 20.06.2013 г. После доработки 09.09.2013 г.
Предложено осесимметричное транспортное уравнение для галактических космических лучей, являющееся следствием трехмерного по пространственным координатам уравнения, в котором трехмерность обусловлена только наличием в гелиосфере токового слоя произвольной формы. Особенность предложенного уравнения заключается в учете источника, связанного с вариациями трехмерной интенсивности ГКЛ. Уравнение может быть использовано для описания процессов модуляции ГКЛ в ге-лиосфере.
DOI: 10.7868/S0016794014040051
1. ВВЕДЕНИЕ
В последние годы значительные усилия исследователей были направлены на разработку теоретической базы для описания вариаций интенсивности галактических космических лучей (ГКЛ) в последовательных циклах солнечной активности на основе транспортного уравнения, впервые предложенного Крымским [Крымский, 1964] и Паркером [Parker, 1965]. Исследования структуры гелиосферного магнитного поля (ГМП) привели к выводу о важности дрейфового механизма модуляции и позволили естественным образом объяснить различие в поведении интенсивности ГКЛ в последовательных минимумах солнечной активности, отличающихся знаком ГМП [Jokipii et al., 1977; Jokipii and Kopriva, 1979]. Однако с точки зрения описания измерительных данных вклад стандартного дрейфового механизма модуляции до настоящего времени остается неясным [Podgi-eter et al., 2013].
Для описания долгопериодических (среднемесячных) вариаций интенсивности ГКЛ до гелиоцентрических расстояний r < 100 а.е. естественной является осесимметричная модель гелиосфе-ры и решение соответствующего транспортного уравнения. Наиболее общим подходом при формулировке осесимметричного уравнения является усреднение полного трехмерного по пространственным координатам (3D) уравнения по азимутальной координате в неподвижной сферической гелиоцентрической системе координат. Очевидно, такая процедура эквивалентна усреднению по солнечному обороту.
При формулировке осесимметричного уравнения важно не ограничиваться модельным описанием формы гелиосферного токового слоя (ГТС), широко используемым в настоящее время, поскольку реальный ГТС, определяемый как поверхность нулевого значения радиальной компоненты ГМП на поверхности источника, существенно отличается от его модельного описания. Ранее [Kalinin and Krainev, 1995, 1997; Krainev and Kalinin, 2009] было получено в общем виде неоднородное уравнение для усредненной по азимутальной переменной функции распределения (ФР), содержащее источник, зависящий от 3D вариаций ФР. В работе [Калинин, 2012] методом усреднения 3D уравнения в первом приближении получено замкнутое 2D транспортное уравнение для ГКЛ и определена полная эффективная скорость дрейфа частиц ГКЛ в гелиосфере. Однако вкладом трехмерной вариации ФР в среднюю скорость дрейфа вдоль ГТС пренебрегалось.
Цель данной работы состоит в учете этого вклада и получении замкнутого осесимметрично-го транспортного уравнения для ГКЛ. Здесь мы ограничимся случаем, когда трехмерность гелио-сферы обусловлена наличием ГТС произвольной формы, описываемого как поверхность, на которой паркеровское ГМП меняет знак. При этом полный учет вклада неоднородности уравнения, связанной со средним значением 3D вариации ФР, приводит к ослаблению дрейфового механизма модуляции ГКЛ в секторной зоне гелиосферы. В дальнейшем с целью упрощения математических выражений предполагается двухсекторность структуры ГМП.
2. ТРАНСПОРТНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ГКЛ
Транспортное уравнение может быть сформулировано для изотропной части ФР заряженных частиц ГКЛ в гелиосфере и в современном виде включает баланс четырех основных физических механизмов ее изменения: диффузию, дрейфы в неоднородном магнитном поле, конвекцию и адиабатические потери энергии:
ди/dt - V(KVu) + VVu + + VdVu - (VV/3)p(du/dp) = 0,
(1)
зависеть от всех координат г, 0, ф. Ее можно представить в виде
и(г, 0, ф, ?) = и (г, 0,0 + и(г, 0, ф, 0, (3)
U(r, 0, t) = (1/ 2 п) I u(r, 0, ф, t)dф, а u(r, 0, ф, t) удо-творяет условиям
ф+2п ф+2п
I u(r, 0, Ф,t)dФ = 0; I Vu(r, 0, ф, t)dф = 0. (4)
где и(г, р, ?) — ФР ГКЛ; ди/ д? и ди/ др — производные ФР по времени и величине импульса, соответственно; V — оператор набла; К — тензор диффузии; V — радиальная скорость солнечного ветра; Уй — скорость дрейфа частиц ГКЛ, р — импульс частицы. Относительно перечисленных коэффициентов уравнения (1) будем предполагать, что они в сферической гелиоцентрической системе координат с осью OZ, направленной вдоль оси солнечного вращения, не зависят от азимутальной переменной. Исключение составляет скорость дрейфа, поскольку она определяющим образом связана с формой поверхности ГТС:
V = V X [3(Ф(г,0)Кгия] = ЗУ^ + кт(УЗ X пя), (2)
где З(Ф(г, ?)) — знаковая функция, в общем случае зависящая от всех трех пространственных координат и времени. В простейшем случае бесконечно тонкого ГТС З представляет ступенчатую функцию: З(у) = 1 при у > 0, З(у) = 0 при у = 0 и З(у) = -1 при у < 0, где у — координата вдоль нормального к ГТС направления. Ф(г, 0, ф, ?) = 0 — уравнение поверхности ГТС (предполагается ф > 0 в северном полушарии гелиосферы и ф < 0 — в юж-
(г)
ном), У у = V х Кт п я — регулярная скорость дрейфа заряженных частиц; Кт = Ар\/(3дВ); V, q — скорость и заряд частицы, соответственно: В—величина пар-керовского ГМП; А = ±1 — знак магнитного поля в северном полушарии гелиосферы; пв представляет единичный вектор, направленный вдоль ГМП от Солнца. Таким образом, скорость дрейфа Уй в рамках принятого метода описания ГТС является суммой двух составляющих: регулярной скорости дрейфа, меняющей знак при переходе ГТС, и сингулярной составляющей, определенной на ГТС в пределах секторной зоны гелиосферы и не меняющей знака при пересечении токового слоя (знак этого слагаемого меняется только при инверсии ГМП).
Поскольку модель гелиосферы включает 3Б поверхность ГТС произвольной формы, ФР будет
i = r, 0, ф.
Отметим, что представление (3) является формально обоснованным при условии |и(г, 0, ф, t)/ U(r, 0, t)| <§ 1 везде в гелиосфере, однако в данной работе это условие явно не используется.
Наряду с исходной сферической гелиоцентрической системой координат с единичными ортами er, e0,eф в дальнейшем будем использовать локальную систему координат, определенную в произвольной точке поверхности ГТС, с единичными ортами:
И! = Б/B; n2 = -VO/|VO|; n3 = n х n2. (5)
Таким образом, выбранная тройка ортов образует правую ортогональную систему координат (для случая паркеровской структуры ГМП), n2 является нормалью к поверхности ГТС, направленной в сторону южного полюса гелиосферы, а n3 — касательным к нему вектором, нормальным к силовым линиям ГМП. Усредняя (1) по полному периоду изменения азимутальной переменной, приходим к уравнению [Krainev and Kalinin, 2009]:
dU/dt - V(KVU) + (V + vda))vU -- (VV/3)p(dU/dp) = -{VdVu),
(6)
где V¿a) = Vx (FKTnl) = FVj1 + KT (VF x n^ - полная бездивергентная средняя скорость дрейфа, в которой первое слагаемое справа описывает среднюю скорость регулярного дрейфа, второе — среднюю скорость дрейфа частиц ГКЛ вдоль ГТС,
F = (1/2 п) 3(Ф(г, t))dty, а V F связан с локальными характеристиками поверхности ГТС простым соотношением: VF = х (Pn2)^, в =
= l/(nr sin 0 eфп2|), фк — долгота точек пересечения с ГТС. Кроме того, функция F, как среднее по азимутальной переменной значение знаковой функции, не зависит явно от радиального расстояния r. Правая часть (6) представляет среднее (со знаком минус) по полному периоду азимутальной переменной значение дивергенции дрейфового потока, обусловленного вариацией ФР и. Условия (3) и (4) в общем случае не обеспечивают выполнение неравенства |Уи| < |V U| в пределах секторной зоны,
Иг)
содержащей ГТС, поэтому источник в правой части (6) может быть одного порядка с величиной V¿a)V U.
Важно отметить, что решение уравнения (6) U при конечных значениях углового раствора секторной зоны является гладкой функцией везде в области решения (V U везде непрерывен), поскольку как коэффициенты уравнения, так и неоднородность в правой части (6) являются непрерывными функциями. В предельном случае плоского ГТС (являющегося плоскостью магнитного экватора, не обязательно совпадающего с гелиоэкватором) как вариации и, так и ее градиенты стремятся к нулю, и уравнение (6) становится однородным 2D уравнением. При этом функция F ^ 1 - 2H(0 - 0M), VF ^ 28(0 - 0M)/r, где H — функция Хевисайда, 8 — дельта-функция, а 9M — полярный угол наклона плоскости ГТС. Поэтому на самом плоском ГТС V U будет разрывен, и из уравнения (6) следует условие, характерное для этого предельного случая [Jokipii and Kopri-
va, 1979]: V0U+ -V 0U" = -2(Kr/K±)V rU sin x, где KL — компонента тензора диффузии в направлении, перпендикулярном ГМП, х — угол между радиальным направлением и направлением ГМП, а верхние значки " + " и "—" обозначают знак магнитного поля.
3. 2D ТРАНСПОРТНОЕ УРАВНЕНИЕ
Воспользовавшись вторым из соотношений (4), правую часть уравнения (6) можно представить в виде
ф+2п
-(Уй V и = -(1/2 п) | [ Ух (%ХТ И!) IV ий ф =
ф
2
= -У«Г + - КтX фУ ииз)фк,
(7)
k=1
где / = (1/п) Г У;ийф = -/ = -(1/п) Г V¡ийф.
•Ф2 *Ф1
Отметим, что во втором слагаемом правой части (7) компоненты Vи являются касательными к плоскости ГТС и равны по обе стороны от ГТС в секторах с разными знаками ГМП. Кроме того, прямым вычислением в сферической гелиоцентрической системе координат можно показать, что второе слагаемое правой части (7) в общем случае удовлетворяет равенству: КтX2ч (РУии3)^ = -Кти1У х Г поэтому правая часть уравнения (6) может быть представлена в виде -У(КТи1 х Г+), имеющем явную
форму источника. При этом вектор Г+, на основании его определения, можно представить в виде
12
Л=1
что рот
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.