МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2010
УДК 533.6.011.72
© 2010 г. П. Ю. ГЕОРГИЕВСКИЙ, В. А. ЛЕВИН, О. Г. СУТЫРИН
ДВУМЕРНЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ, ПОРОЖДЕННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ С ОБЛАСТЯМИ ГАЗА ПОНИЖЕННОЙ ПЛОТНОСТИ
Теоретически исследуется плоское нестационарное течение, возникающее при взаимодействии прямого скачка уплотнения с областью газа пониженной плотности, занимающей четверть плоскости. Проведено численное моделирование на основе уравнений Эйлера. Установлено, что после соприкосновения скачка и области развиваются двумерные автомодельные течения различных типов. При регулярном взаимодействии происходит преломление исходного скачка на области пониженной плотности: ускоренный и исходный скачки, а также преломленный контактный разрыв сопрягаются в общей точке. При нерегулярном взаимодействии возникает сложное течение, включающее искривленные и косые скачки, изломанный контактный разрыв, множественные точки сопряжения, высоконапорную струю и слоистый вихрь. Детально исследована структура струи и вихря. Определены тенденции развития газодинамических структур при изменении определяющих параметров задачи. Предложена упрощенная "почти аналитическая" схема для оценки углов наклона основных скачков и параметров газа за ними.
Ключевые слова: распространение скачка уплотнения, взаимодействие скачков уплотнения, температурная неоднородность.
Задачи о взаимодействии скачка уплотнения с областями газа пониженной плотности возникают в различных областях газовой динамики, например, при изучении распространения ударной волны вдоль нагретой поверхности [1] или по газу, предварительно прогретому в результате физико-химических процессов. Широкий круг задач о распространении ударной волны по неоднородным и релаксирующим средам изучен в [2]. В [3] анализировались изменения в режимах дифракции ударной волны на клине, обусловленные наличием высокотемпературных областей различной формы. Близкая проблема взаимодействия головного скачка уплотнения перед затупленным телом с локализованными в набегающем сверхзвуковом потоке высокотемпературными включениями, порожденными мгновенным энерговкладом, изучалась в [4, 5]. При стационарном энерговкладе в сверхзвуковой поток формируется высокотемпературный след, взаимодействие которого с ударным слоем приводит к формированию "передних" отрывных зон [6]. В рамках модели идеального газа эффект возникновения стационарных передних отрывных зон должен проявляться при любой (даже сколь угодно малой) толщине следа [7]. Однако, согласно [8], для тонких "тепловых игл" могут быть реализованы лишь пульсирующие передние отрывные зоны. В [9] эффект пульсаций связывался с захватом отрывной зоной высоконапорной струи, возникающей при взаимодействии температурного следа с ударным слоем. Аналогичный эффект наблюдался в [10] для задачи взаимодействия тонкого канала СВЧ разряда с ударным слоем перед торцом цилиндра. Необходимость определения механизма формирования высоконапорной струи — одна из побудительных причин для выполнения настоящего исследования.
A
C
B
Фиг. 1. Начальное положение скачка уплотнения и области пониженной плотности: A — невозмущенный поток, B — неоднородность, C — газ за скачком
В настоящей работе теоретически исследуется плоское нестационарное течение, возникающее при взаимодействии прямого скачка уплотнения с областью газа пониженной плотности, занимающей четверть плоскости.
1. Постановка задачи. Для описания плоских двумерных нестационарных течений идеального совершенного газа используется модель, построенная на основе уравнений Эйлера:
д dt
Здесь р, р, и, и — давление, плотность и компоненты скорости вдоль осей х и у соответственно, е — полная энергия единицы объема газа. Используется модель идеального совершенного газа с постоянными теплоемкостями и показателем адиабаты у, поэтому выражение для е в уравнении энергии имеет вид:
fp' f pu f pu ^
pu pu dx 2 p + pu puu dy puu p + pu2 = 0
l e j i(e + p)uj K(e + p)uj
e =-Р-Y-1
+ Р
2 2 U + U
Для численного моделирования использовался явный конечно-разностный метод Мак-Кормака [11], на гладких решениях обеспечивающий второй порядок точности по времени и пространству. Скачки и тангенциальные разрывы рассчитывались "насквозь". При расчете одномерных течений на границах сетки использовалась аппроксимация производной "внутрь" по трем точкам, также имеющая второй порядок точности. Для подавления нефизических осцилляций параметров около фронтов ударных волн, характерных для численных схем высокого порядка точности, применялась процедура сглаживания [12]. Устойчивость схемы обеспечивалась ограничением шага по времени условием Куранта—Фридрикса—Леви.
2. Структура течения. Рассматривается задача о взаимодействии скачка уплотнения с четвертью плоскости, занятой газом пониженной плотности. Начальное положение области, занятой газом пониженной плотности, относительно скачка уплотнения схематически показано на фиг. 1. Область A, где p = p0, р = р0, u = M^/y, представляет собой невозмущенный поток газа; область B, где p = p0, p = pT = юр0, ю < 1, — неоднородность; область C — поток газа за скачком уплотнения. Параметры газа в области C задаются на основе соотношений Ренкина—Гюгонио так, чтобы скачок в невозмущен-
Фиг. 2. Взаимодействие скачка с областью, занятой газом пониженной плотности, изолинии плотности при М = 3, ю = 0.3: А — точка сопряжения лидирующего и косого скачков, С — тройная точка
ном потоке был неподвижен. Тогда определяющими параметрами задачи являются показатель адиабаты у, число Маха М и отношение плотностей газа ю = рТ/р0.
Изолинии плотности для М = 3, ю = 0.3 приведены на фиг. 2. У верхней и нижней границ расчетной сетки имеют место одномерные течения — невозмущенный прямой скачок и распад газодинамического разрыва соответственно. Основная часть расчетной области занята сложной ударно-волновой структурой, включающей лидирующий скачок АВ, опережающий исходный скачок В, косой скачок АС, соединяющий лидирующий и исходный скачки, тангенциальный разрыв АЕ и внутренний скачок СЕ. За внутренним скачком формируется высоконапорная струя, разворачивающаяся под действием разницы давлений на внешнем и внутреннем тангенциальных разрывах. В центральной области течения образуется крупномасштабный вихрь и слабый скачок уплотнения Е, распространяющийся со скоростью, сравнимой со скоростью лидиру-
Фиг. 3. Течение около тройной точки: изолинии плотности и линии тока в системе отсчета, связанной с тройной точкой: 1 — косой скачок АС, 2 — тангенциальный разрыв АЕ
ющего скачка. Искривление фронта исходного скачка около тройной точки С обусловлено интерференцией последнего с косым скачком АС.
В силу отсутствия в постановке задачи линейного масштаба течение автомодельно: распределения параметров газа в координатах ((х - х0)Д,(у - у0)/г), где (х0, у0) — суть координаты вершины угла неоднородности в момент встречи со скачком, идентичны во все моменты времени. Численное моделирование проводилось в неавтомодельных координатах (х, у, Г), и при пересчете на автомодельные переменные наблюдалось совпадение распределений параметров газа с точностью до относительного "размазывания" скачков и тангенциальных разрывов на несколько узлов сетки.
Расчет проведен на значительно более подробной, чем в [1, 2], сетке, что позволило выявить формирование высоконапорной струи, ее структуру, а также слоистый характер образующегося вихря (фиг. 3). Давление торможения газа, прошедшего два косых
5 Механика жидкости и газа, № 2
0.2
а
У \ ^ ' / ц
| 1 1 ! 1 1 1 1 \ 1
-0.2
ESW \ rJ" " 1
г ;
- / / / XV
1 vT ?} i
1 1 1 1
-0.2
0.2
Фиг. 4. Изолинии плотности при (M, ю) = (2,0.5) (2,0.7) (5,0.7) (5,0.8) (а—г)
скачка АС и СЕ и формирующего струю, значительно превышает давление торможения газа за исходным и лидирующим скачками. Внутренняя структура струи представляет собой нестационарный аналог центрированных волн Прандтля—Майера, замыкающихся на изломах внутреннего тангенциального разрыва и отражающихся от внешнего тангенциального разрыва. Вихрь состоит из перемежающихся слоев газа различной плотности: поступающего из струи и захваченного из области за лидирующим скачком. В целом течение в окрестности тройной точки — нестационарный аналог взаимодействия скачков типа Еёпеу-ГУ [13]. Отметим, что формирование кольцевого вихря, в схожей задаче [10] трактующееся как неустойчивость сдвигового слоя, по мнению авторов настоящей работы, является следствием взаимодействия ударных волн, не зависящим от наличия тела в потоке.
Описанное нерегулярное взаимодействие скачка с областью пониженной плотности имеет место при достаточно больших дефектах плотности (малых ш). При увеличении ю точки А и С сближаются и совпадают при ю = ю * (фиг. 4, а, б, г). При ю > ю * имеет место регулярное взаимодействие, характеризующееся преломлением исходного скачка и контактного разрыва в точке сопряжения. В исследованном диапазоне определяющих параметров переход к регулярному режиму слабо зависит от числа Маха: для М е (1.5,5.0) критическое значение ю * лежит в интервале (0.75, 0.8). При нерегулярном взаимодействии угол наклона и длина косого скачка не зависят от числа Маха, что согласуется с наблюдением [1]. При увеличении числа Маха угол разворота по-
0
0.2
0
0
Фиг. 5. Схема течения для нерегулярного взаимодействия скачка и области, Dq, Dj — скорости точки A и прямолинейного участка лидирующего скачка, а — угол наклона косого скачка
тока за косым скачком увеличивается, что приводит к уменьшению ширины высоконапорной струи (фиг. 4, б, в). Также при росте M увеличивается относительный размер вихря, и на картине изолиний более четко выделяются веера волн разрежения и уплотнения внутри струи.
3. Априорная оценка основных параметров течения. Может быть предложена схема для оценки основных параметров течения без проведения численного моделирования. На фиг. 5 представлена структура течения для нерегулярного взаимодействия. В [1] приведена аналитическая формула для оценки угла наклона косого скачка
(sin а = Vra), вывод которой ос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.