КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2013, том 58, № 2, с. 316-320
ПОВЕРХНОСТЬ, ТОНКИЕ ПЛЕНКИ
УДК 539.26:548.73
ДВУМЕРНЫЕ СЕЧЕНИЯ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ - ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИ ВОССТАНОВЛЕНИИ ПРОФИЛЯ ПЛОТНОСТИ
В РЕФЛЕКТОМЕТРИИ
© 2013 г. С. Б. Астафьев1, Б. М. Щедрин12, Л. Г. Янусова1
1 Институт кристаллографии РАН, Москва E-mail: bard@crys.ras.ru 2 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Поступила в редакцию 06.06.2012 г.
Рассмотрен метод построения и анализа сечений функционала %2 при решении обратной задачи ре-флектометрии, позволяющий наблюдать движение локальных минимумов при изменении одновременно нескольких параметров модели и облегчающий поиск глобального минимума в заданной области параметров. Алгоритм вычисления двумерных и трехмерных сечений реализован в пакете программ BARD (Basic Analysis of Reflectometry Data), визуализация получаемых результатов осуществлялась в среде Matlab. Продемонстрированы возможности использования двумерных сечений для анализа структурных особенностей реальных образцов слоистых пленок на твердой подложке.
DOI: 10.7868/S0023476113020021
ВВЕДЕНИЕ
Целью рефлектометрического эксперимента является восстановление профиля электронной плотности в глубь пленки путем поиска параметров модели, соответствующей минимуму функционала невязок х2 между модельной и экспериментальной кривыми интенсивности зеркального рассеяния излучения, падающего на образец при малых углах скольжения.
Искомую модель обычно представляют в виде набора ступенчатых слоев [1] с однородной плотностью, где каждый слой описывается четырьмя параметрами: толщиной ё, действительной 8 и мнимой в составляющими электронной плотности и шероховатостью а, характеризующей размер области сглаживания скачка плотности на межслоевой границе. Такой способ описания содержит ряд упрощений, наличие которых не дает возможности добиться в процессе минимизации полного совпадения расчетной и экспериментальной кривых, а лишь позволяет максимально приблизить решение к истинному значению. Кроме того, параметры электронной плотности, шероховатости и толщины слоев не являются независимыми, что приводит к необходимости выбора оптимальной модели среди набора решений, соответствующих локальным минимумам с близкими значениями х2.
Для поиска модели могут быть использованы различные математические методы минимизации, имеющие те или иные достоинства в каждом конкретном случае, но для выбора решения, от-
вечающего реальному профилю плотности, чаще всего необходимо привлекать дополнительную информацию и анализировать физический смысл получаемых параметров [2]. В ряде случаев существенно упростить поиск модели могут графические методы, разрешающие наглядно представить процесс нахождения решения. Предложенный в [3] алгоритм вычисления для анализируемой модели двух- и трехмерных сечений функционала х2 по заданному набору параметров реализован в пакете программ BARD. Для визуализации получаемых результатов использована связь со средой Matlab. Это позволяет следить за поведением локальных минимумов при изменении соответствующих параметров модели и облегчает отыскание глобального минимума в заданной области.
ДВУМЕРНЫЕ СЕЧЕНИЯ ДЛЯ ОДНОСЛОЙНОЙ ПЛЕНКИ
Наиболее эффективно использовать двумерные сечения для анализа структурных особенностей пленки (на подложке с известными параметрами), поперечный профиль плотности которой может быть представлен в виде одноступенчатой модели. В этом случае модель имеет только четыре варьируемых параметра (d, 8, в, а), из которых в очень слабо по сравнению с 8 влияет на изменение поверхности х2, а а частично зависит от d. Поэтому можно рассматривать только два параметра слоя (d и 8) и, построив двумерное сечение х2 в заданной области поиска, получить искомое решение в графическом виде, не прибегая к слож-
ной процедуре минимизации. Одновременно можно визуально оценить, какова погрешность полученных параметров, насколько устойчиво решение и единственно ли оно в заданной области.
Именно так была найдена модель профиля плотности 8 (рис. 1а) монослоя ТВЭ6а — молекулярных диад порфирина-фуллерена (рис. 1а врезка), нанесенного на кремниевую подложку методом Ленгмюра—Шефера. Соответствующие графики зависимости нормированной интенсивности зеркального рентгеновского рассеяния от величины нормальной составляющей вектора рассеяния qz — экспериментальная /ехр^) и модельная 1т°аре-флектометрические кривые — представлены на рис. 1б.
Построение двумерного сечения по 8} (рис. 1в) поверхности функционала невязок х2 выявило в области ожидаемых значений два достаточно близких по глубине минимума с разными значениями d и 8. Это позволило не только выбрать нужное решение, но и подтвердить его единственность, в то время как в процессе численной минимизации получение адекватных структурных параметров пленки зависело от удачного выбора стартовой модели и серьезной дополнительной проверки того, что найденный минимум является глобальным. Дополнительный анализ двумерных сечений при разных значениях шероховатости слоя а показал, что в данном случае этот параметр слабо влияет на положение глобального минимума. Профиль плотности, найденный путем численной минимизации, практически совпал по значениям параметров d и 8 с найденным ранее по двумерным сечениям.
Последующее уточнение профиля плотности того же монослоя двухступенчатой моделью (рис. 2а) выполнялось с помощью построения двумерных сечений по нескольким парам параметров d2}, 81}, 82} (рис. 2б, в, г). Представленные двумерные сечения наглядно продемонстрировали сложный многоэкстремальный характер поверхности х2. Хотя отдельные двумерные сечения не дают полного представления о многомерной области вблизи минимума, однако с их помощью удалось проследить тенденцию изменения параметров, оценить особенности поведения функционала невязок: скорость перемещения и изменение формы областей экстремумов, их количество в заданных границах и выявить глобальный минимум для двухступенчатой модели профиля плотности.
ДВУМЕРНЫЕ СЕЧЕНИЯ ДЛЯ ДВУХ-И ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛЕНКИ
Продемонстрируем применение двумерных сечений для исследования строения оптически прозрачной пленки ГГО^пВНБбее, приготов-
(а)
5, 10-6 8
I
100
10-2 10-4 10-6 10-8
X 1.0-
10
20
(б)
30 ^ а
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
qz, А-1
(в)
5, 10
100
40 20 80 60 40
^ А
Рис. 1. Результат восстановления профиля электронной плотности монослоя ТВВ6а на кремниевой подложке одноступенчатой моделью: а — модели профиля плотности 5^) без учета (точки) и с учетом (сплошная линия) шероховатости; на врезке — структурная формула ТВВ6а; б — экспериментальная (точки) и расчетная (сплошная линия) рефлектометрические кривые 1^) для указанной модели; в — двумерное сечение по параметрам 5} поверхности х 2.
6
4
2
0
0
318
АСТАФЬЕВ и др.
5, 10-6 8
(а)
(б)
х2 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
10
20
30 г, А
(в)
51, 10-
60 40
ё1, А
20
х 1.0
х
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
А
80
60 80 40 60
0 20 ё1, А
(г)
4 52, 10-
йг, А
20
Рис. 2. Уточненная двухступенчатая модель пленки ТБВба (врезка, рис. 1а): а — профиль плотности 6(г) без учета (точки) и с учетом (сплошная линия) шероховатости; б, в, г — соответствующие двумерные сечения %2 по параметрам {й?1, й-Ц}, {й?1, 61}, {^2, §2} для ступеней 1 и 2 модели (контрастными точками на графиках отмечены положения минимумов).
ленной из последовательно нанесенных на стеклянную подложку достаточно толстого оптически-прозрачного подслоя оксида индия—олова (1ТО) и монослоя цинковых диад фуллерена-пор-фирина ^пБНБбее). Такие ленгмюровские слои, перенесенные на поверхность прозрачной подложки, при однородной ориентации донорно-ак-цепторных диад в слое обладают возможностью направленного фотоиндуцированного переноса электрона и перспективны для создания тонкопленочных структур, способных превращать солнечный свет в электрическую энергию. Именно поэтому важно знать ориентацию молекул в формируемой пленке.
Наличие упорядоченности и преимущественную ориентацию диад в монослое можно оценить, восстанавливая профиль электронной плотности в поперечном сечении пленки при решении обратной задачи по данным рентгеновской рефлектометрии. Сложность заключается в необходимости выделения вклада в рассеяние от
образца весьма слабого изменения плотности тонкого органического слоя ZnDHD6ee на контрасте с резким скачком плотности на границе с гораздо более толстым подслоем 1ТО. Двумерные сечения и в данном случае могут быть использованы для облегчения поиска адекватной модели.
Исследуемая пленка состоит из слоев, резко контрастирующих между собой как по толщинам (от одного до нескольких десятков нанометров), так и по плотностям, различающимся в несколько раз (причем наиболее важно выделить именно малоконтрастные детали). Перечисленные особенности порождают достаточно сложную для расшифровки форму рефлектометрической кривой /(#г): очень широкая область полного внешнего отражения (ПВО), затрудняющая оценку соотношения плотностей подложки и образующих пленку слоев, слабо выраженные низкочастотные колебания кривой (определяемые малой толщиной и контрастностью в слое диад ZnDHD6ee) на фоне высокочастотных осцилляций Киссига (со-
2
0
0
0
0
—I-1-1-1-1-1-1--0-1-1-1-1-1-1-1-1—
820 840 860 880 900 920 940 820 840 860 880 900 920 940
Рис. 3. Двумерные сечения %2 по параметрам первичной однослойной модели пленки (/) 1ТО\^пВНВ6ее на стеклянной подложке (5) при варьировании нескольких пар параметров: а — {(/, 5/} и б — {(/, а/} при о/ = 0; в — {(/, 5/} и г — {(/, а/} при о/ = 10 А (контрастными точками и стрелками на графиках отмечены положения минимумов).
ответствующих значительной общей толщине пленки). В результате многомерная поверхность целевой функции х2 имеет множество близких по глубине локальных минимумов, попадания в каждый из которых в процессе минимизации почти равновероятны при незначительном изменении стартовых моделей. Это серьезно осложняет выбор решения, наилучшим образом отвечающего реальной структуре образца.
Использование двумерных сечений оказывается продуктивным на начальных этапах оценки структурных параметров пленки
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.