научная статья по теме ЕДИНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКОВОЙ ЧАСТИ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ВЗАИМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ В СПУТНИКОВОЙ СИСТЕМЕ ПЛАНЕТЫ Астрономия

Текст научной статьи на тему «ЕДИНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКОВОЙ ЧАСТИ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ВЗАИМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ В СПУТНИКОВОЙ СИСТЕМЕ ПЛАНЕТЫ»

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2013, том 47, № 5, с. 448-451

УДК 521.14

ЕДИНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКОВОЙ ЧАСТИ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ВЗАИМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ В СПУТНИКОВОЙ

СИСТЕМЕ ПЛАНЕТЫ

© 2013 г. М. А. Вашковьяк1, С. Н. Вашковьяк2, Н. В. Емельянов2, 3

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия 2МГУим. М.В. Ломоносова, Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, Москва, Россия 3Парижская обсерватория, Институт небесной механики и вычисления эфемерид, Франция

Поступила в редакцию 20.12.2012 г.

Авторами предложено специальное представление вековой части возмущающей функции взаимного притяжения спутников. В отличие от известных, оно имеет единую аналитическую форму для любого соотношения между большими полуосями орбит возмущаемого и возмущающего спутников.

DOI: 10.7868/S0320930X13040099

В задаче о движении главных спутников планет-гигантов в качестве основы мы используем модель возмущенных кеплеровских движений нескольких малых тел вокруг главного притягивающего центра по орбитам с малыми эксцентриситетами и малыми взаимными наклонами. Основная проблема состоит в учете взаимного притяжения малых тел, поскольку для главных спутников возмущения от нецентральности гравитационного поля планеты и возмущения, обусловленные притяжением Солнца, оказываются на несколько порядков меньшими. Наибольший интерес представляют вековые возмущения элементов орбит. Теория вековых возмущений описывает эволюцию орбит на больших интервалах времени и служит нулевым приближением при построении более точных теорий движения спутников. Вековые возмущения получаются из части разложения возмущающей функции, не зависящей от средних долгот тел. Аналитический метод исследования вековых возмущений предполагает отсутствие соизмеримостей низших порядков средних движений спутников.

Что касается аналитической теории движения главных спутников Урана, на которых в данный момент сосредоточен интерес авторов, то прогресс в точности получения вековых возмущений упирается в необходимость учета в разложении вековой части возмущающей функции членов четвертой степени относительно малых эксцентриситетов и взаимных наклонов орбит. Такие члены получены для задачи взаимных возмущений системы малых тел (планет или спутников) и опубликованы в статье (Ellis, Murray, 2000). Результаты воспроизведены также в монографии

"Динамика Солнечной системы" (Мюррей, Дер-мотт, 2009). Существенная особенность результатов Ellis и Murray (2000) состоит в том, что полученные громоздкие формулы представлены в двух различающихся вариантах: для случая, когда возмущающее тело является внешним по отношению к возмущаемому, и для случая внутреннего возмущающего тела.

В данной работе решается задача вывода формул, представляющих разложение вековой части возмущающей функции, независимо от того, каким является возмущающее тело по отношению к возмущаемому, внешним или внутренним. Так же, как и в классической теории Л агранжа-Лапласа, мы используем элементы Лагранжа. Разложение вековой части возмущающей функции ведется по степеням этих элементов с точностью до четвертых степеней эксцентриситетов и взаимных наклонов орбит. В отличие от классического варианта для создания более точной теории учет членов четвертой степени относительно элементов Лагранжа совершенно необходим. Однако при этом задача сводится к решению нелинейных дифференциальных уравнений. Заметим, что при анализе вековой эволюции спутниковых орбит слагаемые, содержащие четвертые степени эксцентриситетов и наклонов только возмущающего тела, не требуются, поскольку после подстановки возмущающей функции в уравнения движения эти слагаемые пропадают при ее дифференцировании.

Первым этапом намеченной разработки явилось получение аналитического выражения силовой функции материальных гауссовых колец, моделирующих почти компланарную систему слабо-

ЕДИНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКОВОЙ ЧАСТИ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

449

эллиптических спутниковых орбит. Или (другими словами) — получение возмущающей функции, осредненной по движению всех возмущающих тел. На втором этапе выполнено завершающее осреднение возмущающей функции взаимного притяжения по движению возмущаемого спутника.

Рассмотрим систему, состоящую из произвольного числа спутников J с массами mj (j = 1, 2, 3, ..., J), обращающихся вокруг центральной планеты массы m0 > mj вблизи ее экваториальной плоскости по почти круговым орбитам. Их невозмущенные большие полуоси обозначим через a. Введем прямоугольную планетоцентрическую систему координат Oxyz, в которой плоскость xOy совпадает с экваториальной плоскостью планеты, причем ось Ox пусть направлена в ее точку весеннего равноденствия, ось Oy — направлена в сторону ее орбитального движения, а ось Oz — дополняет систему координат до правой. Мы будем использовать предположения, естественные для системы главных спутников Урана: эксцентриситеты спутниковых орбит е. < 1, синусы их экваториальных наклонений s. = sin Ij < 1, средние движения спутников ñj = yjf (m0 + m¡ )aj^2, где f — гравитационная постоянная, несоизмеримы.

В системе J спутников выделим спутник с номером i, возмущаемый притяжением J — 1 возмущающих тел. Тогда возмущающая функция для i-го спутника определяется формулой

R = Е Rj' Rj = fmj

(

j=i

(j *{)

1 Г ' Yj

vAj

(1)

' J y

где r,, Yj — планетоцентрические радиус-векторы i-го иj-го спутников, соответственно, r = |rJ, А„ =

= Ir- — r-I i*, Vi-

Вековая часть возмущающей функции ^ — это результат ее независимого двукратного осреднения по схеме Гаусса

2п

2п

W = 2П JV(Mt)dMt, V¡(M¡) = f Е mj JrMj

, (2)

j=i (j *i)

Г - Г j

где М, Му — средние аномалии возмущаемого и возмущающего спутников соответственно.

В качестве основных элементов орбит будем использовать элементы Лагранжа:

(3)

Иj = вро^П], кj = е^ттсу,

и у = ХуС^П у, V у = ^п П у,

где п = Ц + юу, Ц — долгота восходящего узла, юу — аргумент перицентра орбиты у-го возмущающего спутника. Элементы с нижним индексом / будут относиться к возмущаемому спутнику.

Ранее в статье (Вашковьяк М., Вашковьяк С., 2012) получено выражение функции V (представляющей собой силовую функцию системы гауссовых колец) для малых значений эксцентриситетов орбит возмущающих тел с использованием гипергеометрических функций Гаусса Ш с точностью до третьей степени относительно еу включительно

Е

j k=0

V (^ y i, Zt, Ц j, aj, ej) =

'pkF (4,4 ^ j) + qkF (3,5 ;2; q j

(4)

где аргумент гипергеометрических функций определяется формулой

, = tíЕE ev

cJ 4 ¿Lij>

v=0

(5)

=

+ г2, Г = л/р? + Р/ = Ы + У?, а коэффициенты рк, дк, суть функции прямоугольных координат возмущаемого спутника х, у, I и больших полуосей орбит возмущающих спутников а.

Гипергеометрические функции, для которых третий параметр с является суммой первых двух (а и Ь), в частности, содержащиеся в формуле (4), допускают различные функциональные представления

F (a, b; c = a + b; z) =

Г (a + b(a) (b)

Е

Г(a)r(b)n=0(a + b)n n

/ \ ^

F (a, b; c = a + b; z )=Г(Г^ Е

(a), (b)

Г(a)r(b) ,=0 (n!)2 "2y (n + 1)-y (n + a) -1 (i - ), -y (n + b)- ln (i - z)J( Z) ,

(a)0 = 1 И = a (a + 1)(a + 2).....(a + n - 1),

d [1пГ (z)]

(6)

V(z) =■

dz

], Г (z) = je-ttz-1dt,

где в данном случае z = с,ц =

2a¿aj

2 2 уЩ + aj

+ О (е,-, ^ зь 8 у).

Представление функции Ш первой из формул (6) предпочтительнее для точек, не слишком близких хотя бы к одному из колец, когда ряд по степеням г сходится достаточно быстро, а в сумме по п достаточно ограничиться не слишком большим количеством слагаемых. Напротив, для точек пространства, очень близких к одному из колец, более полезной является вторая из формул (6) в виде ряда, содержащего степени 1 — г. При г = 1 точка принадлежит эллиптическому кольцу, а

3

n

0

450

ВАШКОВЬЯК и др.

функция Ш имеет особенность, вблизи которой она изменяется как 1п(1 — г).

Получение аналитического выражения функции №. требует выполнения стандартных, но достаточно громоздких преобразований и нахождения определенных интегралов от функции V.

Для рядов по степеням г эти преобразования выполнены с точностью до четвертой степени включительно относительно малых параметров и 8.. Они подробно описаны в статье (Вашковьяк и др., 2013), а здесь мы приводим формулы лишь для так называемых "лагранжевых" слагаемых вековой части возмущающей функции

w = £ w = £

v j

j=1 (j *)

Ь*')

1

2 , 2

+ a J

[h2 + k2 - u2 - v2 + 2(uiUj + ViVj)])

- ( + kikj )(4 Df + Dj ^

(1)

Здесь введены функции больших полуосей, играющие роль коэффициентов Лапласа в классических разложениях

(7)

Cf = £nmBlj Df = £

n=0

n=0

n + 1

BnZn (m = 1,2), (8)

в которых числовые коэффициенты Bn определяются рекуррентной формулой

Bn =11 -1 +

n 16n

Bn-1, n > 0, B0 = 1. (9)

Для рядов по степеням 1 - с; соответствующие преобразования в настоящее время выполнены с точностью лишь до второй степени включительно относительно малых параметров, а результат описывается нижеследующими формулами:

W = £ Щ = 4W2 £ J^2

j=1 j=1 V "j

(j*) (j*) Фу = [h2 + k2 - u2 - v2 + 2 (UiUj + ViVj)]

1 -§j

■ 2C'

(2,2)

(

(2,1)

■ 2C'

(1,1)

,^(1,2) ,13^(0,2) j + C'j

3 Cj1 )ln (1 -«;, )

- 2DjД) - 2D™ - 3 D™ 8

(10)

- (hihj + kikj) x

^ + 16Cj2'2) + 32C^

1

+ I16CP

+ 61 c (0,2) + л C'j

4

+ 19Cf +15 1 4

C Г) ln (1 -? i )-

- 16DjД) - 19Dj Д) - ^ DjД)

Здесь введены функции, аналогичные (8)

C u

(P,9)

= 1 + £-n—

t: (»+1)

Bn ((-Z j ),

D'f,9) = 6ln2 + £-

(11)

Gn (1 -Z„)n (p,q = 0,1,2), (n + 1)9 Л

а числовые коэффициенты Gn определяются рекуррентной формулой

Gn =11 -1 +

n 16n n > 0,

G«_1 +

8n

G0 = 6ln2.

- Л IB.

Jn-b

(12)

Степенной ряд относительно параметра

Zj =

2a ¡aj

2 2

Vai + ai

< 1

дает единое выражение как для внешних, так и для внутренних возмущающих спутников (независимо от соотношения aj и ay). Использование одного этого ряда вместо двух различных рядов по степеням отношений a/aj и a/ai доставляет известные преимущества при программной реализации вычисления вековых возмущений. Однако за такую универсальность приходится "расплачиваться" увеличением количества слагаемых в сумме по "n" (по сравнению с использованием

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Астрономия»