научная статья по теме ЭФФЕКТ КУМУЛЯЦИИ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ С ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТЬЮ ГАЗА ПОВЫШЕННОЙ И ПОНИЖЕННОЙ ПЛОТНОСТИ Физика

Текст научной статьи на тему «ЭФФЕКТ КУМУЛЯЦИИ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ С ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТЬЮ ГАЗА ПОВЫШЕННОЙ И ПОНИЖЕННОЙ ПЛОТНОСТИ»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2011

УДК 533.6.011.72

© 2011 г. П. Ю. ГЕОРГИЕВСКИЙ, В. А. ЛЕВИН, О. Г. СУТЫРИН

ЭФФЕКТ КУМУЛЯЦИИ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ С ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТЬЮ ГАЗА ПОВЫШЕННОЙ И ПОНИЖЕННОЙ ПЛОТНОСТИ

Исследовано взаимодействие плоского прямого скачка уплотнения с эллипсоидальными областями пониженной и повышенной плотности в идеальном совершенном газе. Обнаружены качественно различные режимы взаимодействия — регулярные и нерегулярные. Отмечено, что в результате нерегулярного взаимодействия формируется сложное течение, включающее преломленные скачки уплотнения, тангенциальные разрывы и вихри. Исследован эффект кумуляции скачков уплотнения на оси симметрии, имеющий место внутри или вне неоднородности для газа как пониженной, так и повышенной плотности. Исследовано качественное и количественное влияние формы неоднородности на эффект кумуляции.

Ключевые слова: распространение скачка уплотнения, неоднородность, идеальный совершенный газ, кумуляция.

Исследование задач о взаимодействии скачка уплотнения с областями газа пониженной или повышенной плотности проводилось в связи с приложениями в горении и детонации, управлении сверхзвуковым обтеканием тел, изучением процессов в сверхзвуковых воздухозаборниках. Широкий круг задач о распространении ударной волны по неоднородным и релаксирующим средам изучен в [1], в частности, отмечено сходство между взаимодействием скачка с областями горячего или реагирующего газа. В [2] исследована задача о прохождении плоской ударной волны через термик — сферическую область горячего газа; обнаружено формирование висячего скачка уплотнения у границы термика и эффект выпрямления фронта волны при удалении от нагретой зоны. Подробный обзор современного состояния исследований по проблеме распространения ударной волны по газу, содержащему неоднородность плотности, представлен в [3, 4]. К настоящему времени хорошо изучено явление искажения формы неоднородности, а также формирование и развитие вихревых структур, характерных для таких задач. В [2, 5, 6] также отмечен эффект кумуляции скачков уплотнения на оси симметрии, однако возможности вычислительной техники тех лет не позволили до конца исследовать данное сложное газодинамическое явление.

В настоящей работе численно исследуется взаимодействие плоского прямого скачка уплотнения с эллипсоидальной областью, заполненной газом пониженной или повышенной плотности. Цель данной работы — изучение ударно-волновых структур и кумулятивных эффектов в рамках классической газовой динамики — обуславливает выбор модели идеального газа для описания течения. Специфика задачи позволяет ожидать, что вязкость газа может оказать существенное влияние лишь на степень "размазывания" скачков уплотнения и тангенциальных разрывов, а также максимальные значения параметров газа при кумуляции.

1. Постановка задачи. Для описания осесимметричных нестационарных течений идеального совершенного газа используется модель, построенная на основе уравнений Эйлера

р^ ( ри ( Ри '-ри/ г л

ри 2 р + ри рии р + ри2 -рии! г -ри2/г

Ри р ии дг

е у V (е + р)и у V (е + р)и у - (е + р)и/г у

д дг

Здесь р, р — давление, плотность, и, и — компоненты скорости вдоль оси симметрии z и оси г соответственно, e — полная энергия единицы объема газа. Применяется модель идеального совершенного газа с постоянными теплоемкостями и показателем адиабаты у = 1.4, поэтому выражение для e в уравнении энергии имеет вид

2 2 р , и + и

е = + р-

у-1 2

Для численного моделирования использовался явный конечно-разностный метод Мак-Кормака [7], на гладких решениях обеспечивающий второй порядок точности по времени и пространству. Скачки и тангенциальные разрывы рассчитывались "насквозь". Применялась равномерная прямоугольная расчетная сетка, на границах которой производилась аппроксимация производных внутрь по трем точкам, также имеющая второй порядок точности. Для подавления нефизических осцилляций параметров около фронтов ударных волн, характерных для численных схем высокого порядка точности, применялась процедура сглаживания [8]. Устойчивость схемы обеспечивалась ограничением шага по времени условием Куранта—Фридрихса—Леви.

2. Структура течения. Рассматривается задача о взаимодействии плоского скачка уплотнения, распространяющегося по неподвижному газу, с эллипсоидальной областью пониженной или повышенной плотности — "газовым эллипсоидом". Вектор скорости распространения скачка совпадает с осью симметрии задачи. Определяющие параметры задачи — показатель адиабаты у, число Маха М падающего скачка уплотнения, отношение плотности газа внутри эллипсоида к плотности покоящегося газа ю = рт/р0 и длины a, Ь полуосей эллипсоида, направленных вдоль осей z и г соответственно.

Для фиксированных параметров М, a, Ь в зависимости от дефекта плотности реализуются качественно различные режимы течения — регулярные и нерегулярные. Если параметр ю близок к единице, имеет место регулярное преломление скачка на газовом эллипсоиде. При малом недостатке плотности (0.8 < ю < 1) при прохождении скачка через границу эллипсоида формируется отраженная слабая волна разрежения, внутри эллипсоида распространяется преломленный скачок с большей скоростью, чем исходный скачок. При малом избытке плотности (1 < ю < 1.1) формируется слабый отраженный скачок уплотнения, а преломленный скачок распространяется с меньшей скоростью, чем исходный. В обоих случаях преломленный и исходный скачки в каждый момент времени сопрягаются в единственной точке на границе эллипсоида, и после прохождения скачка уплотнения неоднородность в газе приобретает форму эллипсоида, сжатого вдоль оси z по сравнению с исходным.

3. Нерегулярное преломление скачка на "легком газовом эллипсоиде". Если отношение плотностей достаточно мало (ю < 0.8), то реализуется качественно иное течение. По мере распространения скачка вдоль границы эллипсоида наблюдаются несколько режимов сопряжения исходного и преломленного скачков и тангенциальных разрывов, определяющиеся углом наклона касательной плоскости к границе эллипсоида в точке сопряжения со скачком (фиг. 1). На начальном этапе преломления скачка реализуется регулярный режим сопряжения скачков в одной точке (фиг. 1, а). По мере увеличения угла между исходным скачком и касательной плоскостью формируется скачок уплотнения F (фиг. 1, б) и локальная область повышенного давления за ним.

Фиг. 1. Сопряжение скачков уплотнения и тангенциальных разрывов на границе эллипсоида для М = 2, ю = 0.3, а = Ь = 0.2: изолинии плотности, a, Ь — полуоси эллипсоида вдоль х, г; регулярный (а), нерегулярный (б) и двойной маховский (в) режимы сопряжения скачков; A, D — невозмущенная и преломленная границы эллипсоида; B, C, F — исходный, преломленный и отраженный скачки; E — отраженная волна разрежения; H — ножка Маха

При дальнейшем увеличении угла возникает двойное маховское сопряжение, характеризующееся образованием двух тройных точек и соединяющей их ножки Маха H (фиг. 1, в). Ударно-волновая структура, формирующаяся в последнем случае, аналогична структуре предвестника, образующегося при преломлении скачка уплотнения на четверти пространства, занятой газом пониженной плотности [9].

Несовпадение направлений градиентов плотности и давления на деформированной границе эллипсоида приводит к формированию кольцевого вихря (V на фиг. 2), развитие которого для случая а = Ь описано в [3, 4].

Проведение расчета на подробных сетках позволило детально изучить распространение отраженного скачка уплотнения P, формирующегося при выходе преломленного скачка C в покоящийся газ. Интенсивность и направление распространения каждого участка фронта скачка P определяется углом наклона касательной плоскости к поверхности эллипсоида в точке выхода в покоящийся газ соответствующего участка скачка C. Участки фронта скачка ^ прилегающие к оси симметрии, распространяются вдоль последней, а удаленные от оси — по направлению к ней, что приводит к "опрокидыванию" скачка — формированию тройной точки и кумулятивного скачка Q (фиг. 3). При отражении скачка Q от оси симметрии формируется локальный скачок уплотнения, распространяющийся вдоль оси симметрии вслед за скачком C. Скачок большей интенсивности, распространяющийся в противоположную сторону, формируется после кумуляции — достижения тройной точкой оси симметрии. Таким образом, эффект кумуляции в задаче о взаимодействии головного скачка уплотнения перед быстролетящим телом с температурной неоднородностью [5], считавшийся следствием наличия ударного слоя перед обтекаемым телом, обусловлен свойствами отраженного скачка ^

При фиксированных М, ю траектория тройной точки может пересекать ось симметрии как внутри, так и снаружи деформированного эллипсоида в зависимости от длин полуосей a, Ь. Для М = 2, ш = 0.3 фокусировка скачков на оси симметрии происходит внутри деформированного эллипсоида при а > Ь и снаружи него при а < Ь. Наиболее интенсивная кумуляция имеет место в случае а = Ь, когда траектория тройной точки пересекает ось симметрии в горячем газе вблизи контактного разрыва D. Данное свойство обусловлено тем, что в случае а < Ь эффект опрокидывания скачка P менее выражен, а в случае а > Ь скачок обладает меньшей интенсивностью. Максималь-

Фиг. 2. Формирование отраженного скачка уплотнения P при прохождении преломленного скачка через границу эллипсоида: изолинии — давления; D — деформированная граница эллипсоида, G — вышедший в невозмущенный газ скачок C, V — вихрь, прочие обозначения, как на фиг. 1

Фиг. 3. Опрокидывание скачка уплотнения P и формирование кумулятивного скачка Q, обозначения, как на фиг. 2

Область газа Р/Р0 Р/Р0 Т/Т0 = (Р/Р)/(Р0/Р0)

За исходным скачком 4.5 2.7 1.7

Область кумуляции в горячем газе 13.5 2 6.75

На фронте скачка Р, прошедшего 10 5 2

контактный разрыв D

ные давление и температура газа достигаются в локальной области на оси симметрии в момент кумуляции (см. таблицу).

Приведенные параметры отнесены к соответствующим параметрам покоящегося газа вне неоднородности. Наибольшую плотность имеют частицы вблизи оси симметрии на фронте скачка Р после куму

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»