ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 2, 2015
УДК 534.1
© 2015 г. Израилович М.Я.
ЭФФЕКТ СИЛЬНОГО ГАШЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ПРИ МАЛОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ВИБРОГАСЯЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
Рассматривается одномассовая механическая система с изменяющейся по гармоническому закону жесткостью с частотой параметрического возмущения, приблизительно совпадающей с удвоенной частотой собственных колебаний системы и содержащую произвольную нелинейную симметричную силу. Имеет место главный параметрический резонанс, когда амплитуда установившихся колебаний может достигать больших значений. Для снижения амплитуды в систему вводится активное силовое виброгасящее воздействие ограниченной интенсивности, структура и параметры которого определяются на основе вариационных методов. Показано, что для некоторых классов нелинейностей обеспечение малых амплитуд колебаний можно достигнуть при малых значениях интенсивности виброгасящего воздействия.
Рассмотрим нелинейную одномассовую систему с параметрически возмущаемой жесткостью
2
х + 2кх + ю0( 1 + ксоъ2Ш)х + /(х, х) = 0, (1)
где кооя ю2? — параметрическое возмущение; к — его амплитуда; 2ю — частота (предполагаем, что величина ю близка к „[ЮЮО—к2); /(х, х) — симметричная функция.
Амплитуда установившихся колебаний системы (1), имеющих место в силу приведенных допущений, в условиях главного параметрического резонанса может достигать достаточно больших значений даже при малых величинах к [1, 2]. Для ее снижения наиболее эффективным путем является введение активного виброгасящего воздействия [3], которое может быть силовым и параметрическим.
В настоящей статье рассматривается случай введения силового виброгасящего воздействия. При этом уравнение (1) принимает вид
2
х + 2кх + ю0( 1 + ксоъ2ю()х + /(х, х) = и(х, х), (2)
где и(х, х) — подлежащее определению силовое виброгасящее воздействие, на интенсивность которого в общем случае налагается ограничение
Здесь ю — частота виброгасящего воздействия; Ур — заданная константа, характеризующая предельный ресурс интенсивности виброгасящего воздействия.
(3)
0
Из (3) при p = 1 следует ограничение на импульс виброгасящей силы: при p = 2 — на ее интегральное квадратичное значение и при p —»- да — на амплитуду.
В результате замены в (3) переменной это ограничение переписываем в виде
т 1
( Л p 1
I J|UpávÁ <юрVp. (4)
о
Дальнейшая процедура решения задачи аналогична изложенной в [3]. Уравнение (2) переписываем в виде
2 2
[5 + 2ks + ю0(1 + hcos2raí)]x + f(x, sx) = и(x, sx), (5)
где s — оператор дифференцирования.
В соответствии с процедурой метода гармонической линеаризации [4] установившееся решение уравнения (5) ищем в виде
x = A sin у, у = ю t + ф, (6)
где A — амплитуда, у — полная фаза, ф — фазовый сдвиг.
После гармонической линеаризации уравнения (5) определяем следующее уравнение:
s2 + 2ks + ®2 + w1 (ф) + w2(ф) -1 + f1(A, ю) + f2(A, ю) -1 . ю ю_
x = I и1 + и2—Ix, (7)
где
/ ч hю0 , . hю0 . _
^1(ф) =--— cos2 ф, ^2(ф) = 2 sin 2 ф,
2п
f1 (A, ю) = -1 Jf(A sin у, юА cos у) sin у dy,
0
2п
f2(A, ю) = -1 Jf(A sin у, юA cos у) cos у dy,
(8)
2п 2п
11
и1 = — Г и sin ydy, и2 = — Г и cos у dy. nA J п A J
| и c
00
В характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (7), подставим значения 5 = _/ю, что соответствует периодическому режиму с частотой ю, и после отделения вещественной и мнимой части определяем следующие соотношения, связывающие амплитуду установившихся колебаний А, фазовый сдвиг ф и виброгасящее воздействие:
^(А, ю) + w1 (ф) = и1, Б2(А, ю) + ^2(ф) = и2, (9)
где
22
Д1(А, ю) = /1(А, ю) + ю0 - ю , 02(А, ю) = /2(А, ю) + 2кю.
0
Из (9) следует, что при отсутствии виброгасящего воздействия амплитуда колеба-
2 2 2 2 ний определяется из уравнения В1 (А, ю) + В2 (А, ю) = (ф) + (ф), или с учетом
выражений для ^(ф), ^2(ф)
2 /л 2
Я?(Л,ю) + в\(А,ю) = [^ . (10)
Пусть A = A* — максимальный корень уравнения (10), соответствующий устойчивому периодическому режиму.
Целью введения виброгасящего воздействия u(x, x) является снижение амплитуды параметрических колебаний до достаточно малой величины A (A A*), при этом требуется найти такое виброгасящее воздействие u0(x, X), которое имеет минимальную интенсивность Vp (3).
Из (8), (9) следует, что искомая функция u0 должна удовлетворять интегральным соотношениям (изопериметрическим условиям)
2п 2 п
J u sin у dy = a^A, ф), J u cos y dy = a2(A, ф), (11)
0 0
где
a:(A, ф) = nA[D 1(A, ю) + ^(ф)], a2(A, ф) = nA[D2(A, ю) + ^2(ф)]. (12)
Предварительно предполагаем, что задано значение не только амплитуды A, но и фазы ф, и решаем вспомогательную задачу: найти функцию u0 (у), удовлетворяющую
условиям (11) и имеющую минимальную интенсивность , соответствующую минимуму левой части неравенства (4).
Далее ограничимся двумя случаями: p = 2 и p = 1. В первом случае
u0(y) = 1 [ai (A, ф) sin у + a2(A, ф) cos у], (13)
п
а минимальная интенсивность (A, ф) определяется выражением
V2(A, ф) = -1-[a1(A, ф) + a2(A, ф)]. (14)
С учетом введенных обозначений для функций Л1(А, ю), Л2(А, ю), ^1(ф), ^2(ф) выражение (14) преобразуем к виду
2
V>(A, ф) = {в2, (A, ю) + (A, ю) +
(О
(15)
2 4"
+ 2^-[D2(A, ю)sin2ф - В1 (A, ю)cos2ф] +
В результате алгебраических преобразований выражение в правой части равенства (15) приводим к виду
v2(A, ф) = ^{^ю)! 2 + 2Н22\В(А,ю)\ sin (2ф - ф1) + ^ J, (16)
где
,п/ , ч|2 „2,. ч „2, . ч В2(А, ю)
В(А, ю)| = В1 (А, ю) + В2(А, ю), Ф1 = агссс^-^-;.
В(А, ю)|
Наиболее эффективным является гашение с минимальной величиной У° . При этом
следует определить такое значение ф0, при котором величина —2
—2 (А, Фо)
достигает ми-
нимума по ф. Из (16) видно, что такое условие будет, если 2ф — ф: = -п , ф0 = 1 ф1 — п .
Из (16) следует, что минимальное значение интенсивности виброгасящего воздействия —2 (А) определяется по формуле
^2(А,фо) = — (| В (А, ю)| 2.
ю 4 2 '
(17)
При ограничении на интегральное квадратичное значение виброгасящего воздействия введем обозначение У2 = ю —2 /п. Тогда равенство (17) записываем в виде
А
В(А)|
—2,
(18)
где для краткости опущена зависимость Б от ю.
Выражение (18) можно рассматривать как неявную зависимость амплитуды установившихся колебаний А от интенсивности виброгасящего воздействия У2 . Для того, чтобы проанализировать характер этой зависимости, следует определить дА/д У2,
имея в виду, что уравнение (18) задает в неявном виде зависимость А от У2 в силу (18) получим
2А
2_,
В(А)|
йА .2 —=■ + А
йУ2
2_,
В (А )|
й\В(А)| йА йА йУ2
1.
(19)
С учетом равенства (18) уравнение (19) относительно йА/й У2 принимает вид
2
2 У2 ,2
—2 + А
А
В(А)|
й\ В(А)\ I йА = 1 йА |йУ2 .
(20)
Из (20) следует
йА йУ2
——2 + А2
А
В (А )| ■
й\ В (А ) \ йА
-1
(21)
Отсюда следует, что при выполнении неравенства
2 _ В (А) 4М < 2—2, йА > о.
йА
А
йУ,
Если левая часть неравенства (22), т.е. второе слагаемое в (21) отрицательно, то _ 2_
йЛ
йУ2
> 0 . Если же
2
ЫМй|В(Л)1 п йЛ
В(Л)--——- > 0, то неравенство > 0
. 2 \ йЛ йУ2
выполняется и в
общем случае. Из этого следует возможность достижения малых значений амплитуды параметрических колебаний при слабой интенсивности виброгасящего воздействия.
При ограничении на амплитуду виброгасящего воздействия \и\ < и0 уравнение, связывающее амплитуду параметрических колебаний А и амплитуду виброгасящего воздействия и0, по аналогии с уравнением (18), имеет вид
Л
В (Л )|
16 те
(23)
Вычислив производную йА/йи0 по изложенной процедуре, с учетом (23) получим
йЛ = 132 Щ+Л2
йЩ 1 Л п2 Из (24) следует
В (Л )|
й\В(Л)| I 32Щ
йЛ
(24)
йЛ
йЦ г
> 0 , если Л
о
2
В (Л )|
2
й\В(Л)\ < 32Що йЛ п2
йЛ
и если второе слагаемое в формуле (24) отрицательно. В любом случае -> 0 даже
йЦо
если это слагаемое положительно. Следовательно, как и в случае интегрального квадратичного ограничения, при ограничении на амплитуду виброгасящего воздействия может иметь место эффект сильного гашения параметрических колебаний при малой амплитуде виброгасящего воздействия.
В частном случае при нелинейности типа квадратичной диссипативной силы и интегральном квадратичном ограничении на интенсивность виброгасящего воздействия эффект сильного гашения параметрических колебаний изложен в [3, 4, 5].
Приведем пример такого эффекта в системе с квадратичной жесткостью, динамика которой описывается уравнением
х + ®2 (1 + к ео82юг )х + цх|х| = и (25)
при интегральном квадратичном ограничении на интенсивность виброгасящего воздействия и.
8 0
В данном случае В(А)| = ц— Л , в силу чего уравнение (18), связывающее А и У2 ,
3п 2
принимает вид
Л Гц — Л
V 3 п 2
ю,
у2
00
(26)
При заданной величине интенсивности виброгасящего воздействия У° = У2 из уравнения (26) определяем значение минимальной амплитуды колебаний системы (25)
Л
2
ю0 к
где ц ^
3п
(27)
Из (27) следует, что АшЬ является монотонно возрастающей функцией У2 и при
V = 0 А„
0.
п
A 5,5 4,5 3,5 2,5 1,5
150 Рис. 1
150 Рис. 2
Рис. 1. Рис. 2.
Колебания системы с квадратичной нелинейной упругостью при отсутствии виброгашения: 1 — V = 0 при ц = 0,1
Колебания системьг с квадратичной нелинейной упругостью при введении силового воздействия малой интенсивности
Соответствующий амплитуде закон силового виброгашения с обратной связью, как следует из (13) и результатов [3], определяем по формуле
u*(x) =--—
®0V2,
(28)
С целью верификации полученных результатов было проведено компьютерное моделирование1 системы (25) и (28). При этом в систему вводили не учитываемое ранее вязкое трение
X + 2кХ + ю0( 1 + hcos2 rn0t)x + ц |x|x = u*(x), (29)
где k = 0,01; ю0 = 1; ц = 0,1; h = 1 с начальными условиями х(0) = 0, xx (0) = 0,1.
На рис. 1 приведен результат решения уравнения (29) при u* = 0. На рис. 2 приведены результаты при V2 = 0,01 и V2 = 0,001 при ц = 0,1. Из рис. 2 видно, что численный эксперимент подтверждает наличие указанного выше эффекта.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1971. 283 с.
2. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.