ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 96, № 5, с. 776-782
ТРЕТИЙ СЕМИНАР ПАМЯТИ Д.Н. клышко
УДК 621.375.9;535.01
ЭФФЕКТ СВЕРХНАКАЧКИ ПОЛЕВОЙ МОДЫ ОДНОАТОМНОГО МАЗЕРА В ПРОЦЕССЕ КВАНТОВОГО СКАЧКА
© 2004 г. Г. П. Мирошниченко
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики,
197101 Санкт-Петербург; Россия E-mail: mrosh@mkk.ifmo.ru, gpmirosh@yahoo.com Поступила в Редакцию 17.07.2003 г.
Метод Монте-Карло использован для численного моделирования случайной последовательности (траектории) отсчетов идеального селективного к энергетическим состояниям атома детектора на выходе одноатомного мазера. Получены фрагменты траектории, когда микромазер совершает квантовые скачки с увеличением (скачок вверх) и уменьшением среднего числа фотонов моды. Сформулирована идеальная динамическая модель квантового скачка на основе представления о критической флуктуации, когда подряд обнаруживаются несколько десятков атомов в одинаковом состоянии. Получены приближенные формулы для зависимости среднего числа фотонов и скорости его изменения от числа пролетевших через резонатор атомов на траектории скачка. Оценена вероятность квантового скачка в идеальной модели. Показано, что учет неидеальности скачка повышает его вероятность на несколько порядков. Большая скорость квантового скачка вверх (эффект сверхнакачки) связывается с возможностью перераспределения фотонов между подансамбля-ми состояний моды. Дана оценка вероятности неидеального квантового скачка и оценено наиболее вероятное число прерываний (противоположных вылетов) в идеальной траектории скачка.
ВВЕДЕНИЕ
Уравнения квантово-механической динамики микросистемы позволяют по начальным данным найти вероятности обнаружения любого ее микросостояния в процессе однократного измерения. Как правило, это функции, достаточно плавно зависящие от времени. Детально картину смены микросостояний можно восстановить, выполнив над системой серию последовательных квантовых измерений. Информация, полученная в процессе очередного измерения, должна быть учтена для того, чтобы предсказать результат последующего измерения. При этом переопределяются начальные данные (явление коллапса) и само уравнение движения между актами измерения, которое теперь следует назвать условным. Результатом такого эксперимента, выполненного над индивидуальной квантовой системой, является реализация случайного процесса - последовательности отсчетов используемых в эксперименте детекторов. В работе [1] представлены результаты экспериментов по счету фотонов резонансной флуоресценции от V-образной трехуровневой системы, возбуждаемой двумя лазерами на сильном и слабом переходах. В работе [2] развита теория статистических характеристик фотоотсчетов. Первичный "телеграфный" сигнал, подвергнутый статистической обработке, дает, например, случайную кривую зависимости средней по малому интервалу времени Аау (миллисекунды) скорости фотоотсчетов. На этой кривой отчетливо видны отрезки времени, когда захва-
ченный в ловушке атом пребывает в одном из двух (возбужденных) состояний, характеризуемых существенно различными средними скоростями счета. Эти квазистационарные состояния сменяются в процессе квантового скачка, длительность которого в эксперименте неопределима. Качественно похожая кривая снята в эксперименте [3], выполненном на одноатомном мазере. Здесь в отличие от [1] измеряемой системой является полевая мода, а указателем является вылетающий из резонатора атом, энергетическое состояние которого определяется селективным детектором. На случайной кривой зависимости относительных частот вылетов атомов в основном и возбужденном состояниях видны интервалы времени, когда квантовая мода пребывает в квазистационарном состоянии, и квантовые скачки (термин работы [3]), в процессе которых происходит смена состояний. В работе [4] развита схема моделирования подобной задачи, а в работе [5] дана теория некоторых статистических характеристик последовательности отсчетов. В работе [6] развит подход, названный методом периодических траекторий, с помощью которого можно найти среднюю редуцированную матрицу плотности (РМП) полевой моды, пребывающей в любом обнаруженном в эксперименте квазистационарном состоянии. Для этого достаточно найти средние характеристики квазистационарного состояния - среднюю относительную частоту вылета возбужденных и невозбужденных атомов, среднюю частоту пропуска атомов детек-
тором, составить оператор развития на период и найти его собственный вектор с наибольшим собственным числом. Предложенный в [4] метод численного моделирования позволяет генерировать последовательности отсчетов (это продемонстрировано в [6]), обладающие перечисленными выше свойствами. Это обстоятельство позволяет надеяться на то, что с помощью данного метода моделирования возможно правильное генерирование квантового скачка и, как следствие, изучение его динамических свойств.
СТОХАСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ УСЛОВНОЙ ДИНАМИКИ МИКРОМАЗЕРА
Обнаруженные в [3] квантовые скачки могут вызываться флуктуациями любого параметра микромазера, а также изменениями в условиях эксперимента. В данной работе изучается одна причина - квантово-механическая случайность при измерении энергии вылетающего атома. Для этого сделано упрощающее предположение об идеальности селективного детектора. Случайность, связанная с пуассоновой статистикой времен ожидания атомного пучка устранена с помощью усреднения оператора развития РМП поля на один цикл по пуассонову распределению [7]. Стохастическое уравнение условной динамики микромазера в процессе совершения последовательных квантовых измерений энергии вылетающих атомов (стохастическое рекуррентное соотношение (СРС)) получено в [4] и изучено в [6]. СРС, связывающее условную нормированную РМП поля в начале (I + 1)-цикла р(1 + 1) с РМП в начале 1-цикла, имеет вид
£ (Е )Р( I)
Оператор развития на этапе релаксации, усредненный по распределению Пуассона,
Р( I +1) =
Sp / (£(Е )р( I))'
(1)
= а^т2 () /V а1 а + 1, (3) (2и = ео82 (gxJa1a + 1). (4)
Здесь
W = 1/( 1- и Мех).
Ь = - (2пь + 1)а1 а - пь +
+ (пь +1) а^а^а + пьа1 ^ООй1.
(5)
(6)
Для удобства записи введены повышающий а1 и понижающий а операторы, действующие на фо-ковские проекторы |п)(п | по правилу
1 |п)(п| = 7п + 1 |п + 1)(п + 1|, а |п)(п| = Тп |п - 1)(п - 1|.
(7)
Здесь I = 1, 2, 3, ... - номер пролетевшего атома, Бр/ - операция взятия следа по состояниям поля, Е - значение случайной переменной, выпавшее на 1-м цикле, далее называемое траекторией, £(Е) - оператор развития РМП для выпавшего значения Е случайной переменной. Случайная переменная Е принимает два значения (Е = 0, 1} в зависимости от того, в основном или возбужденном состоянии детектор обнаруживает вылетающий атом. Объект изучения данной работы - закон распределения чисел фотонов моды. Поэтому от всей РМП оставлен только вектор главной диагонали. Оператор развития этого вектора имеет вид [6]
£ (1) = WQU, £ (0) = WQD. (2)
Здесь операторы развития вектора главной диагонали РМП на этапе взаимодействия атома с полем
В формулах (3)-(6) g - параметр атомно-полевого взаимодействия, т - длительность взаимодействия, = Я/у, Я - скорость инжекции атомов, у -скорость затухания поля, пь - среднее планков-ское число фотонов в резонаторе.
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА КВАНТОВОГО СКАЧКА
Для генерации одной реализации случайной траектории Е использован метод Монте-Карло. На 1-м цикле случайная переменная Е принимает значение 0 (атом обнаружен в нижнем состоянии) с вероятностью
ао = Sp/(QDp( I)) (8)
и в верхнем состоянии (Е = 1) с вероятностью
а1 = 1 - а0.
В эксперименте [3] представлен график изменения относительных частот вылетов, усредненных примерно по трем сотням пролетевших атомов. По такому графику невозможно проследить динамику квантового скачка. Как показано в [4, 6], выбранный метод моделирования условной динамики дает качественно похожие на эксперимент результаты для усредненной по интервалу А?ау = 0.1 с зависимости относительных частот от времени. Вполне вероятно, что этот метод правильно описывает динамику квантового скачка.
Численное моделирование выполнено при следующем наборе параметров задачи:
0 = gт = 1.895, ^ех = 100, 0 = 0,у^ех = 18.95, пь = 0.01.
(9)
На рис. 1 (кривая 2) представлен фрагмент траектории Е длительностью примерно в 100 атомных пролетов, выделенный из полной сгенерированной траектории длительностью в 120000 пролетов. На кривой 2 верхний ряд точек отмечает
Среднее число фотонов
Номер атома
Рис. 1. Численные реализации квантового скачка полевой моды в нижнее состояние. 1 - среднее число фотонов п (I) в зависимости от номера пролетевшего атома 1, 2 - траектория квантового скачка ^.
Среднее число фотонов
Номер атома
Рис. 2. Численные реализации квантового скачка полевой моды в верхнее состояние. 1 - среднее число фотонов п (I) в зависимости от номера пролетевшего атома I, 2 - траектория квантового скачка .
атомы, найденные в верхнем состоянии, а нижний ряд отмечает атомы, найденные в нижнем состоянии. На этом участке произошел квантовый скачок и полевая мода переходит из состояния со средним числом фотонов п1 — 38 в состояние с п0 — 21.5. На полной траектории наблюдался один такой скачок. На рис. 1 (кривая 1) представлена зависимость среднего числа фотонов в моде п (I) в конце каждого цикла действия микромазера. Вычисление п (I) на 1-м цикле (1-й пролет атома) производилось с помощью условной РМП (1), найденной в конце 1-го цикла (или, что то же, в начале (I + 1)-го цикла). Как видно из кривой 1, скачок вниз занимает интервал примерно в 60 пролетов. На рис. 2 (кривая 2) представлен фрагмент траектории ^, на котором полевая мода совершила квантовый скачок вверх, из состояния с п0 — 21.5 в состояние с п1 — 38. Этот скачок имеет длительность порядка 15 пролетов. Зависимость п (I), рассчитанная таким же образом, как и на рис. 1, представлена на рис. 2 (кривая 1). На рис. 3 представлен график зависимости скорости изменения среднего числа фотонов в расчете на один пролетевший атом у(I), в процессе квантового скачка вниз, рассчитанный по кривой 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.