Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 3, с. 194-199 © 2015г. 10 февраля
Эффект увлечения экситонов поверхностной звуковой волной
В. М. Ковалев+*1\ А. В. Чаплик+Х +Институт физики полупроводников им. Ржанова СО РАН, 630090 Новосибирск, Россия * Новосибирский государственный технический университет, 630073 Новосибирск, Россия х Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск, Россия Поступила в редакцию 9 декабря 2014 г.
Излагается теория эффекта увлечения экситонов поверхностной волной Релея при температурах выше температуры конденсации экситонного газа, а также при нулевой температуре, когда наиболее ярко проявляются эффекты бозе-эйнштейновской конденсации экситонного газа. При высоких температурах вычислена величина тока акустического увлечения в экситонном газе с учетом экситон-экситонного взаимодействия. Показано, что для типичных экспериментальных параметров ток увлечения (при заданной интенсивности поверхностной акустической волны - ПАВ) не зависит от частоты акустической волны, а взаимодействие экситонов приводит к экранированию возмущения, вызванного ПАВ, вследствие чего с ростом плотности экситонов ток уменьшается экспоненциально быстро. При низких температурах при наличии конденсата ток увлечения конденсатных частиц имеет резонансный характер при приближении скорости боголюбовских возбуждений к скорости акустической волны, а величина тока линейна по частоте ПАВ. Ток увлечения надконденсатных частиц имеет пороговый характер: надконденсатные частицы увлекаются волной при скорости акустической волны, превышающей скорость боголонов. Величина надконденсатного тока обратно пропорциональна частоте акустической волны.
БО!: 10.7868/80370274X15030091
1. Введение. Эффекты акустоэкситонного взаимодействия экспериментально изучаются как в системах с непрямыми в пространстве экситонами в структурах с двойными квантовыми ямами (КЯ) [1, 2], так и в полупроводниковых микрорезонаторах [3], в которых объектом воздействия со стороны поверхностной акустической волны (ПАВ) являются гибридные экситон-фотонные моды - экситонные по-ляритоны. Во втором случае непосредственно с ПАВ взаимодействуют входящие в поляритон электрон и дырка, т.е. прямой в пространстве экситон. Основное внимание во многих экспериментальных работах по экситонным и экситон-поляритонным газам уделяется вопросу бозе-эйнштейновской конденсации (БЭК) этих возбуждений [4-7]. Наличие в экситонном газе фазового перехода детектируется по линии экси-тонной люминесценции, резкое уменьшение ширины которой интерпретируется как появление в нем когерентного состояния - конденсата. Сказанное относится к равновесной системе. Очевидно, что фазовый переход экситонов должен проявляться и в отклике экситонного газа на внешние возмущения. Недавно мы теоретически показали [8, 9], что для регистрации фазового перехода экситонов может использо-
Че-таП: vadimkovalev@isp.nsc.ru
ваться ПАВ, поглощение которой в экситонном газе выше и ниже критической температуры конденсации экситонов Тс различно. Такая регистрация фазового перехода является опосредованной: непосредственно измеряться должны характеристики ПАВ. В настоящей работе мы демонстрируем проявление фазового перехода экситонов в состояние БЭК непосредственно в токе увлечения экситонов поверхностной акустической волной. Токи (Яихея) экситонов или экситонных поляритонов можно измерять непосредственно по интенсивности люминесценции в различных точках транспортного канала образца [1, 2]. Мы получим выражения для тока увлечения экситонов при высоких (выше Тс) и при нулевых температурах, что позволит нам выявить различия в эффекте акустоэкситонного увлечения при переходе через точку конденсации. Отметим, что мы будем рассматривать баллистический режим движения экситонов, т.е. предполагать выполнение неравенства сот 1, где г - время релаксации экситонов на примесях, а со - характерная частота внешнего возмущения (частота ПАВ). Диффузионный режим (сот <С 1) требует анализа экситон-примесного рассеяния и будет рассмотрен в другой работе.
Изучаемая структура представляет собой двойную квантовую яму на поверхности подложки, кото-
рую для простоты будем считать изотропной (рис. 1). Будем полагать, что экситоны представляют собой
hz
Exciton gas
++++++++++
, Substrate
SAW
ux(x, z)
Рис. 1. Схематическое изображение структуры двойной квантовой ямы с дипольными экситонами
жесткие диполи, ориентированные вдоль направления роста структуры и имеющие дипольный момент р = (0, 0, ей), где е - модуль заряда электрона, с1 -расстояние между квантовыми ямами. Такая модель игнорирует внутренние степени свободы экситона и движение электрона и дырки поперек слоев, а также подразумевает, что звуковая волна и температура не возбуждают внутреннего движения в экситоне, т.е. выполняется соотношение е2 / а в тах[Т, со]. Здесь ш - частота ПАВ, Т - температура, ов - боровский радиус экситона.
Для определенности мы будем рассматривать волну Релея, распространяющуюся по поверхности подложки и характеризующуюся двумя скоростями: продольной с; и поперечной с/ [10]. Взаимодействие ПАВ и эксптонов осуществляется по механизму деформационного потенциала. Вектор смещения точек среды и(г,^) удовлетворяет уравнению [10]
С(Ди+ (с2 - c2)grad divu.
(1)
В геометрии рис.1 решение уравнения (1) для поверхностной волны Релея, распространяющейся в направлении оси х, имеет вид их(х,г) = их(г)егкх~ш*,
= 0, u~(x, z) = uz(z)e'
kx — iuit
, где
u~{z) = —imBeKlz - ikAeKtZ, u:x{z) = kBeKlz + ntAeKtZ, ki = ■sfk2 - со2/с2, Kt = л/к2 - to2/с2.
(2)
Будем полагать, что влияние ПАВ на эксптонный газ является малым возмущением. В этом случае обратным влиянием экситонного газа на распространение ПАВ можно пренебречь. Для нахождения амплитуд А, В в (2) пишем граничные условия для свободной поверхности: сг^т^ = 0, где т^ - вектор нормали к поверхности упругой среды. Граничные усло-
вия позволяют выразить одну амплитуду через другую: В/А = -2^/1 -£2/(2 - £2), где £ - постоянная, характеризующая дисперсию волны Релея, си = = к (детали см. в [10]). Оставшаяся же свободная амплитуда задается источником (генератором) звуковых волн на подложке. Энергия взаимодействия экситона с акустической волной запишется в виде
и = Ае(а1уи)г=0 + Ал(а1уи)г=(г « (Ае + Ал)(сИуи)г=0,
где А - постоянная деформационного потенциала соответствующей частицы. В последнем равенстве мы учли тот факт, что для реальных систем <С 1.
Таким образом, взаимодействие экситон-ПАВ в действительной форме запишется следующим образом:
U{r,t) = £/кше
ikr—iut
си2
ut
-i\tr-\-iüJt
iB^(Xe + А/г),
(3)
где к = (А;, 0, 0) - волновой вектор ПАВ. Подчеркнем, что в рамках подхода деформационного потенциала экситоны взаимодействуют лишь с продольной компонентой звуковой волны (поэтому в энергии остается только постоянная В), поскольку поперечная удовлетворяет соотношению сИуи4 = 0. Постоянную В удобно выразить через интенсивность ПАВ /о, которую определим следующим образом:
lo = ctip J [\üx{x, г)|2 + Iuz{x, s)|2] dz,
(4)
где p - плотность материала подложки. Используя (2) и (3), получаем
х(0
\иКи\2=ш (2-С2)3
(Ае +А/,)5
4 pqxii)
la
i-cte/c2
(5)
4(i—ц2)3/2 vi -cje/cf
Установив явную форму потенциала деформационного взаимодействия ПАВ с экситоном, переходим к расчету тока увлечения.
2. Высокие температуры, Т > Тс. При высоких температурах (Т > Тс) функция Грина эксптонов удовлетворяет следующему уравнению:
■¡■dt ~ ^ + Р ~ U{x) - д5п(х)
X ) — öi^x — X
(6)
Здесь и далее для краткости используется обозначение х = (г,t). В уравнении (6) М = те + т/, -масса экситона, U(x) - взаимодействие (3), р - химический потенциал экситонов. Последнее слагаемое
196
В. М. Ковалев, А. В. Чаплпк
Я со.
8и
Р + к + У
®m + \
Р. ®т\
р + к
+
р + к
Ют + ®п
Р,Й);
+
р. <°»л
сл
к,со„
с/.
к,со„
P, «я
Р,Ю;
Рис. 2. Диаграммное представление вклада второго порядка в функцию Грина экситонов. Волнистые линии представляют экситон-экситонное взаимодействие, штриховые - взаимодействие с ПАВ. К треугольным диаграммам следует добавить такую же сумму с заменой к —S- —к, шп —S- — шп
в квадратных скобках - экситон-экситонное взаимодействие, записанное в рамках подхода среднего поля. Будем считать взаимодействие контактным. Постоянную д можно оценить как д ~ 2тте2с1/£. Величина 6п(х) представляет собой отклонение плотности экситонов от равновесного значения. Будем искать решение уравнения (6) итерациями по и(х). Представляя С{х,х') — С°(х — х') = 6С^(х, х') + + 6С(2\х, х') + ... и 5п{х) = 5п^\х) + 6п^(х) + ..., в первом порядке получаем
5С^{х,х') = = I ¿уС°(х - у) [щУ) + з&г^ы] С°(у - х'). (7)
Это уравнение позволяет найти поправку первого порядка к плотности, используя соотношение для бозе-частиц (в мацубаровском представлении х = (г, г)):
Используя и далее в расчете технику Мацубары, получаем
Sn^{r,t) = + Sn
(i) -к,—и>п
/кг /о.,, í
Sn
(1)
пкА, !Ук
пк.
-Si
1 - 9ПкА.„ /р+к - /р
(8)
iüjn + Ер — ¿?р+к'
где Ер = р2/2М — ^ - энергия экситонов, /р = = [ехр(Ер/Т) — I]-1 - равновесная функция распределения экситонов.
Усредненная по времени плотность тока экситонов выражается через поправку второго порядка к функции Грина (см. диаграммы на рис. 2). Прямым вычислением можно показать, что первая диаграмма дает нулевой вклад в плотность тока увлечения. Оставшиеся диаграммы дают
J =
.|^kA,n|2[D(k,^n)+D(-k,-^n)]
(1-<7Пк,„„)(!-
(9)
где
D(±k, ±wn) = = TJ2 jjGl(P,com)G0(P±k,com±con). (10)
со m. ,p
Учитывая равенство -^Gg(p,wn) = VpGo(p,wn) и интегрируя по частям в (10), получаем
D(±k, ±о;„) =
/ Y. G° (Р' (Р ± k'± ) • (11)
TVk
Здесь мы воспользовались тем, что \7рСп(р ± к) = = ±УкСп(р ± к). Вычисляя сумму по шт, можно убедиться в том, что выражение, стоящее под знаком градиента, представляет собой (с обратным знаком) поляризационный оператор ПкА„ в (8). Учитывая очевидную четность П_кА„ = ПкА„ и выполняя аналитическое продолжение на действительную ось ±го;п гб, получаем
j =
«Vk
ттй _ ттА кА кА
(12)
к
где Пд('4) - запаздывающий (опережающий) поляризационный оператор экситонов. Вычисли
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.