ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОИ ТЕХНОЛОГИИ, 2008, том 42, № 6, с. 703-708
УДК 532.546
ЭФФЕКТИВНАЯ ВЯЗКОСТЬ МИНЕРАЛИЗОВАННОЙ ВОДЫ ПРИ ТЕЧЕНИИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ. ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ
© 2008 г. В. В. Кадет, А. С. Коршзлов
Российский государственный университет нефти и газа им И.М. Губкина, Москва
korjuzlov@mail. ru Поступила в редакцию 19.12.2007 г.
Представлена перколяционная модель электрокинетического течения раствора бинарного электролита в пористой среде. Проанализировано влияние ионной концентрации раствора, дзета-потенциала поверхности порового пространства и вида порометрической кривой на скорость фильтрационного течения. Спланирован и поставлен эксперимент, проведено сравнение результатов теоретического расчета с экспериментальными данными.
В ряде экспериментов по исследованию течения жидкостей в пористых средах отмечалось превышение эффективной, т.е. наблюдаемой в эксперименте, вязкости по сравнению с ее классическим значением для капельной жидкости. В экспериментальных работах [1-3] убедительно показано, что в тонких каналах наблюдается превышение гидравлического сопротивления по сравнению с величинами гидравлического сопротивления, предсказываемыми классической теорией, причем течение в микроканалах зависит от природы жидкости и геометрических параметров канала.
Для объяснения данного явления может быть привлечено понятие двойного электрического слоя (ДЭС), влияние которого на течение жидкости как в отдельных микроканалах, так и собственно в пористых средах должно приводить к возникновению эффекта электрокинетической вязкости (или электровязкости). Целью данной работы является построение модели, позволяющей рассчитывать эффективную вязкость при фильтрационном течении электролитов, а также ее верификация путем сопоставления с экспериментальными данными.
МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА
Воспользуемся подходом, развитым в [4], который позволяет получать макроскопические законы течения в пористой среде на базе детального анализа течения жидкости в отдельном элементе такой среды - поровом канале. В рамках этого подхода в качестве модели порового пространства используется регулярная пространственная решетка, узлами которой являются поры, а связями - капиллярные каналы между ними. Предполагается, что капиллярные каналы имеют круговую цилиндрическую форму. Характеристиками такой решетки служат длина ребра (связи) I, функция плотности распределения поровых каналов по радиусам (порометри-
ческая кривая) /(г) и число ребер, выходящих из одного узла (координационное число решетки) 6.
Пусть жидкость, текущая по решетке под влиянием приложенного градиента давления, представляет собой раствор симметричного электролита, обладающий диэлектрической проницаемостью £ и вязкостью *. При этом на стенках капилляров существует дзета-потенциал £ [5].
Для вывода зависимости макропараметров течения от микрохарактеристик среды получим вначале соотношение между внешним перепадом давлений в среде и расходом жидкости по каждому проводящему пути в такой системе.
В качестве первого шага рассмотрим течение по отдельному каналу радиуса а. Когда жидкость течет за счет градиента давления через микроканал, ионы подвижной части ДЭС увлекаются жидкостью, вызывая электрический ток, называемый током протекания. Накопление ионов в области, определяемой направлением течения, является причиной возникновения электрического потенциала, который принято называть потенциалом протекания. В свою очередь, потенциал протекания способствует появлению тока ионов в направлении, обратном направлению течения жидкости (ток проводимости).
Массовая сила, действующая в такой системе, будет определяться взаимодействием потенциала протекания ф с зарядом ионного облака, объемной плотностью ре. Таким образом, установившееся течение в капилляре будет описываться уравнением Навье-Стокса следующего вида:
* Щг Ю - ^- р Уф = ° (1)
где и - скорость течения, * - динамическая вязкость капельной жидкости, Ур - градиент давления, Уф -градиент потенциала протекания вдоль оси канала.
Объемная плотность заряда ре определяется при этом уравнением Пуассона [5, 6]:
10 ( ¡0 ¥
ре = -вв0" 1 | ' 1 I'
гагу аг)
(2)
где £0 - диэлектрическая проницаемость вакуума, а ¥ - потенциал ДЭС.
Подставим (2) в (1) и проинтегрируем со следующими граничными условиями: и(а) = 0 (условие прилипания), ¥(а) = £ (условие равенства дзета-потенциала на стенке канала величине £), и'(0) = ¥(0) = 0 (условия симметричности решения относительно оси канала). В результате получим выражение для скорости течения в канале, с учетом влияния потенциала ДЭС:
_1 (г2-а2 )У р-1>Ф.
(3)
Здесь Ар = Ур/, Аф = Уф/. Значения коэффициентов Ь11, Ь12, Ь21, Ь22 зависят от свойств жидкости и размеров канала:
т _ па
Ьи = _8Ц'
2у
левоа Сг
Ьп = ^ = ~~ЦГ~
2 2у 2
_ тееео^ п а а „
ЦI
С1 = 1 - 21
г ¥
""21 1 ь
I
аг,
Отсутствие адсорбционного слоя в модели (потенциал на стенке равен £) связано с особенностями межфазных процессов на границе кварц-раствор электролита при фильтрации воды в песчаниках. Наиболее часто в пластовых условиях кислотность лежит в пределах рН ~ 3-8. Согласно исследованиям, проведенным в работах [7, 8], в этом диапазоне кислотности на поверхности контакта кварца (составляющего большую часть поверхности пор песчаника) и водного раствора соли образуется достаточно тонкий адсорбционный слой Штерна, поэтому в данной работе используется модель ДЭС Гуи-Чэпмена.
Как видно из (3), скорость зависит от потенциала протекания, для определения которого запишем закон сохранения заряда. Объемный ток имеет аксиальное направление и складывается из двух частей: конвекционного тока (тока протекания) и тока проводимости, при этом его плотность равна
] = ге(п+ - п-)и - тге(п+ + я_)Уф, (4)
где т - подвижность ионов, г - валентность ионов, е - заряд электрона, п+ и п- - концентрации катионов и анионов соответственно.
Локальная концентрация ионов подчиняется закону распределения Больцмана [5] п± = = п0ехр(+геу/кьТ), где п0 - концентрация ионов в объеме раствора, за пределами ДЭС (так как рас-
0 0
сматривается бинарный электролит, то п+ = п_ = = п0). Тогда (4) может быть записано в виде
] = Реи - аУф, (5)
где проводимость жидкости а = 2т1еп0 еИ (2ву/къТ), а ре = ге(п+ - п-) = -2геп0 (хе¥/къТ) (6)
Проинтегрировав уравнения (3) и (5) по области поперечного сечения канала, получим выражения для объемного расхода q и тока I:
q = ЬпАр + ¿пАф, (7)
I = ¿пАр + ¿22Аф. (8)
02 = 2
= 21Т
* п
'¿(у/а)" .0, (г /а)_
аг,
°3 = 21 > №) аг.
Для их определения необходимо знать распределение потенциала в канале.
Подставляя (6) в (2), получаем уравнение Пуас-сона-Больцмана:
1 а (г0¥ = 2££П_о8И (^
гйг\ 0г
ее0
къТ )•
(9)
В области потенциалов ¥, которая нас интересует (характерные значения потенциала от ~20 до ~70 мВ), функция гиперболического синуса может быть линеаризована:
1 а (г0¥) = к2
(10)
где 1/к - толщина ДЭС, выраженная через параметр Дебая-Хюккеля к = (2г2в2п0/ее0кьТ)112 [6].
Решив (10) с граничными условиями у(а) = ¥'(0) = 0 (условие равенства дзета-потенциала на стенке канала величине £ и условие симметричности решения относительно оси канала), получаем распределение потенциала в сечении канала:
¥ = С
10 (кг)
10( ка)'
Здесь 10 - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, ка обычно называют безразмерным электрокинетическим радиусом (отношение радиуса канала к толщине ДЭС).
а
и
0
а
0
0
ЭФФЕКТИВНАЯ ВЯЗКОСТЬ МИНЕРАЛИЗОВАННОЙ ВОДЫ ПРИ ТЕЧЕНИИ
705
Теперь 01, 02,В3 приобретут следующий вид:
в1 = 1 -
21 °(ка) ка1° (ка)'
02 = (ка)2
03 = 2
^ ( ка) + 211 ( ка) 12 (ка) ка1°( ка)
= 2I ^
а
г ^ !°Скг>^ аг 2СПI кьТ1° (ка)) аГ •
Ар; = д/(Ьп - Ь12/¿22).
(11)
АР = ^А р,-
(12)
N л
УР = I у АР
(13)
УР = | Ар /(ш)йш.
(14)
Выразив из (15) расход по проводящей цепочке, имеем
q = У Р1
/ (г)
( Ь11 — ЬП/Ь22 )
-¿г
(16)
Вычислим количество путей с минимальным радиусом г1, приходящихся на единицу площади поперечного сечения потока в пористой среде. Вероятность того, что капилляр имеет радиус г>гъ равна
При установившемся электрокинетическом течении в канале ток проводимости равен току протекания, следовательно общий ток I в (7) равен нулю. Учитывая также, что Ь12 = Ь21 найдем перепад давлений на концах канала:
Шгх) = I /(Ш)йш•
(17)
Критический радиус гс связан с порогом протекания по решетке соотношением [4]
Щ(гс) =
В
(В-1 )0'
(18)
Перепад давления на проводящем пути, составленном из чередующихся узлов и капилляров, выражается следующим образом:
где I - номер капилляра, а N - общее число капилляров, составляющих рассматриваемую проводящую цепочку. Учитывая, что перепад давления АР имеет место на характерном макроскопическом расстоянии Ь = N1 (т.е. внешний градиент давления УР = АР/Ь), и, поделив обе части (12) на Ь, получим
Если минимальный радиус капилляра, принадлежащего данному проводящему пути, равен г, а радиусы капилляров распределены с плотностью /(г) (далее будет считаться, что /(г) - нормирована), то в (13) можно перейти от суммирования к интегрированию:
где В - размерность пространства, 0 - координационное число решетки.
Для того, чтобы посчитать общую проводимость решетки капилляров, необходимо ввести классификацию проводящих путей, которая позволит просуммировать их проводимости. В работе [4] была введена иерархия проводящих путей по минимальному радиусу входящих в них капилляров, согласно которой в процесс фильтрации сначала вовлекаются наиболее "толстые" цепочки, а затем постепенно "подключаются" все более "тонкие", т.е. с меньшим минимальным радиусом капилляров. Следовательно, при любом г1 < гс совокупность капилляров с радиусами, больше гъ образуют бесконечный кластер - связную систему капилляров, по которой может осуществляться перенос жидкости в системе.
Для того, чтобы получить общую проводимость решетки, зафиксируем произвольный г1 < гс. Соответствующий ему бесконечный кластер имеет нерегулярную ячеистую структуру с характерным размером ячейки [4, 9]
Я = I
1 - ^ ( гс ) -
^ ( г 1 ) - ^ ( г 1 ) .
Подставляя (11) в (14), получаем выражение для г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.