УДК 524.3/.4-423
ЭФФЕКТИВНОЕ ВРЕМЯ СТОХАСТИЗАЦИИ В ЗВЕЗДНЫХ СИСТЕМАХ
© 2014 г. Д. В. Овод, Л. П. Осипков*
Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия Поступила в редакцию 16.07.2012 г.; принята в печать 17.03.2014 г.
Проблема стохастизации в звездных системах исследуется в рамках парадигмы Крылова и Гурзадяна— Саввиди. Использование распределения случайной силы по Хольцмарку с обрезанием согласно Расторгуеву—Семенцову подтверждает результат последних авторов о том, что те/тс х N1/5, где тс — время пересечения, а те — время стохастизации, N — число звезд. Более сплюснутые системы эволюционируют быстрее, а вращение замедляет стохастизацию. Если для распределения случайной силы принято распределение Петровской, то необходимости в его обрезании не возникает (хотя при обрезании результаты не меняются). В этом случае те/тс изменяется с N примерно как №'3. Теоретически получено, что при больших N отношение те/тс х N 1/3/(1п N)1/2. Таким образом, найденная эволюционная шкала близка к предложенной ранее Генкиным.
DOI: 10.7868/80004629914100107
1. ВВЕДЕНИЕ
Как известно, Огородников [1] сформулировал основной парадокс классической звездной динамики, состоящий, по его мнению, в следующем. Звездную систему, рассматриваемую как статистический ансамбль гравитирующих точечных масс, можно уподобить идеальному газу кинетической теории. Тесные сближения звезд играют при этом такую же роль, что и столкновения молекул в газе, приводя к статистически необратимым изменениям и к приближению системы к состоянию статистического равновесия. Однако характерное время такого процесса (время релаксации) оказывается практически бесконечным для галактик и скоплений галактик, превышая на 3—5 порядков так называемое хаббловское время — верхний предел их возраста. Следовательно, нынешнее состояние этих систем отражает только условия их формирования, что представляется маловероятным.
В большом числе работ делались попытки решить этот парадокс (см. обзоры [2—4]). Применив к гравитирующим системам общие соображения Крылова [5], новый подход к проблеме релаксации предложили Гурзадян и Саввиди [6, 7]. Затем этот подход критически обсуждали и развивали другие авторы [8—13]. Оказалось, что конкретные выводы Гурзадяна и Саввиди требуют корректировки.
В данной статье, продолжающей работы авторов [13—19], делается попытка уточнить эффективное время релаксации (время стохастизации) в звездных системах.
2. ВРЕМЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И КЛАССИЧЕСКОЕ ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
Обсуждая проблему релаксации, следует сравнивать характерные времена действия иррегулярных сил (проявляющихся при звездно-звездных сближениях) — времени релаксации — и регулярных сил (притяжения системы как сплошной гра-витирующей среды) — времени пересечения. Как известно [1], время пересечения
тс = (.Ь3/СМ)1/2 ,
(1)
где С — гравитационная постоянная, М — масса системы, Ь — ее характерный размер. Существенно, что тс имеет порядок не только периода среднего колебания материальной точки в системе, но и коллективных колебаний системы как целого [20, 21].
По классической теории иррегулярных сил Джинса—Чандрасекара для системы звезд одинаковой массы т время релаксации [1]
а3
E-mail: leonidosipkow@yahoo.com
'г 32тг С2т%Л' (2)
где п — среднее число звезд в единице объема, а — средняя относительная скорость звезд в системе,
Л — так называемый ньютоновский (или кулонов-ский) логарифм, введением которого учитывается эффект далеких сближений. Обычно принимают Л w ln N, N — число тел в системе. Числовой множитель в (2) приводится в согласии с книгой Саслау [22]. Его подробный вывод дан в [23].
Отождествим, как это обычно делают, а2 с дисперсией остаточных скоростей в одном направлении (при доминировании эффекта очень далеких сближений это неверно). Тогда на основании теоремы вириала можно записать, что
3а2 = (1 + y2)-1 GM/L,
где введенный Огородниковым [1] параметр y2 = = V2/3а2, V — средняя скорость центроида. Для плоских подсистем Галактики y2 ^ 1. Тогда
Tc y3 lg N
Здесь ß = (33/232nki)-1, а ki = (n/N)L3. Для сферических систем k1 = 3/4п), а ß w 1/(40п. Итак, если теория Джинса —Чандрасекара верна, то динамика галактик определяется исключительно сглаженным гравитационным полем, как это обычно принимается в динамике звездных систем [24].
3. ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ ПАРАДОКСА РЕЛАКСАЦИИ
Естественно встают следующие вопросы. Действительно ли вывод классической динамики звездных систем о бесстолкновительности галактик является парадоксальным? Если существует парадокс релаксации, то как его решить?
Первый вопрос обсуждался в [25]. Существование в Галактике движущихся скоплений еще Эд-дингтон [26] считал указанием на ее бесстолкно-вительность. Но тогда же Шарлье [27] заметил, что подобные объекты могут хотя бы частично являться результатом распада звездных скоплений в галактическом поле. С другой стороны, наличие движущихся скоплений может рассматриваться как указание на то, что эффективная релаксация в галактическом поле отличается от простого накопления результатов тесных сближений [28].
Подтверждением короткой шкалы динамической эволюции диска Галактики считается существование зависимости "дисперсия скоростей — возраст" [29, 30], хотя и предлагались альтернативные объяснения этой зависимости. Другим указанием на забвение начальных условий в ходе эволюции можно считать универсальность строения галактик, поверхностную яркость которых можно аппроксимировать эмпирическими формулами де Вокулера и Эйнасто—Серсика.
Многие компьютерные эксперименты показали экспоненциальную расходимость первоначально близких траекторий в задаче N тел (см., например, [8, 31]). Однако Аллавердян и Гурзадян [32] справедливо заметили, что делать отсюда вывод о фазовом размешивании и релаксации можно только, если использовать "параметризацию Мопер-тюи", т.е. представить численное решение задачи N тел как движение по геодезической в римано-вом пространстве, метрика которого определяется потенциалом системы. Кроме того, из результатов этих экспериментов остается неясным, в какой степени обнаружившаяся хаотизация является столк-новительной. О двух шкалах динамической эволюции гравитирующих систем Кандруп [33] писал лишь в одной из своих последних статей.
Большинство предлагавшихся решений проблемы релаксации может быть отнесено к одной из следующих групп. Во-первых, возможно рассеяние звезд на материальных или волновых объектах массы порядка 105—106Мо. Данную идею первоначально высказал еще Линдблад [34], а затем к ней независимо пришли Спицер и Шварцшильд [35] и Лебединский [36]. Позднее ряд авторов разрабатывали более детальную теорию, стараясь объяснить зависимость "дисперсия скоростей—возраст" (см., например, [37—40]). Вряд ли, однако, подобный механизм действует в эллиптических галактиках.
Во-вторых, приобрела популярность идея бес-столкновительной релаксации. В свете современных представлений о возможности хаотизации в нелинейных системах даже с малым числом степеней свободы (так называемый хаос Пуанкаре) естественно предположить, что и одни регулярные силы могут привести к статистически необратимым изменениям в ходе так называемого фазового размешивания. Конкретные механизмы хаотиза-ции могут быть различными, в связи с чем была предложена классификация видов размешивания в звездных системах [41]. При нестационарности может происходить принудительное (compulsive) размешивание, частным случаем которого является бурная бесстолкновительная релаксация Линден-Белла [20]. Некоторые предположения, конкретизирующие механизм стохастизации в нестационарных звездных системах, обсуждались в [42]. Возможна стохастизация и в стационарном поле, допускающем хаотические орбиты (дивергентное размешивание) [43—45]. Но значимость его не ясна, поскольку неизвестна доля хаотических орбит для реалистических потенциалов.
Наконец, третий подход связан с ревизией теории Джинса—Чандрасекара, необходимость которой, по-видимому, понял сам Чандрасекар [46, 47]. Известно, что эта теория основана на ряде заведомо не выполняющихся предпосылок [48]. Основная
проблема состоит в необходимости учета движения звезд в регулярном поле по сложным, возможно, хаотическим орбитам. В результате же действия иррегулярных сил звезды перескакивают с одной орбиты на другую.
Общую теорию релаксации в стационарном и нестационарном регулярном поле развивал Ген-кин [49, 50]. Он предположил, что регулярные силы могут играть роль мощного внешнего ускорителя медленной диффузии в пространстве скоростей. По Генкину [49] для стационарных однородных систем эффективное время релаксации имеет порядок (тгтС)1/3. Аналогичную формулу вывели недавно Гурзадян и Кочарян [51]. Подобное же выражение предложил Курт [52] из соображений размерности. Курт имел в виду характерное время для классической релаксации. Но из теории размерностей без дополнительных предположений следует только, что такое время имеет вид тс f N). Утверждение Курта, что f (^ пропорционально N1/3 (а не N/ 1п N, как по теории Джинса— Чандрасекара) не представляется убедительным.
Из совершенно других соображений к подобной шкале динамической эволюции пришел Волков
[53].
4. ЗАДАЧА N-ТЕЛ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Крылов [5, 54] наметил общий подход к исследованию стохастизации в системах N точечных масс. По Крылову необходимо, чтобы соответствующий этой системе геодезический поток был размешивающимся в смысле эргодической теории. В настоящее время, вероятно, необходимо добавить более жесткое условие экспоненциальной расходимости близких траекторий. К гравитирующим системам этот подход первыми применили Гурзадян и Сав-види [6, 7]. Напомним его основные идеи.
Рассмотрим систему N ^ 1 гравитирующих точечных масс (звезд). В соответствии с принципом де Мопертюи в форме Якоби динамика системы представляется как движение по геодезической точки, изображающей систему, в 3N-мерном специальном римановом пространстве (см., например, [55]). Скалярная кривизна этого пространства [5, 7, 9, 59]
К = 3N ^ — 1)
1 Ж
А К
жк2
(УК)2
к3
Здесь К — кинетическая энергия, рассматриваемая
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.