ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 414, № 5, с. 613-617
= МЕХАНИКА
УДК 539.3
ЭФФЕКТИВНЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ УТОЧНЕННОГО АНАЛИЗА
ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
© 2007 г. В. Н. Бакулин
Представлено академиком И.Ф. Образцовым 27.10.2006 г. Поступило 27.10.2006 г.
Повышающиеся требования к многослойным оболочечным конструкциям, особенно из композиционных материалов (КМ), обладающим высокой удельной прочностью, жесткостью, необходимыми тепло-, электрофизическими и другими свойствами, приводят к необходимости совершенствования подходов и моделей для расчета таких конструкций. Обзоры исследований многослойных оболочек приведены в работах [1-3] и др. В расчетной практике часто приходится решать неосесимметричные задачи, связанные с анализом напряженно-деформированного состояния (НДС) незамкнутых слоистых оболочек, оболочек с переменными по координатам геометрическими и физико-механическими параметрами, при наличии сквозных и несквозных вырезов, при произвольном порядке расположения слоев с различными характеристиками, изменяющимися в широком диапазоне. При действии радиальных нагрузок, а также в зонах концентрации напряжений особенно в слоях маложесткого заполнителя необходимо учитывать, кроме деформаций поперечного сдвига и поперечных нормальных деформаций, изменение параметров НДС по толщине слоев, а несущие слои должны рассчитываться на основе моментной теории оболочек. В таких случаях исследование НДС слоистых оболочек сталкивается с большими трудностями. Проблема создания достоверных и экономичных математических моделей при расчете таких конструкций стала особенно актуальной. Для решения этой проблемы предлагается применить метод конечных элементов (МКЭ). Однако в своей традиционной трактовке он не обладает качествами экономичного и оперативного метода [4]. О МКЭ как о наиболее употребительном методе и о необходимости научиться решать те же задачи с меньшими затратами сказано в работе [5].
Применение МКЭ с аппроксимациями в виде аналитических решений позволяет решить эту проблему только для осесимметричных задач слоистых оболочек (см., например, [6, 7]). В представленной работе эта проблема решается путем создания эффективных уточненных моделей, отличающихся высокой скоростью сходимости получаемых результатов и приводящих, таким образом, к относительно невысоким порядкам систем уравнений. Предлагается подход для получения эффективных функций формы на основе аппроксимации обобщенных деформаций и алгоритм для построения эффективных конечно-элементных моделей для уточненного исследования НДС трехслойных оболочек с учетом их особенностей (неоднородности, поперечные деформации и др.), в том числе изменения параметров НДС по толщине слоя заполнителя.
ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ФОРМЫ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НЕСУЩИХ СЛОЕВ НА ОСНОВЕ АППРОКСИМАЦИИ ОБОБЩЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
Для более адекватного учета неоднородности структуры, переменных свойств, различных условий закрепления и нагружения слоев, изменения НДС по толщине слоя заполнителя будем применять гипотезы к слоям, а не к пакету слоев и слой заполнителя при необходимости разбивать по толщине на конечные элементы (КЭ). Это приводит к трехмерным конечно-элементным моделям. Для таких задач особенно актуальна проблема построения эффективных аппроксимаций для снижения числа разбиений на КЭ.
Проведенные исследования показали, что аппроксимация обобщенных деформаций с последующим удовлетворением уравнениям совместности деформаций позволяет увеличить скорость сходимости получаемых результатов, а следовательно, приводит к уменьшению порядка систем уравнений по сравнению с общепринятым подходом (аппроксимация перемещений). При этом проще удовлетворять требованиям, предъявляе-
Институт прикладной механики Российской Академии наук, Москва
мым к аппроксимирующим функциям, таким, как учет перемещений КЭ твердого тела, критерий постоянства деформаций [8-11] и др.
Интегрированием соотношений Коши при полученных аппроксимациях обобщенных деформаций определяем функции, аппроксимирующие перемещения, вызванные деформированием оболочки, а при нулевых значениях обобщенных деформаций - перемещения КЭ как твердого тела. Аппроксимации перемещений складываются из аппроксимаций перемещений как жесткого целого и перемещений, вызванных деформированием. Усилия и моменты вычисляются через компоненты вектора деформаций с помощью физических соотношений (закон Гука). Дальнейшее решение задачи осуществляется с помощью процедур метода перемещений.
Для построения модели пронумеруем слои, которые могут быть расположены в произвольном порядке, с внутренней поверхности оболочки: - = = 1, 2, 3. Несущим слоям присвоим индекс с, слою заполнителя - индекс/. Толщины слоев и радиусы срединных поверхностей обозначим соответ-
С С Т Т"
ственно к, , Я, и к] , Я] . Расположим системы координат на срединных поверхностях КЭ с началом координат в их центрах тяжести. В дальнейшем индексы ] и с(/) у коэффициентов составляющих вектора указывать не будем.
Вектор деформаций для КЭ моментных несущих слоев состоит из осевой, окружной и сдвиговой деформаций, параметров изменения кривизны и кручения срединной поверхности (в дальнейшем их будем называть просто деформации) £с = = {еь £2, у, к1, к2, %}т и связан с вектором перемещений 5С = {и, V, м>}тсоотношениями Коши:
где ас = {а1, ..., а6}т, а1, ..., а6 - постоянные интегрирования.
Рассмотрим прямоугольный в плане КЭ цилиндрической оболочки [8] с 20 степенями свободы и узловыми перемещениями и, V, м>, Ьх =
д^ V а д^ , ас ас
_ б , ^у = т~ (^¡х, ^¡у - углы поворота нор-
Ядф Я' у дх мали к срединной поверхности несущих слоев оболочки относительно осей х, ;у(ф)) . При записи (2) использовано шесть коэффициентов а. Для эффективного анализа всех видов НДС, в том числе изгибного поведения, оставшиеся 14 коэффициентов распределим так (выражения в скобках получены после удовлетворения уравнениям неразрывности деформаций):
£ = а7 + а8 ф,
= + + (__1_ 2_Л. 3_
£2 а9 + аюх + I 2Я а12х 6Я а1зх
1
1
_2ЯЯ а14 х ф а15 х ф
у = ап, к = а12 + а13 х + а14 ф + а15 хф, к2 = а16 + а17х + а18 ф + а 19 х ф,
(3)
11 1 2
X = а 20 +1 _ я а8 х + я а14 х + ^Я а15 х +
I Г» I Я 2 \ С пС с
+ Яа17ф + 2а19ф | или £ = Ц а,.
£1 дх'
1д
V . ^
1 ди , дv
к, = —
£2 Ядф Я, 1 Ядф дх,
д2 ^ д х2
1 д2w
1. дх
Я2 дф Я2 дф2'
Д т „2^ 2, (1)
= 1 дх __
Х О -1 „ о
1 д2 ^
Я дх Ядхдф
или в матричном виде £i = Б, о, .
Функции перемещений КЭ как твердого тела определяются интегрированием (1) при нулевых значениях деформаций и имеют вид
и0 = а2 Я1 оо8 ф + а4 Я^т ф + а5,
V = (а1 + а2х)этф _ (а3 + а4х)соэф + а6, w0 = _(а1 + а2х)ео8ф _ (а3 + а4х)этф или оС = Т с ас,
(2)
Интегрируя (1) при выражениях деформаций (3), определим функции перемещений, вызванных деформированием КЭ, складывая их с (2), получим аппроксимации перемещений
и = а2 Я1соэ ф + а4 Я^п ф + а 5 + а7 х + а8 хф +
1 г>3 2 , г,3 (, 1 2 ^ п2 72Я
+ а11 Яф _ а17-Я ф + а19Я ф| 1 _ 6ф ) _ а20Я ф,
а8 2
V = (а1 + а2х)этф _ (а3 + а4х)соэф + а6 _ —х +
2Я
+ а16 Я2ф + а 17 Я2 хф + 1 а18 Я2 ф2 +
+ а19Я2х| ф _ 1 | + а20Ях
(4)
20
^ = _(а1 + а2х)соэф _ (а3 + а4х)этф + Яа9 +
. п 12 1 31 21 3
+ Ка10х - 2-х а12 — 6а13х —а14х ф—а15х ф -
- К2а16 - К2а17х - К2а18ф - К2а19хф
00 гтчС с
г = Т аг.
Подставив координаты узлов в (4) и в выражения для углов поворота нормали, записанные через а, получим связь векторов
Чсг = Ссас или ас = (Сс)-1 . (5)
С учетом (5) запишем (4) через узловые переме-
С
щения :
50 = ТС( СС )-
(6)
Б? =
С» дх 0 0
0 Э ек т— Эф к
0 0 д дг
ек-Д- Эф Э_ д х 0
0 д - ек дг ек Эф
Э 0 Э_
д г д х
е =
1
1 + "7
к Ч
500
1000
1500
N
ур
Эффективность функций формы (6), т.е. высокая скорость сходимости получаемых результатов, видна из рис. 1, где приведено сравнение с другими известными конечно-элементными решениями и решением С.П. Тимошенко для прогиба под силой, полученным для свободной цилиндрической оболочки, нагруженной двумя симметричными, диаметрально расположенными сосредоточенными радиальными силами в среднем сечении, в предположении нерастяжимой срединной поверхности оболочки [12]. Данные собраны из работ [8, 11, 13, 14].
МОДЕЛЬ СЛОЯ ЗАПОЛНИТЕЛЯ
Слой заполнителя трехслойных оболочек будем рассматривать как трехмерное упругое тело.
Вектор деформаций е? = {еп, е22, е33, у12, у23, у13}Т связан с вектором перемещений = {и, V, »}Т соотношениями е? = Б ¿5
Рис. 1. Сравнение с известными конечно-элементными решениями и решением С.П. Тимошенко для прогиба под силой, полученным для свободной цилиндрической оболочки, нагруженной двумя симметричными, диаметрально расположенными сосредоточенными радиальными силами в среднем сечении, в предположении нерастяжимой срединной поверхности оболочки, для
К = 52.66 : 1 - аппроксимация перемещений полино-к
мами (24 степени свободы); 2 - аппроксимация перемещений полиномами (48 степеней свободы); 3 - аппроксимация перемещений полиномами с учетом перемещений как твердого тела (24 степени свободы); 4 - аппроксимация обобщенных деформаций полиномами (20 степеней свободы); 5 - решение С.П. Тимошенко. N - число уравнений решаемой системы; » -прогиб в точке приложения силы р; Д, /, К, к - цилиндрическая жесткость, длина, радиус, толщина оболочки соответственно.
помощью матрицы перехода подобно тому, как это описано в монографии [15]. Для КЭ слоя заполнителя на цилиндрических поверхностях выбираем столько же узлов, сколько их у КЭ несущих слоев, и те же обобщенные перемещения и аппроксимирующие функции, что и у КЭ несущих слоев, т.е. КЭ слоя заполнителя будут иметь по четыре узла на внешней и внутренней цилиндрических поверхностях.
Так как конечно-элементная модель позволяет при необходимости слой заполнителя разбивать по толщине на требуемое число КЭ, то в КЭ примем линейную аппроксимацию перемещений по толщине:
51 = 51 ф} + 52 Ф2 >
Ф1
= 2 (1-2 ?!
Чтобы избежать разрывов перемещений на поверхностях стыковки КЭ несущих слоев и слоя заполнителя, применим следующий подход. Переходим в несущих слоях от срединной поверхности к поверхности
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.