ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 96, № 6, с. 1031-1039
= ГОЛОГРАФИЯ
УДК 535.4;535.135
ЭФФЕКТИВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАПИСИ ОБЪЕМНЫХ ФАЗОВЫХ ГОЛОГРАММ
© 2004 г. В. М. Фитьо*, Т. Н. Смирнова**
*Институт телекоммуникации, радиотехники и электронной техники Национального университета
"Львивська политехника", 79013 Львов, Украина **Институт физики НАН Украины, 03028 Киев, Украина Поступила в Редакцию 27.06.2003 г.
С использованием уравнений связанных волн проанализирована дифракция плоской волны, падающей на толстую голограмму под первым и вторым углами Брэгга, при наличии нелинейной записи. Показано, что в этом случае можно пользоваться двухволновым приближением, используя эффективные значения амплитуд модуляции показателя преломления, n1ef и n2ef. Получены аналитические зависимости n1ef и n2ef от амплитуд модуляции показателей преломления n1 и n2 на основной и удвоенной пространственных частотах и установлены критерии их применимости. Полученные зависимости использованы для вычисления параметров решеток, записанных на фотополимерном материале.
ВВЕДЕНИЕ
При записи чисто фазовых голограмм происходит изменение показателя преломления на ограниченную величину, что приводит к нелинейной записи под действием синусоидального распределения интенсивности света. В этом случае показатель преломления вдоль определенного направления можно представить следующим образом:
п ( X) = п0 + И1008 X] + «2С08 X), (1)
где Л - пространственный период изменения показателя преломления, п0 - постоянная составляющая показателя преломления; п1, п2 - амплитуды модуляции показателя преломления на основной и удвоенной пространственных частотах. Для анализа дифракционных свойств такой голограммы необходимо использовать четырехволновое приближение при дифракции под первым углом Брэгга [1] или трехволновое приближение при дифракции под вторым углом Брэгга, что было сделано в работе [2]. В этой работе в результате аналитического решения линейной системы трех дифференциальных уравнений для случая дифракции под вторым брэгговским углом получена зависимость дифракционной эффективности от толщины голограммы, которая фактически аналогична решению Когельника [3], но включает эффективную величину амплитуды модуляции показателя преломления п2е£, зависящую от п2 и п1. При дифракции оптической волны, падающей на решетку под первым углом Брэгга, для расчета
дифракционной эффективности используется формула Когельника, т.е. не учитывается п2 [2]. Однако, как показано в [4], при нелинейной записи п2 существенно влияет на величину дифракционной эффективности. Сходные зависимости дифракционной эффективности от п2 и п1 для второго брэгговского угла приведены в работе [5]. Они получены в результате решения системы уравнений связанных волн в трехволновом приближении. При дифракции под первым брэгговским углом для получения аналитической зависимости дифракционной эффективности от п1 и п2 необходимо решить систему четырех линейных дифференциальных уравнений, что из-за громоздкости математических преобразований весьма трудно сделать. Авторам не известны аналитические решения, учитывающие п1 и п2. В то же время анализ работы [2] и анализ уравнений связанных волн, предложенных в [4], позволяют сделать вывод, что зависимость дифракционной эффективности от п1 и п2 можно получить более простым способом, не прибегая к аналитическому решению системы четырех дифференциальных уравнений. Этот способ изложен в данной работе. Для подтверждения его правильности аналитическое решение для случая дифракции под вторым углом Брэгга получено как предложенным способом, так и строгим методом путем решения соответствующей системы уравнений. Для первого брэгговского угла приближенное решение найдено на основе анализа системы уравнений связанных волн, предложенных в [4]. Проведено сравнение результатов расчета дифракционной эффективности по аналитическим
2 ф - период интерференционной картины вдоль оси х, п0 - показатель преломления фоточувствительной среды, - длина волны света при записи голограммы. Соответственно показатель преломления после записи голограммы можно представить выражением (1).
В работе [4] получена система линейных дифференциальных уравнений, описывающих распространение оптических волн ^-поляризации через прозрачную периодическую среду, показатель преломления которой описывается формулой (1).
Согласно [4], напряженность электрического поля оптической волны в периодической среде представляется в виде линейной комбинации плоских волн, амплитуды которых меняются при распространении и зависят только от координаты г. Ось г перпендикулярна к плоскостям, ограничивающим периодическую среду. Таким образом, напряженность поля в среде [4, 6]
E(x, z) = А;(z)
exp|_- j (h
,x + k¡, zZ )J
Рис. 1. Дифракция света на объемной голограмме при падении плоской волны под вторым (а) и первым (б) брэгговскими углами.
зависимостям, а также на основе численного решения системы дифференциальных уравнений в трех- и четырехволновом приближениях. С использованием полученных аналитических формул из экспериментально измеренных зависимостей дифракционной эффективности от угла падения пучка на голограмму определены нъ n2 и толщина голограммы.
ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ ЗАПИСИ ТОЛСТОЙ ГОЛОГРАММЫ
Допустим, что на фоточувствительную среду падают два взаимокогерентных лазерных пучка с плоскими волновыми фронтами, которые распространяются в среде под углом 2ф друг к другу. Биссектриса этого угла ортогональна к двум взаимно параллельным плоскостям, между которыми размещена фоточувствительная среда, а расстояние между плоскостями определяет толщину голограммы. Если ось х лежит на одной из плоскостей и одновременно в плоскости падения записывающих пучков, то суммарная интенсивность света I(x) в объеме фоточувствительной среды при малом поглощении определяется следующим соотношением:
I( x) = I0 [ 1 + cos (2 пх/Л)], где I0 - средняя суммарная интенсивность света, Л =
Vcos 6;
(2)
где A¡ (z) - переменная амплитуда плоской волны; k¡ - волновой вектор плоской волны с амплитудой A¡ (z), модуль которого равен к = 2nn0/X; 6¡ - угол между осью z и волновым вектором k¡; k¡, x = к sin 6¡, k¡, z = kcos 6¡; m - единичный вектор, направленный перпендикулярно к плоскости падения и дифракции, т.е. плоскости xz. На рис. 1 изображено распространение дифрагированных волн при падении плоской волны на голограмму под первым и вторым брэгговскими углами.
После подстановки (2) в скалярное волновое уравнение для волн ^-поляризации [7] получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений:
d2 A; dz2
-2 jk,
dA;
dz+1a
cos 6; cos 6; -
cos 6; cos 6; +
■Ai + r exp (- j A ¡ + rz)
■Ai-rexp(j A ;-rz) + (3)
= 0,
,2 П
где ar = k — , A; _ r = k;, z - к; _ г, z , A; + r = k; + r, z - ki
г 'п, г г - г, г> г + г + г, г г, г~ п0
Система уравнений связанных волн может существовать и иметь вид (3) лишь при следующих условиях [4]:
гК + к, х - кг - г, х = 0, гК - к, х + к; + г, х = 0, (4)
где К = 2п/Л - модуль вектора решетки К, направленного вдоль оси х. Углы б; определяются из условия (4). Зная к0, х (задается направлением падающей плоской волны), по формулам (4) можно определить к±1, х, затем к±2, х и т.д. Соответственно
к2 - к2х. Таким образом, в системах уравнений (3) определяются все величины. Укажем, что выполнение условия (4) подтверждается результатами экспериментальной проверки [4].
Следует отметить, что системы уравнений (3) в общем случае являются бесконечными (-^ < г < На практике используют усеченные системы, когда г ограничено. Например, в теории Когель-ника г = 0, 1. Для учета второй гармоники модуляции показателя преломления (п2) необходимо ис-
k;, z выражается как k; z =
r
r
+
пользовать четырехволновое приближение, т.е. г = -1, 0, 1, 2, или трехволновое приближение, когда плоская волна падает на голограмму под углом 6В2 или вблизи него. При этом должно выполняться условие -1 < втб; < 1.
ЭФФЕКТИВНЫЕ МОДУЛЯЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ НА ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЧАСТОТАХ
Если п1, п2 < 1, для расчетов дифракции на толстых голограммах можно использовать параболическое приближение [6], пренебрегая второй производной в системе уравнений (3). Упрощенная система уравнений будет иметь вид
2
-A+2Jb'
'=i
A ,■ - r exp (j А,- _ ,z ) - Veos 6; cos 6; _ r
A i + г eXP ( -j А ,■ + rZ ) ■
7cos 6;cos6; + r .
(5)
= 0,
É-i + jk eos 0_1 B_1 + j
nn,
É0
X
+j
.п n2
É1
X 7cos 6_1cos 61
7cos 0_1 eos 60 = 0,
Éo + jk cos 60É0 + j-
п n,
É_i
X 7cos 6_1cos 60
+j
п n,
É1
X 7cos60cos6,
Éi + jk cos 6, É, + j-
0
п n
= 0,
É0
X 7cos6, cos6(
+
+j
п n2
É_1
X 7cos 6_,cos 6,
= 0.
(6)
ское решение необходимо искать при следующих начальных условиях: В-х(0) = 1, В0(0) = 0, Вх(0) = 0. В данном случае нас интересует дифракционная эффективность первого порядка дифракции, которая, согласно [6], равна п = В1(г)!2. Наиболее просто находится решение этой системы дифференциальных уравнений по методу Лапласа. При данных начальных условиях
Éi( z ) =
( Ja2 + b, - a, ) exp [ -jп ( a2 - Ja, + b,) b0 ] + 4,J a2 + b,
(Jaf+b, + a,) exp [-j п( a2+ Jaf+b,) b0 ] (7) 4^
"2exp (- j 2 п a0b0),
где
b0 =
2 X cos 6
b, = 8 n 1cos6B2,
где Ьг = кпг / X.
Эта система дифференциальных уравнений является линейной с переменными коэффициентами. Ее удобно использовать для теоретических исследований, что будет показано ниже. Для аналитического решения системы уравнений в трех-волновом приближении ее необходимо преобразовать к линейной системе с постоянными коэффициентами следующей заменой переменных: Аг (г) = В г (г)ехр( ]ки гг). Таким образом, преобразованная система при трехволновом приближении для второго брэгговского угла примет следующий вид:
B2
а0 = 2п0соз2 6В2 - п2, а1 = 2п0соз2 6В2 - 2п0соз 6В2 + п2, а2 = 2п0со82бВ2 + 2п0сов бВ2 + п2. Тогда выражение для дифракционной эффективности после несложных алгебраических преобразований можно записать следующим образом:
П = А1 (г) А* (г) = 1 (1- а^а\ + ¿1 )х
2
X sin
п b0( 2a0 - a2 + л/ a, + b,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.