РАСПЛАВЫ
3 • 2008
УДК 539.186.3:546.65-14
© 2008 г. А. И. Киселев
ЭФФЕКТЫ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В РАСПЛАВАХ РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ МЕТАЛЛОВ
Предложен метод, позволяющий с помощью приближений подхода коллективных возбуждений оценить значения эффективной массы электронов, учитывающей процессы электрон-фононного взаимодействия.
Свойства редкоземельных металлов (РЗМ) обнаруживают существенное различие для подгрупп легких (до европия, включительно) и тяжелых РЗМ. В частности, температуры плавления тяжелых РЗМ практически в два раза выше, чем у легких. Столь же очевидное различие проявляется в магнитных свойствах РЗМ. Из условий заполнения электронами 4/-оболочки следует, что для легких ОЗМ сохраняющимся квантовым числом является спин, а для тяжелых - полный орбитальный момент. Такой переход может оказать влияние на свойства поляризации спинов электронов проводимости и, как результат, на физико-химические свойства металлов.
Для редкоземельных металлов характерен случай, когда обменное взаимодействие между локализованными спинами ионов осуществляется посредством электронов проводимости (¿—/-обменное взаимодействие). В работе [1] отмечалось, что для РЗМ в твердом состоянии такое взаимодействие приводит к появлению добавочной периодичности в энергии электронов проводимости с периодом, большим периода кристаллической решетки. В к-пространстве, кроме обычных бриллюэновских зон, возникают новые зонные границы, связанные с взаимодействием электронов с периодическим полем ¿—/-обменной связи.
Отметим, что энергетика ¿-/-обменной связи [2] и внутренняя энергия системы фо-нонов [3] расплавов РЗМ близки между собой (порядка 0.02 ат. ед.). В этом случае можно предположить, что изменение характеристик электрон-фононного взаимодействия в ряду РЗМ должно быть близким к изменению ¿-/-обменной связи и отличаться для подгрупп легких и тяжелых РЗМ. Процессы электрон-фононного взаимодействия могут быть дополнительным источником причин, приводящих к различию физико-химических свойств подгрупп легких и тяжелых РЗМ.
МОДЕЛЬ МИГДАЛА-ШРИФФЕРА
Очевидно, что коллективные колебания ионов влияют на поведение электронов проводимости. Например, в металлах продольные колебания ионов вызывают изменение плотности заряда. Такая избыточная плотность заряда создает электростатический потенциал, зависимость которого от координат имеет такой же вид, как зависимость от координат амплитуды коллективных колебаний. Этот потенциал, который необходимо учитывать в полном гамильтониане металла, и определяет взаимодействие между коллективными колебаниями и электронами.
Наиболее известное следствие такого взаимодействия состоит в рассеянии электронов фононами, которое определяет значение электрического сопротивления. Два других следствия электрон-фононного взаимодействия состоят в сдвиге одноэлектронных энергий и частоты фононов.
При решении задачи о взаимодействии электронов с фононами чаще всего находят приближенные собственные состояния отдельно как электронов
Нэл - ск, (!)
эл
к
так и фононов
Нфон - АЯ' (2)
1
и считают вклад от электрон-фононного взаимодействия возмущением. Здесь ек -энергия электрона; - частота фонона; с+ , ск, А+ , АЯ - операторы рождения и уничтожения электронов и фононов. При этом гамильтониан электрон-фононного взаимодействия (в пренебрежении фонон-фононным взаимодействием) можно представить в виде
Нэл-фон - ^ А1 + А+1)с+ ск■ (3)
к, к', я
Гамильтониан (3) описывает процесс, в котором электрон, испуская или поглощая фо-нон с волновым вектором ц, рассеивается из состояния к в к'. В модели "желе", в которой учитывается взаимодействие электронов только с продольными фононами, выражение для параметра взаимодействия описывается в виде
Е - ^ Ш-, (4)
Я /\]2ПрМ' V ;
где г - валентность, N - число ионов, М - масса иона, 0.Р - частота плазменных колебаний в системе электронов проводимости.
Совокупность фононов можно рассматривать как внешнее поле, взаимодействующее с системой электронов и вызывающее ее поляризацию. Поляризация, в свою очередь, вызывает изменение характера самого этого взаимодействия. Поскольку типичные частоты фононов очень малы по сравнению с характерными частотами системы
электронов (их отношение порядка л]ше1 М, где те - масса электрона), то характер экранирования в этом случае будет близок к свойствам экранирования статического внешнего заряда. Взаимодействие ионов друг с другом будет ослаблено в е(я) раз. Здесь е(1) - статическая функция диэлектрического экранирования. В результате квадрат эффективной частоты продольной звуковой волны оказывается равным
«2 - 1)■ (5)
Использование в этом уравнении экранирования, записанного в приближении Томаса-Ферми для предела больших длин волн, привело к известному соотношению для скорости звука Бома-Стайвера [4].
Электрон-фононное взаимодействие приводит к перенормировке энергии квазиэлектронов. Происходит "одевание" электрона, т.е. возникновение фононного облака вокруг него. На рис. 1 показан процесс, когда электрон с импульсом йк излучает виртуальный фонон с импульсом -йц, а затем снова поглощает его. Это есть вклад низшего порядка (в теории возмущений) при образовании облака виртуальных фононов вокруг электрона.
- Ч
к к + ч к
Рис. 1. Процесс "одевания" электрона.
А.Б. Мигдал [5] решил задачу о взаимодействии электрона с фононным полем в предположении, что электрон-электронными взаимодействиями можно пренебречь. Он пришел к следующему выражению для собственно энергетической части:
(6)
(7)
(8)
Здесь двойная линия в правой части означает электронную функцию Грина, определя емую уравнением Дайсона
°( ' ^ е - е к - ^ ( к, е ) + г5 "Одетая" фононная линия определяется выражением
¡2ш «Ыд■
•• \ / \ / \ / = гБ(с, ю) = ——\-.
ю - шС[ + г5юС
Энергетический параметр "одетого" электрон-фононного взаимодействия имеет вид
Ч?эфф(С) = -1§д/е(С) . (9)
Тогда уравнение для собственно энергетической части (6) записывается в виде £(к, ю) = 1(к + С)|£3фф(С)|2Б(С, е), (10)
что дает закон дисперсии квазичастиц с эффективной массой, учитывающей электрон-фононное взаимодействие [6]
фон,
т / т„
4 ( 2\Ш
П (тз) т*1п
(2кР ) 2 + к °п
к2 /Сп
(11)
т.е. масса "голого" электрона перенормируется за счет облака фононов. Здесь - безразмерный параметр, определяющий расстояние между электронами проводимости в металле. В подходе Мигдала учет электрон-фононного взаимодействия производится путем суммирования массы электрона с эффективной массой (11).
Выражение для параметра экранирования модели Томаса-Ферми
2 2 4кР
к° = 4пе NЕР) = —
Таблица 1
Эффективная масса электрон-фононного взаимодействия модели Мигдала-Шриффера
Металл Мо(Ер) фон т0 ЩБр) фон т Металл Мо(Ер) фон т0 фон т
те т е те т е
8с 14.83 3.178 12.5347 3.4919 оа 16.78 3.261 14.8338 3.5007
У 17.38 3.285 15.0915 3.5626 ть 16.54 3.251 14.6025 3.4910
Ьа 18.51 3.328 17.7263 3.4140 Оу 16.35 3.244 14.2399 3.5099
Се 17.44 3.287 16.6165 3.3821 Но 16.25 3.239 13.9077 3.5382
Рг 17.60 3.293 16.5766 3.4106 Ег 16.05 3.231 13.6622 3.5400
Ш 17.20 3.278 15.9692 3.4213 Уь 17.25 3.555 16.4778 3.6558
8ш 16.82 3.263 14.9413 3.4933 Ьи 15.52 3.208 13.0059 3.5434
Ей 18.94 3.618 15.7938 4.0425 - - - - -
получено при подстановке уравнения плотности состояний М0(ЕР), записанного в приближениях свободных электронов. Здесь и в дальнейшем используется система атомных единиц Хартри.
Значения эффективной массы электронов тфон (с параметром экранирования Томаса-Ферми) для расплавов РЗМ при температуре плавления приведены в табл. 1. Для них можно отметить тенденцию постепенного уменьшения в направлении от легких к тяжелым РЗМ.
В работе [7] описана самосогласованная методика определения модельных параметров металлических расплавов: коэффициента упаковки твердых сфер и радиуса гс модельного потенциала Ашкрофта и вариационного параметра обменно-корреляци-онного взаимодействия. В ней также представлены значения этих модельных параметров для расплавов РЗМ.
В табл. 1 приведены плотности состояний М(ЕР), полученные во втором порядке теории возмущений с этими модельными параметрами, и эффективные массы элек-трон-фононного взаимодействия тфон, рассчитанные с этими М(ЕР) в уравнении (12). Видно, что тенденция изменения тфон в ряду РЗМ изменилась в обратную, по сравнению с тенденцией изменения тфон. Однако эффективные массы электрон-фононного
взаимодействия непропорционально большие, и гамильтониан (3) уже вряд ли можно считать возмущающим фактором. Такое противоречие во многом определяется тем фактом, что в подходе функции Грина энергия электронов в большинстве случаев записывается в первом порядке теории возмущений и уравнения для эффективной массы, как функции производной энергии электрона по волновому числу, часто приводят к нереалистичным результатам. В частности, экспериментальные данные Макмиллана [8] показывают, что для чистых металлов эффективная масса электрон-фононного взаимодействия может быть порядка единицы.
ПРИМЕНЕНИЕ ПОДХОДА "КОЛЛЕКТИВНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ" К ОЦЕНКЕ ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Здесь большее внимание обращается на процессы поляризации и изменение частоты фононов. Изменение плотности заряда, связанные с движением ионов, поляризуют
к - я
ч
к' + ч к'
Рис. 2. Взаимодействие электронов друг с другом, индуцированное фононом.
Рис. 3. Электрон-электронное взаимодействие.
электронный газ. Эта поляризация, в свою очередь, меняет характер взаимодействия между ионами, что отражается в изменении фононных частот по сравнению с частотами колебаний ионов на однородном фоне отрицательного заряда.
Электрон-фононное взаимодействие приводит также и к появлению нового механизма взаимодействия электронов друг с другом. Этот механизм определяется тем фактом, что каждый электрон поляризует распределение ионов вокруг себя, а это возникшее поле поляризации воздействует на другие электроны. Этот новый механизм взаимодействия (взаимодействие Фрелиха [9]) можно рассматривать как следствие обмена виртуальными фононами. На рис. 2 показано, как два электрона, находящиеся первоначально в состоянии с импульсами
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.