В данной работе в пренебрежении магнитоди-польным взаимодействием с помощью метода матрицы перехода выяснены особенности локализации и прохождения объемной сдвиговой волны через ограниченную двухслойную магнитную сверхрешетку типа "негиротропный магнетик-идеальный сверхпроводник", индуцированные магнитоупругим взаимодействием.
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Как известно [16], в пренебрежении магнитоди-польным взаимодействием магнитоупругую динамику бесконечной пространственно однородной магнитоупорядоченной среды можно описывать как упругую динамику некоторой гипотетической среды, часть эффективных упругих модулей которой обладает временной дисперсией. В частности, в [15] для легкоосного антиферромагнетика с изотропными упругими и магнитоупругими свойствами были рассмотрены все возможные геометрии, допускающие распространение сдвиговой упругой волны.
В качестве примера одномерного магнитного фононного кристалла будем рассматривать двухслойную сверхрешетку типа "негиротропный магнетик-идеальный диамагнетик". Такой вариант магнитной сверхрешетки может быть реализован, если в качестве негиротропного магнетика (среда а) выбрать упругоизотропный легкоосный антиферромагнетик в коллинеарной фазе, а в качестве идеального диамагнетика (среда Ь) - сверхпроводник, толщина которого больше удвоенной лондо-новской глубины. Для того чтобы дальнейшее рассмотрение было справедливо для всех геометрий, проанализированных в [15], будем полагать, что задана декартова система координат с осями х1, х2 и х3, причем направление нормали к границе раздела слоев п (оси сверхрешетки) совпадает с осью хь вектор упругих смещений и в сдвиговой волне всегда направлен вдоль оси х3, а плоскостью распространения Ж-волны является плоскость х1х2. В выбранной системе координат для такой сдвиговой волны соотношения, связывающие компоненты тензора упругих напряжений с^ и вектора упругих смещений решетки и в среде а, могут быть представлены в виде:
_ д и3
°31 — ^дх'
_ д и3
°32 — дх~;
Си — С , —
22 ю0 - ю
2 2 2 «0 + Юте - Ю
(1)
(2)
С|| —
22 ю0 - ю
2
Юо"
22 Юте - Ю
х! — О2, х2 — ОУ,
с, —
22 Ю0 - Ю
2 Ю0
22 Юте - Ю
— 1;
х3 — ОХ,
си — 1;
(4)
х1 — ОУ, х2 — 02, х3 — ОХ.
Здесь ца - модуль сдвига упругоизотропной среды а, ю0 - частота однородного антиферромагнитного резонанса без учета магнитоупругого взаимодействия, юте - магнитоупругая щель [15]. Такие же соотношения могут быть определены и для второй, акустически негиротропной среды (среда Ь), образующей элементарный период рассматриваемой сверхрешетки. Относящиеся к ней величины в дальнейшем будем обозначать чертой сверху. В частности, в упругоизотропной немагнитной среде Ь соотношения, аналогичные (1), имеют вид (ць - модуль сдвига)
ди3
°31 — Ць д^
ди3
°32 — дх-
(5)
Так как рассматриваемая сверхрешетка предполагается акустически сплошной, на границах раздела каждого из слоев, составляющих сверхрешетку, должна быть выполнена следующая система граничных условий [5]:
^¿1 — оп, ип — ип, (6)
где х1 = ёа + ЫБ или х1 = ЫБ, В = ёа + ёЬ - элементарный период сверхрешетки, N = 0, 1, 2....
Введем в каждой из сред двухкомпонентный вектор-столбец
Ва(х! ) —
/ л
и (х! )
^31 (х! )
ВЬ(х! ) —
/ _ Л
щ(х!)
V ®3! ( х! )
. (7)
Тогда в каждой из сред, составляющих сверхрешетку, пространственное распределение ненулевой компоненты вектора упругих смещений и3 (сдвиговая волна) запишется в виде
и — [ А"_ ехр (-^х) + А+ехр (дах! )]х х ехр (- iюt - ¿к,х2);
2
2 !
Ча — с С||
2Ю
с,к, - —
Sa.
х! — ОХ, х2 — ОУ, х3 — 02,
и3 — [ А-ехр (-^х) + А+ехр (^ьх! )]х х ехр (- iюt - ¿к,х2);
2
2Ю
к, -Т
Здесь и3 относится к среде а, и3 относится к среде Ъ, 5а, ь - фазовая скорость в среде а или Ь соответственно, А±Ъ - произвольные константы, к± - компонента волнового вектора вдоль направления распространения сдвиговой волны.
В этом случае матрица перехода М,к, связывать
ющая значения вектора В, на границах одного и того же слоя, с учетом (1)-(6), (8) может быть представлена в виде (V = а, Ъ)
Мк =
/ л
Ми М2
м2, М22
BV (dv) = М1Бк (0), (9)
где
Мп = сЬ (qvdv); М^2 = (qvdv) / Zv; М^ = Zv (qvdv); М22 = сЬ (qvdv).
(10)
ва (В) = ТВ (0);
тл = маМк.
(11)
(12)
со8 дв =
Т „ + Т:
22
(13)
22
тригонометрических «Ж-волны (qa < 0 и qь < 0); 3) в одном из слоев волна тригонометрическая, а во втором - гиперболическая (q2aq2ь < 0). Запрещенные зоны в спектре объемных сдвиговых колебаний рассматриваемой магнитной сверхрешетки на плоскости внешних параметров ю и к± определяются с помощью (10), (12)-(13) неравенством
Т„+ Т22 > 2.
(14)
Здесь Za = цас^а и Zь = 1^ь - поверхностные акустические импедансы для «Ж-волны в среде а и Ъ соответственно.
Как видно из (9)-(10), матрица М]к является
унимодулярной (| = 1), поэтому унимодулярна и матрица перехода ТЛ, связывающая значения
компонент введенных выше векторов В, в начале и в конце элементарного периода В = da + dь рассматриваемой двухслойной акустически неги-ротропной сверхрешетки
В результате дисперсионное уравнение для спектра нормальных объемных сдвиговых колебаний неограниченного двухкомпонентного одномерного акустически негиротропного магнитного фононного кристалла для всех рассматриваемых геометрий (2)-(4) с учетом (6)-(12) имеет вид [5]:
Условием слияния зон при некоторых определенных ю и к± является выполнение соотношения Za = Zь (условие безотражательного прохождения объемной «Ж-волной границы раздела между полуограниченными средами а и ь).
УСЛОВИЯ ФОРМИРОВАНИЯ КОЛЛЕКТИВНОЙ СДВИГОВОЙ ПАВ
Несомненный интерес представляет ответ на вопрос: как указанная выше "тонкая" структура нормальных акустических колебаний бесконечной магнитной сверхрешетки влияет на условия локализации и распространения «Ж-волн в полуограниченной магнитной сверхрешетке?
Будем считать, что обсуждаемая магнитная сверхрешетка занимает нижнее полупространство, причем направление нормали к границе слоев п (направление оси сверхрешетки) совпадает с осью х1. Если внешняя поверхность сверхрешетки х1 = 0 имеет сплошной акустический контакт с полуограниченной (хх > 0) пространственно однородной упругоизотропной немагнитной средой с
коэффициентами Ламэ X, |1, то, помимо условий (6), на ее поверхности (хх = 0) должны быть также выполнены соотношения
О,1 = о,
и,, = и
(15)
Здесь д - блоховское волновое число.
Анализируя (8), можно заметить, что для заданных значений частоты ю и волнового числа к± распространяющейся коллективной нормальной «Ж-волны неограниченного магнитного фонон-ного кристалла ее структура на каждом элементарном периоде сверхрешетки формируется на основе одного из следующих вариантов: 1) две гиперболических «Ж-волны (qЬ > 0 и qЬ > 0); 2) две
В (15) предположено, что верхний слой сверхрешетки - магнитный. Рассмотрим условия прохождения через границу раздела "немагнитная среда-магнитная сверхрешетка" сдвиговой объемной волны, падающей на внешнюю поверхность сверхрешетки из немагнитной среды. В этом случае пространственную структуру ненулевой компоненты вектора упругих смещений решетки в «Ж-волне из можно представить в виде (С± - амплитуды падающей и отраженной волн, 5 - фазовая скорость сдвиговой волны в верхнем полупространстве)
и3 =
[С_ехр(-¡к\\х!) + С+ехр(¡к\\х!)] X
х ехр (- ¡ю1 - х2),
2
(16)
72 =
ю2
-5
> 0.
В результате с помощью теоремы Флоке [5] и соотношений (6), (8), (12), (15), следуя [17], можно показать, что коэффициент отражения Я = С+/С-для сдвиговой объемной «Н-волны, падающей на внешнюю поверхность обсуждаемой полуограниченной сверхрешетки, с помощью приведенной выше матрицы перехода Тк можно представить в виде (р2 = -д2 > 0):
Я =
^ + Т 2 ■ ( ехр ( - вВ ) - Т 22 ) 1
^ - Т2, ( ехр ( - вВ ) - Т22 ) -
(17)
Здесь Z = , 1 к || - акустический импеданс немагнитной среды, занимающей верхнее полупространство (хх > 0). Анализ (17) показывает, что в случае Т21 = 0 амплитудный коэффициент прохождения Ж (Ж = 1 + Я) сдвиговой объемной упругой волны через поверхность раздела "немагнитная среда-магнитная сверхрешетка" достигает максимума. Это связано с тем, что в этом случае падающая из немагнитной среды на поверхность сверхрешетки сдвиговая объемная упругая волна возбуждает коллективную сдвиговую поверхностную акустическую волну, которая формируется вблизи механически свободной поверхности акустически негиротропной магнитной сверхрешетки. С учетом (2)-(4) и (10)-(12) ее дисперсионное соотношение может быть представлено в виде
Zа Л (qada) + Zь Л (qьdь) = 0.
(18)
з(х!) = ^ Uзvexp
,|в + В| х!
X
X ехр (- iюt - х2),
, Т ц|
(19)
в = е-
В
Подчеркнем, что если одновременно выполнены условия 5а = 5ь и ра = рь (ра и рь - соответственно плотности магнитной и немагнитной сред, составляющих сверхрешетку), то формирование рассматриваемой сдвиговой ПАВ обусловлено исключительно присутствием в исследуемой композитной структуре магнитоупругого взаимодействия. Вследствие (18) данная волна представляет собой колебания одного периода рассматриваемой сверхрешетки при условии, что обе ее поверхности являются механически свободными. В зависимости от типа колебания (тригонометрический или гиперболический), реализующегося в условиях (18) в каждом из слоев, составляющих элементарный период сверхрешетки, для заданной геометрии распространения в принципе возможно от одного до трех типов сдвиговой коллективной ПАВ. Первый из них формируется при распространении объемных волн в каждом из
слоев (qь < 0, qЬ < 0). Если неравенство q7^яq2Ь < 0 справедливо, то возможен второй вариант коллективной сдвиговой ПАВ (объемная «Н-волна в одном слое и гиперболическая - в другом). Число ветвей v в спектре конкретной ПАВ определяется из выражений
Л dak х
а I ™ \2 '5ь а ь п
сн\ — I < -;- с± если с > 0,
2
(20)
а I ™ )2 5ь а ь п
СаШ1) >^-с± если сь<0
Если полупространство при хх > 0 является немагнитным, то в области ю > 7 к± эта сдвиговая поверхностная волна при наличии акустического контакта на границе раздела сред становится вытекающей (генерируя в верхней немагнитной сре-
= 2
де объемную «Н-волну к || > 0 с теми же ю и к1). Характер локализации данной неоднородной Ж-в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.