ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2013, том 77, № 4, с. 481-486
УДК 539.17
ЭФФЕКТЫ ПЕРЕРАССЕЯНИЯ В ПРОТОННОМ РАССЕЯНИИ НА ЯДРЕ 15N
© 2013 г. Е. Т. Ибраева1, М. А. Жусупов2, П. М. Красовицкий1
E-mail: ibr@inp.kz
В рамках дифракционной теории Глаубера проведен расчет дифференциального сечения протонов на ядре 15N при Е = 0.2, 0.6 и 1.0 ГэВ с учетом высших кратностей соударений (прерассеяний). Показано, что в приближении трехкратного рассеяния с использованием оболочечной волновой функции 15N, амплитуду р15^процесса можно вычислить аналитически. Эффекты перерассеяния в сечении проявляются во всем угловом диапазоне, однако их роль возрастает при больших углах рассеяния и с увеличением энергии налетающих частиц.
DOI: 10.7868/S036767651304011X
ВВЕДЕНИЕ
Рассеяние протонов на ядрах является испытанным методом изучения внутренней структуры ядер и протон-ядерных взаимодействий. Пока нет единой теории сильного взаимодействия, вся извлекаемая информация модельно зависима. Обычно при низких энергиях используется оптическая модель, при более высоких (от сотен МэВ до ГэВ) глауберовская теория многократного рассеяния.
В глауберовской теории амплитуда протон-ядерного рассеяния записывается как интеграл от функции оптического фазового сдвига по прицельному параметру. Функция оптического фазового сдвига есть матричный элемент оператора многократного рассеяния в обкладках волновых функций (ВФ) мишени в начальном и конечном состояниях. Имеются две основные проблемы вычисления этого матричного элемента: трудности расчета с точными ВФ и трудности решения ядерной многочастичной задачи с оператором многократного рассеяния. Чтобы их преодолеть, вводятся различные приближения. Для ВФ используется представление ее в виде плотности (и упрощения ее до произведения одночастичных плотностей нуклонов) или в виде инертного кора и валентных нуклонов (нуклона). Оператор многократного рассеяния разлагают на сумму одно-, двух-, трех-, ... ^-частичных операторов (являющихся произведением парных нуклон-нуклонных операторов рассеяния) и вычисляют матричный элемент с обрезанным рядом. Тогда многочастичный матричный элемент сводится к двухчастичным, которые легко вычисляются. В предельном случае — приближении оптического предела — оставляют только первый член суммы, учитываю-
1 Институт ядерной физики НЯЦ РК, Алма-Ата, Казахстан.
2 Казахский национальный университет имени аль-Фараби,
Алма-Ата, Казахстан.
щий однократные соударения налетающей частицы с нуклонами ядра. Проблема этих приближений в том, что их трудно оценить, поскольку точная амплитуда рассеяния неизвестна. Однако известно, что использование вместо ВФ одночастичных плотностей не дает возможности учесть эффекты ядерных корреляций, а приближение оптического предела ограничивает область рассеяния только передними углами.
С развитием численных методов, чтобы избежать сложности аналитических расчетов, применяется метод монте-карловского интегрирования амплитуды. Точность его выше, чем описанных выше приближенных методов, поскольку амплитуда вычисляется с многочастичными ВФ (полученными с реалистическими потенциалами двух- и трехчастичных взаимодействий) и полным оператором многократного рассеяния (без обрезания). Как пишут авторы [1], "можно получить достоверные результаты меньшими усилиями по сравнению с предыдущими приближениями". Метод интегрирования Монте-Карло в глауберовсом формализме успешно применяется для изучения рассеяния протонов на ядрах 6Не [1], 9-11Ы [2, 3], 910Ве, 10В [3] и др.
В настоящей работе, оставаясь в рамках аналитического метода расчета глауберовской амплитуды [4, 5], мы вычисляем амплитуду р15Ы-рассе-яния с учетом перерассеяний разных кратностей (до третьей включительно). Известно, что ряд многократного рассеяния сходится быстро, и каждый следующий член ряда на порядок меньше предыдущего, поэтому даже приближение оптического предела (однократное рассеяние) дает вполне разумный результат в области передних углов рассеяния. Учет же второй и третьей кратностей позволяет расширить область применения до средних углов 9 ~ 40°. Аналитический метод вычисления дает возможность рассмотреть разные эффекты:
зависимость амплитуды от механизма взаимодействия (многократное рассеяние), от структуры ядра (различные модельные ВФ), от энергии частиц, от кинематики реакции.
Оператор ^ в глауберовскоИ теории записывается в виде ряда многократного рассеяния:
А
° = 1 - П (( (р-Р V )) =
У=1
1. РАСЧЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ В ГЛАУБЕРОВСКОМ ФОРМАЛИЗМЕ
Матричныи элемент (амплитуда) рассеяния в глауберовском формализме записывается следующим образом [6]:
мV д = х 2П № ехр(/*р>г м ^ 'м
мм,
где ¥,м' и ¥— ВФ начального и конечного состоянии, р — прицельныИ параметр, соответствующий проекции радиуса-вектора рассеивающихся частиц г на плоскость, перпендикулярную направлению их распространения; Гу — одночастич-ные координаты нуклонов, А — число нуклонов в мишени, д — переданный в реакции импульс
~ ~ О
д = к - к', в случае упругого рассеяния д = 2к ^ ~ >
9 — угол рассеяния.
Основное состояние ядра 15М — уровень отрицательной четности 'п = 1/2- с конфигурацией (Ь)4(1 р)11. Оболочечную ВФ представим в виде
,= ЧП^(ГЪ.. 7$) ЧП1кщ(?5,.. Л5), (2) где ¥п1т(?1,Г2,...) П^п1т(гд есть произведение од-
I
ночастичных функций, п^т — квантовые числа (главное, орбитальное и магнитное) соответствующей оболочки. Волновые функции в сферически-симметричном случае факторизуются на радиальную и угловую части:
(1)
^ п1т(г1) = Яп1(г) М, Ф),
(3)
Я00 — С00 ехР
г 2 л
г
2г2
V 2Г0
, С00 —
1/ 4 3/2 '
П г0'
Яц = Сп-ехр Г0
/ 2 А
г
7г2 V 2Г0
, С11 = л¡3С00.
(4)
(5)
= X ^ - X + (6) + X - ...(-1)А-1Ю1Ю2...<ВА,
v{ц{n
где первый член отвечает за однократные соударения, второй — за двукратные, и т.д. до последнего члена, отвечающего за А-кратные соударения. Мы ограничимся тремя первыми членами ряда, поскольку известно [6], что каждый следующий член дает вклад в сечение на несколько порядков меньше предыдущего. Отдельные профильные функции юу выражаются через элементарные ^-амплитуды /рЯ(д):
ю,
(I3 - РV) = ехр(-ду(р - рV))/рм (). (7)
(2гок)
Сама же элементарная амплитуда записывается стандартным образом:
/рм д) = ^^Т ( + 8 рм )ехр (-ррмду2/2), (8)
где параметры а рМ — полное сечение рассеяния протона на нуклоне, е рМ — отношение действительной части амплитуды к мнимой, р рМ — параметр наклона конуса амплитуды при разных энергиях представлены в [8—10].
С учетом первых трех членов ряда (4), запишем матричный элемент (1)
(9)
где первый член соответствует однократному, второй — двукратному, третий — трехкратному рассеянию:
М/(д) = М/\д[) - М/2)(д) + М/3)(д),
где Яп1 (г) — радиальная ВФ, У1тф, ф) — сферическая функция [7]. В потенциале гармонического осциллятора для 15№ п0 = 0, 10 = 0, т0 = 0; п1 = 1, 11 = 1, т1 = 0, ±1:
М/\д) =
X 2П РР ехр(г?рм ¥''
ММ) П \
м/'т =
X
v=1
Ю,
¥
1М,-
= X 2Г № ехр('Ш *М
мм) П \
X
ю,,ют
¥;
М/3)(д) =
X 2П РР ехр ('^Р^^ 'М'
м,м
X
ю,,ютю.
¥
'м,
(10)
(11)
(12)
Вывод формул матричных элементов (10) и (11) приведен в наших предыдущих работах [4, 5].
А
У<Т
ЭФФЕКТЫ ПЕРЕРАССЕЯНИЯ В ПРОТОННОМ РАССЕЯНИИ НА ЯДРЕ
483
Остановимся на вычислении матричного элемен-
та трехкратного рассеянияМА3)(!). Обозначим
Пз = рр ехр(/!р) 2
Ю,,ЮтЮР.
(13)
йз=[ к * (3)2
©V
(14)
V<T<E=1
где
ЮутЕ = ехр
(( + Рт + РЕ)
82 (рV -рт)82 (рЕ - 2(рV +рт)).
(15)
Учитывая, что в «-оболочке находятся 4 нуклона и в р-оболочке — 11, запишем (14) следующим образом:
3 =
4 15
\1к0 J
А
з- (!) 12
^<т<8=1 4 15 15
+22 + 2 (
v=1 т<8=5 v<т<8=5 J
(16)
©V
+ 2 2(
V<T=1 8=5
где первый член представляет трехкратное перерассеяние на нуклонах 1«-оболочки, второй — два соударения на нуклонах 1«-, одно — на нуклоне из 1р-оболочки, третий — одно соударение на нуклонах 1«-, два — на нуклонах из 1р-оболочки, четвер-
(!)=4(20)3 А'- (!) -
2 *
/М/ /
Подставив в это выражение явный вид операторов
юу, ют, юЕ (7) и введя для разделения переменных
~ 1 ^ 2 новые импульсы: Q1 = -! - !т), Q2 -- !е —
— 1 (( + !т), Q3 = ! + + !е, для оператора трехкратного рассеяния получим
ч3 , , 15
м,м/
и^'а) = 66
2
У<Т<£=1
(17)
*
/М/
3 гз Ц
2 *
/М, /
и,и:
V к 15
А
рN
2 2
У<Т=1 £=5
(18)
М<ЗМрр@) = 220
«V
V/ко
*
/М,
« А- (() 2 (*
/М,
А
М,М,
4 15
V V
/ , / , ШУХЕ
У=1 Х<8=5
(19)
¥
/м/
М,
(3)-ррр А
(!) = 165
\/ко у
а- (!) 2
М/М/
/М/
А
15 2
«V
(20)
¥
Верхние буквенные индексы обозначают оболочки. Коэффициенты перед амплитудами показывают, сколько трехкратных перерассеяний испытает протон с нуклонами из разных оболочек.
Разложив ехр(г'!г) в ряд по функциям Бесселя ехр(!гу) =
га Л, 1-
= 4п2 2 (/)\)Ух№г), ( )
Л=0 ц=-Л '!
и принимая во внимание формулы (3)—(5), разделим угловую и радиальную части в (17)—(20). По-
тый - трехкратное соударение с нукл°нами сле интегрирования в сферической системе коор-1р-оболочки. Такое представление оператора Й3 динат получим окончательные выражения для позволяет рассчитать вклад в ДС от перерассея- матричных элементов трехкратных соударений: ний на разных оболочках. Сумма в формуле (14) содержит 455 членов. Однако матричные элементы для каждого члена ряда (16) однотипные, поэтому необходимо вычислить только четыре амплитуды:
М£зь'"@) = 4А(!)|ехр (- 3гVго2) /1/2(дг)гъ/2йг, (22)
А(?) = Д?)-^, Р(Я) = {
~2 3/2 -
2 п'
к
М,
А3)-ир©) = 66БМ 2 (0\/(2Г+1)(Ш0110(\v1rn11т) ¥х,(Пд)|ехр(-Зг2/г2)/хф(дгУ1,1 йг, (23)
Хцтт'
ВМ = г (!) %%
2 пг0
МА~!рр(д) = 220В3(!) 2 2 (О^ИГ-х/(2^ + 1)<1010Щ(Г'010|Щ(ШЮ|10) х
Хцтт' ЬМЬ'М'
х <1т11т2|гМ(гМ1 - т1\ш)т)Гхг(П,)|ехр((гVг02Х+,2(!г)гV,
4
У<Х<£=5
®VXE +
йо/йО, мб • ср 1 102
101
100
10-1
10
20
30 40 0, град
Рис. 1. Вклад в дифференциальное сечение р15М-рассе-яния разных кратностей соударений при Е = 0.2 ГэВ. Штриховая, точечная, штрихпунктирная и сплошная кривые — одно-, двух- трехкратные перерассеяния и их сумма.
йо/йО, мб • ср 1 102
10
10-
10-
10-
,0
_1_I_I_I_I_I_I_
10 20 30 40 0, град
Рис. 2. То же, что на рис. 1 при Е = 0. 6 ГэВ.
3С 2 С 4
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.