ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2012, том 48, № 1, с. 111-118
ЗАМЕТКИ И ПИСЬМА
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОВЫШЕНИЯ ДОХОДНОСТИ ПРИ ЖЕСТКОМ ОГРАНИЧЕНИИ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
© 2012 г. Г.Л. Венедиктов, В.М. Кочетков
(Санкт-Петербург)
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время получило значительное развитие математическое моделирование микроэкономических процессов, являющееся мощным инструментом анализа и прогнозирования в разнообразных областях экономики (Орлов, 2002; Тихомиров, Дорохина, 2003). Однако для ряда случаев хорошо разработанные методы (например, метод наименьших квадратов применительно к линейным моделям) не могут быть использованы в условиях, когда реальная модель должна учитывать предельные нормы предложения. Подобные условия возникают в частности тогда, когда предложение жестко ограничено в силу естественных ресурсных причин. Следует отметить, что такие явления характерны для широкого круга экономико-социальных сфер, где по объективным причинам ограничено, например, число потребителей, которые могут быть обслужены (культурные и зрелищные учреждения, предприятия общественного питания, гостиницы, пассажирский автобусный, железнодорожный и авиатранспорт и т.п.). Поиск условий ценового равновесия между спросом и предложением для экономико-социальных субъектов подобного типа имеет ярко выраженную специфику.
Для определенности далее будем говорить о железнодорожном транспорте, хотя рассматриваемые ниже подходы могут использоваться применительно ко всем ситуациям, которым в силу объективных причин свойственно жесткое ограничение на объем предложения.
Рассмотрим простую схему: пусть поезд содержит вагоны одного класса и цена билета равна р. При низкой цене все билеты будут раскуплены и свободных мест не останется. Дальнейшее уменьшение цены не изменит числа пассажиров из-за ограниченности числа мест. При увеличении цены, начиная с некоторого значения, которое будем называть граничной ценой и обозначать ргр, возникает тенденция уменьшения числа пассажиров, согласных на поездку по предложенной цене. Наконец, можно рассмотреть гипотетический случай, когда при чрезмерном увеличении цены ни один пассажир не приобретет билета. Цену рпр, отвечающую такой ситуации, назовем предельной ценой.
Определим населенность1 N как отношение числа пассажиров к числу предложенных мест. В силу сказанного выше зависимость населенности от цены р в качественном отношении описывается графиком, представленным на рис. 1. На рисунке штриховой линией показана аппроксимация степенной функцией, описывающей зависимость N(p) при ценах, близких к граничной. Как будет видно из дальнейшего изложения, в задачах ценовой оптимизации именно эта область функции N(p) представляет наибольший интерес.
2. ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Указанная степенная аппроксимация зависимости N(p) аналитически задается соотношением
1 p < p Гр;
N(p)
i-((p - p„p)/(pnp - p гр)Г; (1)
0 p > p прт
1 Термин, принятый в железнодорожном пассажирском сообщении.
М(р)
1
Р
О
Ргр
Рпр
Рис. 1. Качественный вид зависимости населенности N от цены р
где величина а, называемая далее показателем крутизны, определяет скорость спада при ценах, больших граничной. На практике параметры ргр, рпр и а могут находиться из анализа продаж, а также путем обработки данных анкетных опросов пассажиров по специально построенным методикам.
Для дальнейшего оказывается существенным, что зависимость населенности от цены не претерпевает излома в области граничной цены, а описывается функцией, имеющей непрерывную производную. Этот факт легко обосновать, если учесть статистику спроса. Можно показать, что если спрос_(число желающих ехать по цене р) характеризуется нормальным распределением со средним N(р) и дисперсией б2(р), а число мест ограничено величиной N0, то результирующая зависимость математического ожидания итогового спроса в окрестности граничной цены задается выражением
где функция Ф представляет собой функцию стандартного нормального распределения
При аналитических зависимостях N(р) и б2(р) в окрестности граничной цены функция (2) является аналитической и в силу этого имеет конечные производные всех порядков, что оправдывает сделанное утверждение относительно свойств гладкости кривых на рис. 1.
Величина дохода, отнесенная к одному пассажирскому месту, задается равенством D(p) = рМр). На графике рис. 2 совместно представлены зависимости относительного дохода Dотн(p)=D(p)lD(ргр) (сплошная линия) и населенности N(p) (штриховая линия). Доход имеет максимум при цене, которую далее будем называть оптимальной и обозначать ропт. Оптимальная цена находится из условия dD(p)ldp = 0, что приводит к уравнению
Решение этого уравнения легко находится методом последовательных приближений (Бахвалов, Жидков, Кобельков, 2001, глава 6).
(2)
(3)
Рис. 2. Доход и населенность как функция цены р
Из представленных соотношений и графиков следуют два вывода: 1) оптимальная цена выше граничной; 2) населенность при оптимальной цене меньше единицы2.
При тех значениях показателя крутизны а, которые могут быть реализованы на практике, оптимальная цена гораздо ближе к граничной, чем к предельной цене. По этой причине заметное расхождение между реальной зависимостью населенности от цены и ее аппроксимацией, имеющее место в области предельной цены (см. рис. 1), не играет роли при определении условий максимизации дохода.
Параметры, задающие зависимость населенности от цены, могут находиться из анализа истории продаж. Если в процессе продажи цена заметно изменялась и было зафиксировано связанное с этим изменение спроса, это дает возможность определить как граничную цену, так и параметр крутизны. Оценка предельной цены может производиться на основе анкетного опроса пассажиров и последующего использования метода PSM (Van Westendorp, 1976), а также уточняющей процедуры Ньютона-Миллера-Смита (Newton, Miller, Smith, 1993).
Естественный алгоритм определения искомых параметров состоит в процедуре минимизации квадратичной невязки между модельными значениями населенности, задаваемой соотношением (1), и реально наблюдаемыми значениями населенности. Указанная процедура отвечает нелинейной модификации метода наименьших квадратов (о методе наименьших квадратов см. например, в книге (Тихомиров, Дорохина, 2003, глава 2)).
3. ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Следует отметить, что во многих случаях нахождение с достаточной точностью трех параметров - граничной и предельной цен, а также показателя крутизны - оказывается недостижимым. В этих условиях целесообразно воспользоваться более грубой моделью, содержащей лишь два параметра. В качестве такой модели можно использовать зависимость
ВД = ехр(-[р/рок). (4)
На рис. 3 приведены три рассчитанные по формуле (4) кривые Ы(р), отвечающие различным сочетаниям двух параметров р0 и q и обеспечивающие различную величину отношения предельной цены к граничной. Как видно из данного рисунка, модель, определяемая формулой (4), с качественной стороны хорошо соответствует ожидаемой зависимости населенности от цены (сплошная линия на рис. 1).
Для модели (4) следует выбирать уровни населенности Ытр и Ыпр, которые отвечают граничной и предельной ценам, - первое значение близко к единице, а второе к нулю. Далее в расчетах принимались значения Жгр= 0,975, ^пр= 1 - Жгр = 0,025.
2 Применительно к зрелищным мероприятиям это означает, например, что максимальный доход достигается при не полностью заполненном зале и т.п.
Рис. 3. Различные виды зависимости населенности от цены, даваемые формулой (4). Отношение предельной цены к граничной для кривых А, В и С равно соответственно 1,5; 2 и 3
В дальнейшем существенную роль играет параметр Ь = 1п[1п(1/М )]1п[1п(1/М )]. Для принятых уровней Мгр и Мпр имеем Ь = -2,81635. Уровням Мгр и Мпр соответствуют, согласно (4), значения граничной и предельной цены:
Ргр = Ро(1п[1/^гр])1/^, Рпр = Ро (1п[1/^гр])1/<Ь (5)
Поскольку Ь отрицательно, то параметр р0 всегда лежит между граничной и предельной ценой. Параметры р0 и q могут выражаться через граничную и предельную цену:
р 1п(1п(1/Жгр)) I ь -П1п(1п(1/М„р)) (6)
Ро = (РПр/Ргр) ( ), q = = (—— )—;---. (6)
1п(р гр) — 1п(р о) \ Ь / 1п(Р гр /р Пр)
Оптимальная цена, отвечающая максимуму дохода -О(р) = рМ(р), имеет значение
Ропт = Ро(1/^, (7)
при этом населенность М, отвечающая оптимальной цене, равна
МРопт) = ехр(-1/"). (8)
Таким образом, доход на одно место при оптимальной цене определяется равенством
Д,Пт = Ро(1/")^ехр(-1/") = Ро("е)-1/". (9)
Существенным свойством моделей (1) и (4) является их нелинейность, отражающая тот факт, что вблизи граничной цены населенность от постоянного значения, равного единице, начинает плавно уменьшаться. По этой причине для исследования ценовой зависимости при ограниченном предложении хорошо изученные линейные модели (Тихомиров, Дорохина, 2оо3, главы 2-6; Орлов, 2оо2, § 1.7-1.9) являются непригодными. При использовании же нелинейных моделей приходится применять специфические способы реализации метода наименьших квадратов.
Рассмотрим задачу нахождения параметров модели (4) по эмпирическим данным. Пусть по истории продаж известны К ценовых уровней р1 и отвечающие им населенности N. В соответствии с методом наименьших квадратов параметры модели ро и q находятся как результат минимизации нелинейной формы
К
S(Ро, q) = /[N - ехр(-{р;/ро} "Л2. (Ю)
I = 1
Для получения из соотношения (Ю) искомых величин ро и " можно воспользоваться прямыми методами поиска минимума функции двух переменных (Бахвалов, Жидков, Кобельков, главы 4, 7). Однако задача чрезвычайно упрощается и решение находится в явной форме, если применить искусственный прием, суть которого состоит в следующем.
В формуле (Ю) невязка между населенностями М и значениями величин ехр(-[р,- /ро]") может быть заменена на невязку любых монотонных функций от них. В качестве
одного из вариантов такой невязки можно выбрать двойной логарифм от обратных величин, а именно от 1/Ыг и ехр([рг /р0]д). Такой подход позволяет перейти от минимизации функции (10) к минимизации выражения
к
Б 1(Ро, Ч) = /[1п(1п(1/Ы)) - д 1п{р /ро}]2. (11)
г = 1
Одним из у
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.