ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2009, том 45, № 1, с. 44-55
НАУЧНАЯ СЕССИЯ: ИННОВАЦИОННАЯ ЭКОНОМИКА: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ЭКОНОМИКИ С ИННОВАЦИОННЫМИ ТОВАРАМИ* © 2009 г. В. И. Данилов, Г. А. Кошевой
(Москва) 1. ВВЕДЕНИЕ
Несомненным фактом является то, что экономики высокоразвитых стран включают в себя сектора с товарами, в которых большую часть производственных издержек составляет интеллектуальная составляющая: телекоммуникационная индустрия, компьютерная и т.д. Для краткости и определенности будем называть такие товары И-товарами (символ "И" отражает три черты: инновации, информация и интеллектуальность). Главная особенность И-товаров, отличающая их от обычных товаров — их нерасходуемость. Будучи созданными раз, они не исчезают в процессе потребления. Еще в 1973 г. В.Л. Макаров предложил подход к моделированию экономик с такими товарами (Makarov, 1991). К. Эрроу (Arrow, 1994) рассмотрел "информационную теорию стоимости", которая во многом перекликалась с подходом В.Л. Макарова.
Модель Макарова получила развитие в работах (Данилов, Кошевой, Сотсков, 1993; Danilov, Koshevoy, Sotskov, 1994, 1997, 1999a; 1999b), в которых были исследованы вопросы существования равновесий в экономиках с И-товарами. Данная статья содержит несколько новых результатов, полученных в этом направлении, уделяя особое внимание принципиальным вопросам, отражающим отличие таких моделей от моделей обычных товаров.
И-товары имеют два главных отличия от обычных товаров.
1. Нерасходуемость. Будучи единожды создан, И-товар может снова и снова, не теряя своих качеств, использоваться многими потребителями. Операция сложения таких товаров идемпо-тентна, так что множество И-товаров образует решетку в отличие от векторного пространства. Например, когда К. Эрроу (Arrow, 1994) говорит об алгебре информационных товаров, он имеет в виду структуру полурешетки таких товаров.
2. Стоимость копирования И-товара обычно намного меньше затрат на создание (изобретение, доведение до товарного вида) этого товара. Для простоты изложения будем предполагать, что стоимость копирования равна нулю (более общий случай рассмотрен в (Данилов, Кошевой, Сотсков, 1993; Danilov, Koshevoy, Sotskov, 1997)).
Предположим, что в модели имеется один делимый товар — деньги, которые агрегированно отражают часть экономики с обычными товарами. Так что пространство товаров в модели — произведение решетки и действительной прямой. Производители создают информационные товары. Создав товар, производитель становится и собственником всех его копий, производство копий бесплатно. Потребители покупают копии информационных товаров.
Производители описываются функциями издержек, потребители — функциями полезности.
Важным предположением модели является то, что купить товар можно только у собственника товара (производителя) и его нельзя перепродавать. Без такого предположения об охране авторских прав сложно ожидать, что свободный рынок приведет к оптимальному распределению. В этом проявляется специфика информационных товаров — сложность производства и легкость распространения. Такая легкость распространения не стимулирует производство при отсутствии охраны авторских прав.
Приведем простой пример. Пусть имеется один И-товар, один производитель и два покупателя. Пусть издержки производства товара равны 18 долл. Первый покупатель готов заплатить за товар не больше 5 долл., второй — не больше 15 долл. В этой ситуации не существует равновесия с ценами на товар, одинаковыми для обоих покупателей. В самом деле, цена не может быть больше 15 долл. (иначе никто не купит), но цена не может быть меньше 5 долл. (никто не будет производить). При промежуточной цене товар покупает только второй потребитель, но его денег мало для покрытия издержек. Отсюда следует важный вывод — цены должны быть индивидуальны-
* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта государственной поддержки Ведущих научных школ РФ (проект НШ-929.2008.6).
ми для каждого потребителя, т.е. должна осуществляться ценовая дискриминация. В нашем примере можно продавать первому потребителю за 4 долл. и второму — за 14. Конечно, это тоже связано с защитой авторских прав.
Разумеется, в настоящей работе имеется много (быть может, даже слишком много) упрощающих предположений. В жизни все не так просто: никто не знает, сколько надо затратить (потому что такого продукта вообще еще нет и не было и не ясно — будет ли), успех носит вероятностный характер. То есть многие изобретатели тратят ресурсы впустую. Другое упрощение: изобретение делается один раз, а соответствующий И-товар потребляется длительное время после этого. Третье, как уже говорилось, цены для покупателей должны быть индивидуализированы; как это практически реализовать — отдельная непростая задача.
Так что в своей работе мы не пытаемся дать ответы на все вопросы, связанные с И-товарами. Акцентируем внимание лишь на одном аспекте, связанном с заменой привычного векторного пространства товаров на дискретную решетку. Возникающие тут проблемы близки к тем, которые встречаются в экономиках с неделимыми товарами. Общая трудность — дискретность и связанная с ним невыпуклость задач. Математическим задачам, связанным с этой проблемой, посвящена работа (ЭапЦоу, К^Иетоу, 2004).
2. МОДЕЛЬ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
Обозначим через G конечное множество элементарных И-товаров (или лучше — И-благ, товарами они становятся на рынке). Элементарные И-товары можно комбинировать, объединять.
Поэтому множество товарных наборов представляет булеву решетку В = 26 подмножеств множества G. Элементы В будем обозначать буквами X, У и т.п.
Обычные товары представлены агрегированно через делимый товар — деньги. Итак, пространство товаров это произведение В х М. Впрочем, в силу делаемых далее предположений о трансферабельности, деньги не будут явно входить в число товаров и можно работать только с решеткой В = 26 .
Множество фирм, производящих И-товары, обозначим через /. Предполагается, что каждая фирма, произведя какой-нибудь товар, обладает копиями этого товара уже бесплатно. Это напоминает производство с фиксированными издержками.
Фирма-производитель ] описывается функцией издержек : В ^ К. Иначе говоря, фирма ] может произвести товар X еВ, если затратит денег в количестве а}(Х). Будем считать, что а(0) = 0 и что функция а;- монотонна, т.е. а(Х) > а (X) при X с X'.
Множество потребителей (в широком смысле этого слова, например, группа однородных потребителей может быть одним потребителем в модели) обозначается через I. Потребитель ■ £ I описывается функцией полезности и : В ^ М. Функции и также предполагаются монотонными и равными 0 в точке 0.
Состояние экономики задается набором ((X;■);■6I,(Yj■)j■6/), где (X)¡eI — планы потребления и — планы производства, ^Xi,Yj е В. Состояние (^),(У)) называется допустимым, если и 1^X1 с ит.е. предложение не меньше спроса.
Для любого допустимого состояния ((X),(Yj)) можно посчитать его тотальную ценность (совокупное благосостояние) как ^ и(X) - ^ а( YJ). Естественно интересоваться состояниями, для
которых эта общественная полезность была бы максимальна. Такие оптимальные состояния всегда существуют (если множество Б конечно, как было предположено раньше). Кроме того, можно считать, что в оптимальном состоянии все XI одинаковы (и равны V Yj), а Yj попарно не пересекаются.
Как же экономика могла бы прийти в оптимальное состояние? Это типичная задача плановика. Трудности ее решения очевидны: сбор информации о полезностях и издержках, проблема стратегического поведения и искажения информации, большая размерность задачи. Поэтому естественно искать решение более дезагрегированным путем, например с помощью рынка. В
чем суть рыночного подхода? Общение всех со всеми заменяется общением каждого участника со вспомогательным (фиктивным) агентом (центр). Этот агент "скупает" все И-товары у производителей, а потом распродает их потребителям.
Итак, будем рассматривать "рыночные" способы функционирования сектора И-товаров. Сначала центр скупает товар у производителей. Предположим, что функция qj : B ^ R говорит о том, сколько денег получает производительj, продавая свой товар центру. Точнее, если он сдает на центральный склад товар Y он получает q( Y) денег. Представим теперь, что центр решил купить набор Y. Естественно, он будет покупать у того производителя j, у которого стоимость минимальна. Таким образом, реальное значение имеет q = min q;-. Так что взаимодействие центра с производителями описывается одной функцией q : B ^ R.
Однако на этом процесс не кончается. Дело в том, что товарные наборы можно довольно свободно рассыпать и собирать, и это накладывает ограничение на возможный вид функции q. Предположим, что X = Y + Z (операция "+" означает, что X = Y U Z и Y П Z = 0) и q(X) < q(Y) + q(Z). Тогда производители не будут предлагать набор X, а только наборы Yи Z, рассчитывая тем самым на большую выручку. Наоборот, если q(X) > q(Y) + q(Z), то центр не будет интересоваться "объединенным" набором X, а будет покупать раздельно Yи Z, что обойдется ему дешевле. Одним словом, функция стоимости q должна быть аддитивной. Так как множество В не является группой, то лучше говорить о модулярности: если товарные наборы Yи Zне пересекаются, то q(Y U Z) = q(Y) + q(Z). В более общей форме: для любых товарных наборов Yи Z Е B выполнено равенство q(Y U Z) + q(Y П Z) = q(Y) + q(Z). Очевидно, что такая функция задается своими значениями на элементарных товарах; стоимость комплекта X равна сумме входящих в него элементарных товаров.
Рассмотрим теперь взаимодействие центра с потребителями. Пусть потребитель i получает товары по стоимости pt : B ^ R. Применяя предыдущие рассуждения, видим, что pt должны быть аддитивными (модулярными). Однако для разных покупателей они могут (и в общем случае будут) различаться, т.е. будут индивидуализированными. Это следствие того, что покупать товар потребители могут только в одном месте, у центра.
Приходим к выводу, что ценовой аппарат описывается модулярными (или линейными) функциями q и (p,, i Е I). Каждый производитель j ориентируется на закупочн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.