ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2008, том 42, № 4, с. 355-360
УДК 539.217.2:66.084
ЭКСТРАГИРОВАНИЕ ИЗ КАПИЛЛЯРА С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ДИФФУЗИИ
© 2008 г. Ю. И. Бабенко, Е. В. Иванов*
ФГУПРНЦ "Прикладная химия", Санкт-Петербург *Санкт-Петербургская химико-фармацевтическая академия babenko@npd.ioffe.ru Поступила в редакцию 14.12.2006 г.
Рассматривается задача, описывающая процесс экстрагирования из полубесконечного капилляра в открытое пространство при условии, что коэффициент переноса является убывающей функцией координаты. Рассмотрены случаи степенного и экспоненциального убывания указанного коэффициента. Получены аналитические выражения для выхода целевого продукта, пригодные для практических расчетов при малых и больших временах. Асимптотические выражения для больших значений времени существенно отличаются от таковых для случая однородного капилляра. Проведено сопоставление части результатов с экспериментальными данными.
Пористая структура сырья, используемого в процессах экстрагирования, весьма сложная [15]. Поэтому при построении математических моделей процесса исследователи вынуждены предлагать различные варианты структур порового пространства исходя из общих соображений, надеясь выбрать подходящий вариант путем последующего сопоставления теоретических результатов с экспериментальными данными. Очевидно, что ввиду большого разнообразия пористых структур невозможно предложить какую-либо одну универсальную схему. Простейший вариант - полубесконечная пора с постоянным коэффициентом переноса [6] заведомо не отражает многих особенностей процесса массопереноса в сырье. Попытки уточнения простейшей схемы были сделаны в работах [7, 8], где рассматривалась бидисперсная система капилляров.
В настоящей работе рассматривается процесс экстрагирования в неограниченный объем из полубесконечного капилляра, коэффициент переноса в котором предполагается убывающим по мере удаления от выходного отверстия. Такая постановка задачи представляется очевидной для случая, когда коэффициент переноса определяется внешним периодическим воздействием (например, локальными импульсами давления на поверхности частиц). Однако и в случае молекулярной диффузии возможно уменьшение эффективного коэффициента переноса в случае последовательного ветвления поры за счет эффектов сорбции. Таким образом, данная постановка подразумевает замену ветвящейся системы пор единичной порой, но с переменным коэффициентом диффузии.
Постановка задачи. Математическая модель процесса экстрагирования в неограниченный объ-
ем из полубесконечной поры с переменным коэффициентом переноса формулируется следующим образом:
— - — к ( ) —
дt dx ( dx
C = 0, C = C(x, t),
(1)
x e [0, t e (0, ,
С(0, %) = 0, С(~, %) = Со, С(х, 0) = Со. (2)
Первоначально пора заполнена жидкостью, концентрация целевого компонента в которой равна С0. В момент времени % = 0 отверстие поры открывается и начинается процесс диффузии в окружающее пространство. Требуется определить величину граничного градиента концентрации как функцию времени. Последняя величина позволит определить диффузионный поток на границе, а также выход целевого продукта к моменту времени %.
Для решения задачи (1)-(2) удобно сделать начальные условия нулевыми. Поэтому введем переменную 5 = С0 - С, после чего задача (1)-(2) перепишется в виде
— - дк ( ) —
dt dx ( dx_
S = 0, S = S(x, t),
(3)
x e [0, t e (0, ,
5(0, t) = Co, S(~, t) = 0, S(x, 0) = 0. (4)
Замечание 1. Постановка (3)-(4) соответствует "задаче пропитки", если под S подразумевать концентрацию. В самом деле, процессы экстрагирования и пропитки эквивалентны в том отношении, что в каждый момент времени диффузионные потоки в каждом сечении x = const (в том числе и при
х = 0), будучи равными по абсолютной величине, отличаются лишь знаком.
Степенная зависимость коэффициента переноса от координаты. Положим, что в уравнении (3)
K(х) = к(1 + bx)v, к = const > 0, b = const > 0, v = const.
(5)
Окончательно выражение (6) переписывается виде
-Л
dS
д х
=к
дС д х
; = 0
(10)
Сходная задача рассмотрена в [9, с. 436] применительно к функции К(х) = кхх (в наших обозначениях). Однако поток на границе не определялся.
Физически интересными являются случаи V < 0, но мы получим решение в общем виде, предполагая, что V - произвольная величина.
Для нахождения граничного градиента воспользуемся методом дробного дифференцирования, который позволяет избежать предварительного определения поля концентрации. Согласно [10, с. 24], граничный градиент для задачи (3)-(5) может быть найден в виде разложения по степеням дробно-дифференциальных операторов:
I = о
Принимая во внимание, что [10]
т^Ц const -ц 1 D const = ---т---- , Ц< 1,
Г( 1-Ц)
(11)
из формулы (10) получаем выражение для выхода продукта Q к моменту времени £ через сечение х = 0:
«= i к 1С
х = 0
dt = D 1 к'дС дх
х = 0
= С0Тк t1/2 + (4кЬ)c1t + (Jib)2c *13/2 + (12)
2 4 .3/2
1-л/П
3-УП
-Л ^
х
х = 0
= X an( 0) D(1 n)/2C0
(6)
n = 0
Операция Dv над произвольной функцией f(t) определена равенством
DЦ f (t) =
1
d
Г( 1 - ц)dt
i(t- Т)-Цf(T)dT, Ц< 1. (7)
n( х) = (4кЬ)" (1 + Ьх) cn,
(8)
где сп - численные множители, определяемые только алгебраическими операциями:
с - 1 2с - -V 2с -
со - 1, 2с1 - 2' 2с2 - 16 4'
Коэффициенты ап(0) однозначно находятся из системы рекуррентных соотношений для величин ап(х) по заданной функции К(х)[10, с. 25]. Вычисление ап(х) из названной системы позволяет установить, что
+ (ТкЬ)3 c3112 +
Форма (12) пригодна для практических вычислений только для достаточно малых значений времени. Однако на практике гораздо важнее установить закон экстрагирования на заключительной стадии процесса. Поэтому мы используем более сложный вариант метода дробного дифференцирования, также описанный в [10, c. 24]. Предположим, что в каждом сечении х = const выполняется соотношение
-4к (1 + Ьх)^ = LS, х
(13)
где Ь = Ь(х) - линейный оператор. Дифференцируя (13) по х и подставляя в (3), приходим к уравнению, определяющему указанный оператор:
D - L2 + Jl(1+ ЬхУП^
dx
+
v Ь4к,л 1 ч (v/2)-1Т „ + (1 + Ьху ' L = 0.
(14)
2c3 = 2( 2 - 1 IC2,
2c4 = 3(v - 1 1 c3- C2, ".
2cn = (n-1 )l v-1l cn-1-X cn-kck, n > 4. (9)
к = 2
Выражения (6) и (8) подсказывают, что оператор Ь можно представить в виде
1/2
L = D f
v-1
2 -1/2
4кЬ (1 + Ьх)2 D
(15)
где f - пока неизвестная функция операторного
J-1
аргумента z = 4кЬ (1 + Ьх)2 D 1/2, аналитическая в окрестности точки z = 0.
0
х
0
0
a
2
n
Подставляя (15) в (14), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, определяющее /(г):
v-,у| +-Al = 0, /(0) =1. (16)
Дополнительное условие однозначно определяется при вычислении а„(х) для формулы (6) и, кроме того, следует из самого уравнения (16).
Замечание 2. При V = 2 уравнение (16) превращается в алгебраическое, и нахождение решения, пригодного для практических вычислений при любых значениях %, особенно просто. Однако в настоящей работе мы не интересуемся значениями V > 0, поэтому данный случай не рассматривается.
Уравнение (16) сводится к линейному с помощью подстановки [11]
f =
1 _v1 1dU
2JU dz'
U = U (z).
Имеем
1 _-
4 d U
dz
2+11_2
2-^ 1 z3d-U _ U = 0. (17) 2 J dz
Замена аргумента г = переводит (17) в уравнение Бесселя [11, с. 452]:
d 2U
v 1 dU
dZ2 v _2Z dZ (v-2) имеющее решение
2
u = 0,
(18)
U = Z4
vv -2
что позволяет найти /(г) в виде
v _ 1,
v _ 2,
K,,
21
^ + 112 _ v z j f (z) = -—+ (v _1) z.
K,
21
2 _ v z
(19)
Здесь Кц - функция Макдональда.
Замечание 3. При рассмотрении уравнения (18) не использовались модифицированные функции Бесселя /ц, так как именно форма (19) удовлетворяет условию /(0) = 1.
В результате выход продукта к моменту времени % дается формулой
Q (t) = Л
K
,+1
D
-1/2
1
2_ vfkb
D
1/2
K,
%2 _ vjkb
+ (v _1 )(4kb)D 1 C0,
1 D1/2
+
(20)
v _ 1,
v _ 2,
v Ф 2.
Используя асимптотические выражения для функций Макдональда для больших значений аргумента, можно прийти к разложениям (10) и (12), пригодным для вычислений при малых значениях %. Для нахождения решения при больших % воспользуемся методикой, изложенной в [12], формально полагая Б1/2 —»- 0. Для малых значений аргумента имеет место разложение [13, с. 196]
K, + 1( z) = 2, K,(z) z
1 +Г z1+
Г( 1 + 2
(21)
Формула (21) справедлива в рассматриваемом нами случае, когда V е 0) (ц е [1/2, 1)).
Используя (21) в формуле (20), получаем
^2ц1 г (1 - ю„ц г(ц)
Q ~ Jk (fkb)
1 _ 2,Г 1
2_v t-»
D~1C0,
(22)
В силу (11), находим асимптотическую зависимость для выхода продукта при больших временах:
Q « C0^kUkb)v/(2_v)(2 _ v)v/(2_v)x
x -
Г[ 1/( 2 _ v)]
r[(v _1)/(v _ 2)]r[(v _ 3)/(v _ 2)]
kb21—.
1/(2 _ v)
(23)
При V = 0 выражение (23) дает известную формулу
й = СоЛ 4 %1/2,
а для V < 0 показатель степени уменьшается по мере возрастания абсолютной величины V.
Экспоненциальная зависимость коэффициента переноса от координаты. Положим, что коэффициент переноса задается зависимостью
K(x) = kexp(_bx), k, b = const > 0. (24)
оо
В [9, с. 439] приведено решение задачи теории теплопередачи с такой же зависимостью коэффициента теплопроводности от координаты, но для конечной области. Поток на границе х = 0 не определялся.
Используемый нами метод решения вполне аналогичен таковому в предыдущем разделе. Вместо выражения (13) запишем
-Л exp (-Ьх/2) ^ = LS.
х
(25)
D - L2 + Л exp (-Ьх/2) ^ -
4кЬ
dx
exp(-Ьх/2) L = 0.
(26)
й+f2+2f-1 = 0, f(0) = 1.
(28)
Очевидно решение в виде степенного ряда
f = X cnz", cn = const, (29)
n=0
после подстановки которого в (28) находим c0 = 1, c1 = -1/4, c2 = 3/32, c3 = -3/64, c4 = 63/2048, ...
n-2
2-
n-1
cn =--г-cn _ 1 - 2 X cn -kcк, n > 4. (30)
к=2
Полагая в (25) и (27) х = 0, получаем оператор ное выражение для граничного градиента:
—¡к ^ х
х = 0
= л ^
х
х = 0
= X^^D1-")/2С0,
n=0
по форме совпадающее с (10), но с другими коэффициентами cn.
Для выхода продукта к моменту времени г, используя (11), находим зависимость
с = i
дС д х
dt = D 1 к ^ х
= сЛк 411/2-1 (<ДЬ)t + -3(ЛкЬ)2-4= t
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.