ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2011, том 45, № 4, с. 468-471
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ =
УДК 539.2172:66.084:536.24.01
ЭКСТРАГИРОВАНИЕ ИЗ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО КАПИЛЛЯРА ПРИ ВИБРАЦИОННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ © 2011 г. Ю. И. Бабенко, Е. В. Иванов*
Российский научный центр "Прикладнаяхимия", Санкт-Петербург *Санкт-Петербургская химико-фармацевтическая академия
babenko@npd.ioffe.ru Поступила в редакцию 16.05.2008 г.; после доработки 07.10.2010 г.
Рассматривается математическая модель, описывающая процесс экстрагирования из полубесконечного капилляра при наличии осциллирующего гидродинамического потока. Предполагается, что частота колебаний достаточно мала. С использованием метода дробного дифференцирования получено асимптотическое выражение для выхода целевого продукта при больших временах.
ВВЕДЕНИЕ
Ускорение процесса экстрагирования при вибрационном воздействии известно давно. Объяснение этого явления связано с большими трудностями, так как в процессе задействовано множество факторов — вибрационный перенос конвекцией, упругая деформация стенок капилляра, повышение скорости десорбции и т.д. Достаточно подробный обзор имеется в диссертации [1]. Теоретические работы в этой области почти отсутствуют. Следует отметить численное решение задачи для бидисперс-ной поровой структуры [2]. Однако для построения общей теории вибрационного экстрагирования желательно опираться на аналитические решения отдельных модельных задач, выявляющих влияние различных факторов "в чистом виде". Одна такая задача, в которой учитывается только вибрационный поток жидкости в прямолинейном капилляре, рассматривается в настоящей работе.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим математическую модель, описывающую процесс экстрагирования из полубесконечного прямолинейного капилляра в окружающее пространство при наличии конвективного потока:
1 + u (t )д- к
dt dx dx
C = 0, C = C(x, t), (1) x e (0, да), t e (0, да),
С(0, г) = 0, С(да>, 0 = С0, С(х, 0) = С0. (2)
Начальная концентрация целевого продукта в капилляре равна С0. В момент времени г = 0 выходное отверстие открывается и начинается процесс диффузии в окружающее пространство, осложненный наличием конвективного потока. Концентрация на выходе предполагается равной нулю. Требу-
ется определить зависимость потока вещества на границе x = 0 от времени, если гидродинамический поток изменяется по гармоническому закону
u (t) = U sin(®t), U = const. (3)
Для упрощения дальнейших выкладок удобно сделать подстановку C = C0 - S, после чего задача (1)—(2) переписывается следующим образом:
5
+ u (t )д- K 2
dt dx dx
д2
S = 0, S = S(x, t), (4) x e (0, да), t e (0, да),
S(0, t) = C0, S(a>, t) = 0, S(x, 0) = 0.
(5)
Если под S подразумевать концентрацию, то система (4)—(5) описывает процесс пропитки полубесконечного капилляра в присутствии вынужденных колебаний. Легко видеть, что в силу линейности уравнений (1) и (4), диффузионные потоки в каждом сечении х = const одинаковы по абсолютной величине, отличаясь лишь знаком.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТОКА ВЕЩЕСТВА НА ГРАНИЦЕ
Для решения задачи (4)—(5) будем использовать метод дробного дифференцирования, который позволяет найти диффузионный поток на границе полубесконечной области без предварительного определения поля концентрации для линейных задач с переменными коэффициентами. Полный поток вещества на границе области складывается из диффузионного и конвективного потоков. Последний дается выражением и (г) С0. Согласно (3), это слагаемое является знакопеременным и, следовательно, не вносит ощутимого вклада в выход продукта при больших временах. Поэтому в дальнейших выкладках указанное слагаемое опускается.
В книгах [3, 4] показано, что граничный диффузионный поток д5 дается разложением по степеням дробно-дифференциальных операторов:
-q = -K ^
dx
= 4K
Е ««(t) D
= K dC
dx
(1 - n)/2
C 0
(6)
Здесь Dv — символ дробной производной, определяемой выражением
Г (1 -v)dt
d-f (,)=f =
dt
t
J(f -t)-v f (T)d т, ve (-да, 1).
(7)
Особенно просто находится дробная производная от степенной функции:
Dv{ii = Г + 1)
-Г
Г ( + 1 -v) В частности,
nv , const ,-D const =-1
ц - v > -1.
- да < V < 1.
(8)
(9)
Г(1 -V)
Коэффициенты ап (?), входящие в разложение (6), однозначно определяются системой рекуррентных соотношений, приведенных в [3, с. 23]. Имеем
an - 1,
a1 - -
u
&4K'
a5 - -
2
- К-= 8K '
, 4
1 u
16K 128 K2
2
1 u u
u
2JK '
uu'
(10)
1&IK 32 K3/2'
должны быть сохранены. Вторыми, содержащими производные от и, можно пренебречь при условии, что частота ю достаточно мала. Сопоставляя два первых слагаемых выражения для а6 с четвертым, заключаем, что это возможно при условии
ю < UV(72K).
(11)
Для типичных значений параметров К = 10-9 м2/с, и = 10-2 м/с имеем ю < 1.4 х 103 1/с. Таким образом, решение, полученное с использованием предположения (11), может описывать реальные ситуации. Учитывая сказанное, вместо (10) запишем
= 1, a1 = 0,
1 2
1 u А
a2 =--, a3 = 0,
2 8 K
a4 = —
1 4
1 u
a5 = 0, a6 =
1
(12)
u
128K2' ' 1024К3
Последовательность (12) подчиняется простой закономерности
am =
(1
2
I nJ
2
u
4K
Г (3/2)
Г [(3/2)- я]Г(я +1) ^ 4K
С учетом (12) и (9) выражение (6) можно переписать в виде
,(t) = Co4K Е
a
j = о
(1
2
IП
a
1
2n
г [n + (1/2)]
= u!
4K'
sin
(rat )tn
-1/2 (13)
Легко проверить, что решение (13) можно записать в символической форме
-q() = JKJD + 4LCo,
(14)
а = .9-4—+ 9 ии" + 3 и3и' + 1 и6
6 = 128 К 64 К 128 К2 1024К3' ... Здесь штрих означает производную по времени.
Решение (6), (10) дает возможность без затруднений найти диффузионный поток у границы области при достаточно малых временах в виде ряда по возрастающим степеням V?. Однако основная цель работы — определение указанного потока при больших временах. Поэтому будем использовать некоторые упрощения. Прежде всего, заметим, что для функции (3) некоторые величины ап в (10) являются знакопеременными и поэтому не вносят ощутимого вклада в полный выход вещества при ? ^ да. Соответствующими членами можно пренебречь. Остальные слагаемые имеются двух видов. Первые не зависят от производных по времени, вторые зависят. Первые, содержащие четные степени и, безусловно
где с комплексом u2/(4K) следует обращаться как с постоянной величиной. В самом деле, поскольку все производные от функции u отброшены, решение имеет такой же вид, как при u = const.
Формула (14) реализуется следующим образом [3]:
D + 4^0 = expf-£') DexpfS' IC0.
(15)
Поскольку C0 = const, используя формулу (7), находим
D^2 exp(at) = -i + Va exp(at)erf4wt, vni
a = const > 0, л/a > 0,
г
erf (г) = "2= J exp(-T 2)dx.
0
0
470
БАБЕНКО, ИВАНОВ
Поэтому ряд в выражении (13) суммируется и решение записывается в замкнутой форме
-qs (t) = QVKJexp[-atsj-n (ш/)| + [ л/я/
Vasin((tit)erf [Va/sin(<»t)] I, Va > 0
(16)
Разлагая (16) в ряд по степеням а, можно убедиться, что последний соответствует формуле (13).
При а = 0 или ю = 0 имеем известный результат
-qs (t) = C„VK/л/Л/ .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫХОДА ПРОДУКТА ПРИ БОЛЬШИХ ВРЕМЕНАХ
Выход вещества к моменту времени г дается
г
формулой Qs (г) = (т^т. Но проинтегрировать
0
выражение (16) не представляется возможным. Однако предельная зависимость для г ^ да находится без затруднений.
Ввиду того, что второе слагаемое в (16) является четной функцией аргумента зт(ю г), можно написать
(/\ - C JK [exp[-atsin
(t} - K \-ТПГ
(Ш /)]
(17)
+ Va |sin(rot) erf [-Sat |sin(rot) ]j, Va > 0.
При г ^ да для всех значений г кроме окрестностей точек г = п я/ю можно воспользоваться асимптотическим выражением [5]
erf (z) = 1 —T^exp (-z2) +. Vnz
после чего из (17) получаем
-qs (t) « QVK^exp[-a/|n
■ да,
(ш t)]
+
щ sin^t)|
1 -
exp[-a sin (ш t)
nat Isin^t) _
(18)
a t ^ да.
- qs (t) * C0VK
-L O (1) + Va |sin(®t)| Vnt
at ^ да.(19)
Последнее легко интегрируется. Для достаточно больших г находим
Qs (t) « C0VK -yiOt + O(V?)
, a t ^ да, ю t ^ да.(20)
Подставляя в (20) выражение для а из (13) и пренебрегая вторым слагаемым, получаем окончательный результат в размерной форме:
Qs (г) - С0 ^, ^ ^да, ю? ^да. (21) п 4К
Формула (21) замечательна тем, что не содержит коэффициента диффузии. Выход продукта пропорционален амплитуде колебаний скорости и длительности процесса. Отсутствует также зависимость от частоты, в чем, на первый взгляд, можно усмотреть противоречие с предельным случаем ю = 0. Однако противоречие снимается ввиду того, что формула (20) справедлива только при условии ю? ^ да.
Зависимость (21) можно получить и более простым способом [6], который, однако, не имеет строгого математического обоснования и, поэтому, приводится здесь в качестве дополнения.
Разлагая выражение (14) в ряд по степеням Д получаем
-qs (t) = JKJU~. 1 + 4KDCq =
И
u
4U
1 + 2KD -Щ-D2 + ... IC0.
2 I u
u
Пренебрегая для г ^ да всеми членами разложения кроме первого, приходим к формуле
При указанных значениях г слагаемые, содержащие экспоненциальный множитель, взаимно уничтожаются. Для г = пя/ю разложение (18), разумеется, не имеет места, однако вблизи указанных изолированных точек второе слагаемое в (17) близко к нулю и сохраняется только первое. Таким образом, почти всюду
-д, (г) - IVи^п2(ю?)С0 - 1 \и\ Ип(ю?)| С0, г ^ да, которая после интегрирования дает результат (21).
СОПОСТАВЛЕНИЕ С ИЗВЕСТНЫМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ
Имеется лишь одна работа [2], в которой рассматривалась в некотором отношении сходная задача. Капилляр конечной длины с двумя открытыми концами имеет боковые ответвления, также конечной длины, заканчивающиеся тупиками. В магистральном канале возбуждаются периодические колебания гидродинамического потока; профиль скорости принят параболическим. Задача решалась численным методом; основной характеристикой процесса считалось время, по истечении которого в системе оставалось 2.5% извлекаемого вещества. Из графиков, приведенных в указанной работе, следует, что выход вещества примерно пропорционален величине и, как и предписывается формулой (21). Подтвердить отсутствие зависимости от коэффициента диффузии не удалось, так как
z
все расчеты выполнены для единственного зна
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.