ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2008, том 42, < 3, с. 254-257
УДК 539.217.2:66.02
ЭКСТРАГИРОВАНИЕ ИЗ ТВЕРДОГО ПОРИСТОГО ТЕЛА С ЗАСТОЙНЫМИ ЗОНАМИ
© 2008 г. Ю. И. Бабенко, Е. В. Иванов*
ФГУП «"РНЦ "Прикладная химия"», Санкт-Петербург *Санкт-Петербургская химико-фармацевтическая академия babenko@npd. iojfe.ru Поступила в редакцию 06.02.2007 г.
Рассматривается математическая модель, описывающая процесс экстрагирования из полубесконечного капилляра, соприкасающегося по всей длине с застойными зонами. Получены аналитические формулы для зависимости выхода экстрагируемого вещества от времени. Показано, что при больших временах процесс происходит так же, как в изолированном капилляре, но с другим эффективным коэффициентом диффузии.
В практике экстрагирования (система твердое тело-жидкость) встречаются пористые материалы самой разнообразной структуры. Поэтому простейшие модели [1, 2], использующие "образ" одиночного капилляра во многих случаях не объясняют поведение экспериментальных зависимостей "выход целевого продукта-время" на заключительной стадии процесса. Были предложены также более сложные модели [3, 4], но они также заведомо не исчерпывают всего многообразия существующих структур. В настоящей работе рассматривается одна из возможных моделей пористого тела, и анализируются полученные закономерности процесса массопереноса.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Положим, что полубесконечное тело пронизано каналами, начинающимися на поверхности. Каналы соприкасаются с полостями, равномерно распределенными по всей длине. Полости обмениваются веществом только с главным каналом, но не между собой. Естественно, что в математической модели процесса экстрагирования мы будем рассматривать только один канал (рисунок). Займемся выводом уравнений массопереноса для такой системы.
Для элемента объема канала кс(1Ах/4 имеет место уравнение баланса вещества
dC i п d \ jTCi п d \
--Г"Дх- K-¡ТТ"Ах +
д 4 Эх2 4
+ p(C!- C2)endДх = 0.
(1)
канала, соприкасающаяся с застойными зонами; К - коэффициент переноса в канале (в частности, коэффициент диффузии); в - коэффициент мас-сообмена; х - координата, отсчитываемая от выходного сечения канала; г - время.
Физический смысл двух первых слагаемых очевиден, последнее слагаемое описывает "отток" вещества из полости в канал через площадку гпёАх, в предположении, что интенсивность массообме-на пропорциональна разности соответствующих концентраций.
Подчеркнем, что такая постановка задачи вовсе не предполагает, что каналы являются прямолинейными - они могут быть как угодно искривлены. При этом координата х есть расстояние, отсчитываемое от сечения х = 0 вдоль канала.
Положим, что полость, соприкасающаяся с элементом канала Ах имеет объем Г Ах, где Г -
Здесь С1 - концентрация экстрагируемого вещества в канале; С2 - концентрация в застойной зоне; й - диаметр канала; 8 - доля площади поверхности
Схема канала, соприкасающегося с полостями застойных зон.
0
площадь поперечного сечения полости, м2. Уравнение баланса вещества в полости имеет вид
дС
-С ^Ах — Р(С! — С2 )гпй Ах. -г
(2)
Левая часть равенства дает изменение количества вещества в полости, правая - поток через площадку, отделяющую полость от канала.
Система уравнений (1), (2) может быть переписана следующим образом:
-С, -2С, ,
■С _ *—С + у5( С,-С2) = 0,
-С2
-г
— у( С,- С2),
(3)
(4)
С1 — С1( x, г) , С2 — С2(x, г) ;
У —
5 —
Ы 2/4"
С2г) — Со, С2(х, 0) — Со.
(5)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Систему уравнений (3)-(5) удобно видоизменить, введя новые переменные = С0 - С1, Б2 = С0 - С2 так, чтобы начальные условия сделать нулевыми:
* § + У5< .1-.2 ) — С,
(6)
| = У( .1- .2),
.1 — .1(x, г), .2 — .2(г), х е (0, ~), г е (0, , .1(0, г) — С0, г) — 0, .1(х, 0) — 0,
.2г) — 0, .2(х, 0) — 0.
(7)
(8)
Если под и .2 подразумевать концентрацию, то задача (6)-(8) описывает процесс пропитки полубесконечного массива, начальная концентрация вещества в котором равна нулю. Так как -С1/-х = --.1/-х, диффузионные потоки, определенные из систем уравнений (3)-(5) и (6), (7), одинаковы по абсолютной величине в каждый момент времени в каждой точке пространства, отличаясь лишь знаком.
Уравнение (7) можно переписать в виде
Таким образом, в отличие от случая изолированного канала, появляются два новых параметра - у и 5; первый пропорционален коэффициенту мас-сообмена, а второй есть просто отношение площади поперечных сечений полости и канала.
Замечание. На первый взгляд может показаться, что при ^ = 0 уравнение (3) абсурдно, так как у5 = 4Ре/^ - конечная величина. Однако, как следует из (2), при ^ = 0 имеем С1 = С2 и, таким образом, последнее слагаемое в (3) исчезает.
Положим, что начальная концентрация целевого продукта в жидкости, заполняющей канал и полости, одинакова и равна С0. В момент времени г = 0 отверстие канала открывается и начинается процесс диффузии в окружающее пространство, где происходит интенсивное перемешивание, так что концентрацию на выходе можно считать равной нулю. Требуется определить диффузионный поток через выходное отверстие как функцию времени, а также найти полный выход вещества к моменту времени г.
Таким образом, систему уравнений (3), (4) следует рассматривать в области х е [0, г е (0, дополнив ее условиями
С1 (0, г) — 0, С1К г) — С0, С1 (х, 0) — С0,
.2 —
У
у + -/-г
.1.
(9)
После подстановки (9) в (6) получаем уравнение, содержащее только переменную .1:
-(1 +
- г^ у + -/-г
у5
2
- К
- х2_
— 0.
(10)
Воспользуемся методом дробного дифференцирования, изложенным в [5]. Представим выражение (10) в виде
-г (1 + у + -/- г„
у5
-М -х
- х
X
X
-г(1 + у + -/-г
у5
- х
— 0
и рассмотрим уравнение, образованное правым множителем:
у (1 + 5) + -/-Г у + - / - г
+ ТК-хк—0. (11)
Введя упрощающее обозначение для дифференциального символа -/-г = Б и полагая в (11) х = 0, сразу получаем операторное выражение для диффузионного потока через выходное сечение канала:
-х
—К
-С1 -х
— 4КВ1'2 Б + ,1 (1 + 5 -С0.
Б + у
0
0
х
х
256
Напомним, что операция дробного дифферен цирования определяется выражением [5, 6]
БАБЕНКО, ИВАНОВ
Согласно (14), отсюда получаем
dtv
= Dv f (t) =
i
d
Г( 1- v) dt
J(t - x)-v f (x)dx, v < 1,
(13)
где Г - гамма-функция.
Наиболее просто вычисляется дробная производная от степенной функции:
„VU Г(ц +1) 1
Dr = . v ^ - - ., Ц.-v>-1. Г(|! +1-v)
(14)
Г dC1
2 = 1K -C
-1 dC1 dt = D 1K -т-—1 dx
поэтому из (12) получаем
-1/2 У D + Y( 1 + 5)
Q = vKD^
VD+y
Co
(15)
Реализовать оператор (15) проще всего в виде биномиального разложения по степеням В~1/2:
Q = VK
-1/2. y5n-3/2 у2(45 + 52)d-5/2
D + D -
2
Y3 (8 55 + 4-- 52 + 53 ) 7/2-+ 16
Co.
(16)
Q = CoJK
2 1/2 y5 4 - t +
■ТЛ 2 3уп
Y2( 45 + 52) 8 t5/2 +
3/2 t-
+
8
Y3 (8 5 + 4 52 + 53) 16
(17)
16
105 V п
7/2 -.t -•..
Q . C (VT+5 A ^-Ш;
-1/2 t+
t
Из (19) следует, что при г —► ^ зависимость выхода от времени такая же, как для случая, когда застойные зоны отсутствуют, но с эффективным коэффициентом переноса Ке{ = К(1 + 5). Множитель 1 + 5 равен отношению площади поперечного сечения всей системы канал + полость к площади канала. Момент перехода к такому режиму можно оценить, приравнивая слагаемые в разложении (19):
При Y = 0 или 5 = 0 выражение (12) дает хорошо известное решение для случая одиночного канала.
Выход продукта Q к моменту времени г определяется выражением
t >
1 5 4y 1 + 5.
Можно реализовать оператор (15) в виде единой формулы, описывающей процесс экстрагирования на всем промежутке г е (0, Конечный результат представляется несобственным интегралом от сложной комбинации модифицированных функций Бесселя и его не приводим. Однако для предельного случая 5 —► 0 получить общее решение не представляет труда.
Разлагая (15) в ряд по степеням 5, запишем:
Q = JK
d-1/2 + y5 d
-1/2
: + O(52)
Co
2 D + y
Оператор дроби реализуется формулой [5]
(20)
1
-f(t) = exp(-Yt)D exp(yt)f(t).
(21)
D+Y
Применяя последнюю к f = C0 = const, имеем:
Используя (14), получаем из (16) расчетную формулу
1
-Co =
1
[ 1 - exp(-yt)].
Последняя пригодна для расчетов при достаточно малых значениях г.
Чтобы получить асимптотическое решение для г —► ^ разложим выражение (15) в ряд по степеням оператора В1/2 [7]:
Q = 4КГуТ+5в-1/2-1-Д= в1/2+.„1 с0. (18)
В + Y 0 Y Так как известно выражение
в1/2ехр (-уг) = —2—daw^/Y~г, Улу
где daw(z) = ехр (-г2ехр(ы2)йи - интеграл До-сона, то из (20) получаем расчетную формулу
Q = Со4К х
^ + 5 Ut - 4-daw^l + O (52) -л/п 7п( VY ^
(22)
которая согласуется с (17) и (19).
Можно продолжить разложение по возрастающим степеням параметра 5. Возникающие при
2У,ДГ5
оо
0
0
х
х
0
X
этом операторы легко реализуются с помощью формулы, обобщающей (21) [5]:
—1-—п/(г) — ехр (-уг) Б" ехр (уг) / (г). (В + у)"
Соответствующие результаты, ввиду их громоздкости, не приводим.
Таким образом, проведенное исследование показывает, что при наличии застойных зон, обменивающихся веществом с поровым пространством, качественное поведение кривых "выход целевого продукта-время" не изменяется по сравнению со случаем, когда указанные зоны отсутствуют. Вместе с тем, их наличие может объяснить факт аномально большого значения эффективного коэффициента диффузии, наблюдаемого в некоторых экспериментах.
ОБОЗНАЧЕНИЯ С - концентрация, кг/м3; В - дифференциальный оператор, 1/с; й - диаметр канала, м; / - произвольная функция; К - коэффициент переноса целевого продукта в канале, м2/с;
Q - выход вещества к моменту времени г, кг/м2; ^ - площадь поперечного сечения полости, м2; . - вспомогательная переменная, кг/м3; г - время, с; х - координата, м; и - подынтегральная переменная; в - коэффициент массообмена, м/с; Г - гамма-функция;
у - параметр, характеризующий скорость массообмена, 1/с;
£ - доля площади поверхности канала, соприкасающаяся с застойными зонами; т - подынтегральная переменная.
ИНДЕКСЫ
0 - относящийся к начальному состоянию;
1 - относящийся к каналу;
2 - относящийся к полости; ef - эффективное значение; ц - показатель степени;
v - показатель дробного дифференцирования.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акс
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.