ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2008, том 42, № 5, с. 504-508
УДК 532.62:66.02
ЭКСТРАГИРОВАНИЕ В ДВИЖУЩУЮСЯ ЖИДКОСТЬ С ГРАДИЕНТОМ СКОРОСТИ
© 2008 г. Ю. И. Бабенко, Е. В. Иванов*
ФГУПРНЦ "Прикладная химия", Санкт-Петербург *Санкт-Петербургская химико-фармацевтическая академия babenko@npd.ioffe.ru Поступила в редакцию 06.12.2006 г.
Рассматривается нестационарный процесс экстрагирования из системы полубесконечных капилляров в движущуюся жидкость с линейным градиентом скорости. В предположении, что процесс диффузии в потоке происходит квазистационарным образом, получено линейное уравнение для локального потока вещества из порового пространства. Указанное уравнение содержит дробные производные по времени и координате обтекания. Найдены предельные решения для суммарного диффузионного потока при малых и больших временах, "перекрывающие" весь временной интервал.
До настоящего времени процесс экстрагирования из порового пространства в жидкость исследовался в предположении отсутствия внешнего потока, параллельного границе раздела фаз. Интуитивно ясно, что внешний поток должен увеличивать суммарный выход целевого продукта из пор. Однако остается не выясненным, целесообразна ли такая интенсификация процесса, так как она усложняет технологическую схему и требует дополнительных энергозатрат. Поэтому исследование закономерностей экстрагирования в движущуюся жидкость представляется актуальной задачей.
Настоящее исследование состоит из двух частей. Предварительно решается задача о квазистационарной массоотдаче в движущуюся жидкость в предположении, что концентрация целевого продукта на границе с жидкостью является известной функцией "координаты обтекания". Затем полученный результат используется при сопряжении с хорошо известным решением для нестационарной диффузии из полубесконечного капилляра. В результате приходим к нестационарному уравнению, описывающему процесс массоотдачи из системы капилляров в поток жидкости.
Использованное нами предположение о квазистационарности массопереноса в жидкой фазе, несомненно, оправдано, так как в реальных условиях характерное время нахождения экстрагента в жидкости измеряется секундами, тогда как процесс диффузии в капилляре длится часами.
Квазистационарная массоотдача от твердой поверхности в движущуюся жидкость. Математическая модель процесса массопереноса от поверхности х = 0 в поток жидкости с линейным градиентом скорости (рис. 1) формулируется следующим образом:
tUXdC- Kf —2=0, C = C (x, у),
1 дУ 1 д X2
(1)
хе[0,-), у е (0,1], С(0, у) = С(у), С(-, у) = 0, С(х, 0) = 0. (2) Здесь С - концентрация вещества в потоке; С - концентрация на границе раздела фаз; I - длина отрезка, на котором происходит массоотдача; Щ - эффективный коэффициент диффузии в направлении, перпендикулярном потоку жидкости; и - множитель, пропорциональный скорости потока.
у, м
l
x, м
Рис. 1. Поле скоростей в жидкости у поверхности пористой частицы.
l
0
В соответствии с общепринятыми приближениями [1], мы пренебрегаем диффузионным переносом в направлении потока.
Требуется по заданной величине С5(у) найти диффузионный поток через границу qs(y), равный
дС д х
qs = -Kr
(3)
Несмотря на то, что подобные задачи решались и ранее (см., например [2]), мы проведем рассмотрение заново, так как полученная ниже форма решения специально приспособлена для последующего сопряжения с решением внутридиффузион-ной задачи.
Подстановка Прандтля-Мизеса
я 2 3/2
% = 3 * ,
п
_ lKfy
переводит задачу (1) - (2) в следующую:
д- -д Эп Э%2
дп-^-ЗЩ.1 С = 0' с = С(%'П)'
(4)
(5)
0,-), пе( 0, КД1/ и ], С(0, П) = С(п), С(~, П) = 0, С& 0) = 0. (6) Уравнение (5) существенно проще (1), так как не содержит особенностей при старших производных. В новых переменных локальный поток вещества через границу (3) дается формулой
= K эс = -Kf Э*
* = 0
= -42) ,в%1С
(7)
0
0 удобно искать ме-
dv f(t) =
dtv
Dvf( t) =
1
d
Г( 1- v) dt
0
Основные свойства:
DvDft) = Dv + ft), Dv f = Г(| + 1)
j(t - t) vf (t)dT, v
(8)
< 1.
I - v
v + | < 1,
| - v >-1.
(9) (10)
Г(| + 1- v)
В соответствии с [3], положим, что в каждом сечении % = const выполняется соотношение
- — = LC
э% lc'
(11)
где L - линейный оператор, подлежащий определению.
Дифференцируя (11) по %, имеем Э2 C = dL L 2 с
-э% = Э%- LC.
(12)
Подставляя (11) и (12) в (5), приходим к операторному уравнению, определяющему L:
Э 2 dL 1
-т--L + -лт + T-=-L = 0.
Эп d% 3 %
Сделаем подстановку
Э1/2 1 Э L = -f (Z) ' z = F
-1/2
1/2 J
%Эг-1/2'
дп ЬдП
Тогда для определения функции /г) имеем уравнение
1- /-г2 / + 3 г/ = 0, / (0) = 1.
Последнее можно свести к уравнению Бесселя с помощью стандартной подстановки [5], в результате чего получаем
_ К2/з(1/г) Д К 1/3 ( 1/г ).
Здесь К - функция Макдональда. Таким образом
Выражение для (дС/ тодом дробного дифференцирования [3], не требующем предварительного определения поля концентрации. Напомним определение дробной производной и некоторые ее свойства [3, 4]. Для произвольной функции /(£) производная порядка V дается выражением
L=
Так как [6]
э1/2 кч% эу/2 1/2 , -.1 /2 эп К э
k1/w2
(13)
К^ (г) = 1 Г( V)(2) ", 0, V > 0,
из(13) находим
т _ Г(2/3)Г2)1/3_Э1/3_ р 0 т _ Г (1/3)1^ дп1^ ^
Подставляя (14) в (11) и далее в (7), получаем искомый локальный диффузионный поток через поверхность х = 0:
(14)
1/3
q (п) = iKf —rr3Cs (п)' Эп
1/3
(15)
| = ЧШт = °-7290-
Нестационарная массоотдача от порового пространства к поверхности. Положим, что область 1 < 0 заполнена порами, выходящими на поверхность 1 = 0 (рис. 2), площадь поперечного сечения которых составляет долю £ площади поверхности. Жидкость, заполняющая поры, содержит экстрагируемое вещество с первоначальной концентрацией С0. В момент времени £ = 0 поровое простран-
ство соприкасается с потоком, описанным выше. При этом, согласно [3], на границе х = 0 выполняется соотношение
-ТКР
ЭС Э х
\1/2
.1/2
[ Со- С (п, г)],
х = 0 дг
а локальный диффузионный поток в жидкую фазу д,равен
дс =
х
д,(п,г) = -еКр—
х=0
= ел/КР
1/2
(16)
1/2[ С0- С, (п, г)]. г
Здесь Кр - коэффициент диффузии в поре, м2/с.
Уравнение для концентрации на границе раздела фаз. Приравнивая потоки вещества по обе стороны границы х = 0, задаваемые выражениями (15) и (16), получаем уравнение, определяющее
С(п, г):
ч1/3
ЦК; —ТзС(П, г) =
дп
= еJЩp
1/2
(17)
рЛ 1/2[С0- С,(п, г)], С0 = еоп81. г
1/3
1/2
+
д п1/3 дг1/2
с0
с,(п, г) = —, а 7п г
_ Ц К/
(18)
пе (0, К}Г/и ], г е (0,-), С5(0, г) = 0, С(п, 0) = С0.
Применяя к (18) операцию д -1/2/д [см. (9) и (10)], получаем альтернативную форму уравнения, определяющего С,(п, г):
-1/2
-1/2
гд п1/3дг -1/2
+ 1 ]с,(п, г) = С0.
(19)
Решение в символической форме получается из (19) умножением на оператор, обратный оператору, стоящему в круглых скобках:
С,(п, г) = -т^з-^ттгС>. (20)
1 + а
_С
дп1/3д г-1'2
Локальный поток вещества через границу раздела фаз. Подставляя (20) в (15), находим
д,(п, г) = цКг
1 + а
__ЭЦС
э 1/3 э-1/2 дп1/3 0.
(21)
дп1/3д г -1/2
у, м
0 х, м
Рис. 2. Схема пор в полубесконечном теле.
Остается реализовать оператор, действующий на С0, т.е. привести его к форме, пригодной для расчетов.
Предельные случаи. Реализация оператора (21) наиболее проста для малых и больших значений времени. Разлагая знаменатель (21) в ряд по степеням а, получаем выражение
Так как [см. (10)] Э1/2С0/Э г1/2 = С0/ТЛГг, приходим к линейному неоднородному уравнению с дробными производными по переменным п и г:
д, (п, г) = цК; [
1/3
п
1/3
- а
Э2/3 Э-1/2 Эп2/3Э г-1'2
+ ...1С», (22)
содержащее легко реализуемые операторы дробных производных. Мы не выписываем последующие члены разложения, так как они содержат операции Э'/Э п, V > 1, не определенные равенством (8). С использованием (10) получаем расчетную формулу
д,(п, г) =
1/2 (23)
= ц К
1
1/3
- а-
1
г
2/3:
+.
С
0
_Г(2/3)п1/3 Г( 1/3)^-пригодную для малых значений г.
Согласно [7], чтобы найти асимптотическое выражение для массового потока при больших значениях г, следует в знаменателе оператора (21) сохранить слагаемое с наибольшим отрицательным показателем дробной производной. Иначе говоря, следует произвести разложение оператора по степеням 1/а. Итак, пренебрегая единицей, с учетом (18) имеем
д5(пг):
Ц Кгд1/2 С 0
г
с,
1/2
= е^Кр
1/2 а С0
р 1/2 аг
(24)
= еТКР "т=,
л/п г
Полученное выражение не содержит параметров потока жидкости. Оно совпадает с таковым для
г
СО
диффузионной задачи в полубесконечном поровом пространстве при условии, что на поверхности поддерживается концентрация, равная нулю. Данный результат следовало ожидать и из физических соображений - при больших временах поток жидкости поддерживает на поверхности концентрацию, равную нулю.
Асимптотическое решение. На практике всегда измеряется не локальный диффузионный поток, а выход продукта к моменту времени х, т.е. величина
х -1
г д q,(п, X)
(П, X) = I qs (П, х)йх = — _ . Из (21) находим
дх
х) _ ЦК
1
д-1 д1/3
\ д1/3 д-1/2 дх-1 дп1/3 0
1 + а--
1 + а дп 1 /3д х1 /2
С„. (25)
Имеется простое соотношение для преобразования от дробной производной [3]:
[В/(х)]*_ Р/*(р), V < 1.
(26)
Точно таким же образом определим преобразование Лапласа по переменной п, обозначая параметр преобразования через з. Несмотря на то, что поставленная задача рассматривается на конечном промежутке п б (0, К/ 12/и], решение существует на полуоси п б (0, —).
Применяя указанные преобразования к символическому выражению (25), получаем решение в операторной форме:
1/3
Е** (з, Р) _ ЦК/
С0
1/3 -1/2 2
1 + аз р зр
Одним из способов реализации оператора (21) является применение преобразования Лапласа
/*(Р) _ I/(х)ехр(-рх)йх.
_ ЦК
С0
(27)
/ 1/2 1/3 2/3 3/2
р + а, з р
Обратный переход к переменной х осуществляется весьма простым образом, так как оригинал выражения (27) по аргументу р известен [8, с. 211]:
0
11
1/2 3/2 2
р + а р а
"2аТ~х
+
ехр (а2х) ег/с(а^х) - 1)
п
а _ еоп81 > 0.
Полагая в (26) а = аз1/3, находим
(з х) _ Ц К/ С|
г з Ч 2 4/3
а з
'2аз1В«[х
2 2/3 1/3
+ ехр (аз
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.