КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2007, том 52, № 2, с. 336-343
ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ^^^^^^^^^^^^ КРИСТАЛЛОВ
УДК 548.0:534.2
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВНЕШНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ДЛЯ УПРУГИХ ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВБЛИЗИ АКУСТИЧЕСКИХ ОСЕЙ В КРИСТАЛЛАХ. II. ЦЕНТРОСИММЕТРИЧНЫЙ КРИСТАЛЛ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ. III. КРИСТАЛЛ ПРИ ВНЕШНИХ МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
© 2007 г. В. В. Аленков, А. Н. Забелин, Н. В. Переломова, С. И. Чижиков
Московский государственный институт стали и сплавов E-mail: zabelin@newpiezo.com Поступила в редакцию 20.06.2005 г. После доработки 21.06.2006 г.
Рассмотрена проблема вырождения упругих волн, распространяющихся в окрестности акустических осей в центросимметричных кристаллах во внешнем электрическом поле и в кристаллах произвольной симметрии при действии одноосных механических напряжений. Для случая акустических осей, совпадающих в отсутствие внешнего воздействия с осями симметрии, получены уравнения, описывающие направления внешнего воздействия, при которых разница скоростей исходно вырожденных поперечных волн или углы расщепления и смещения исходных вырождений достигают максимальных значений. На примере акустических осей в кристаллах LiNbO3, La3Ga5SiO14, Bi12SiO20 и SrTiO3 рассчитаны экстремальные направления одноосных механических напряжений и соответствующие им изменения характеристик поперечных волн. Проанализировано поведение акустических осей при действии всестороннего сжатия.
PACS: 62.30.+d, 62.65.+k
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая статья является завершающей в серии исследований [1] (I) проблемы экстремальных внешних воздействий для упругих волн, распространяющихся вблизи акустических осей в кристаллах. Речь идет, во-первых, об определении ориентаций внешнего воздействия, при которых разница скоростей исходно вырожденных упругих волн достигает экстремальных значений, во-вторых, об определении внешних воздействий, при которых в заданном направлении вблизи исходного вырождения будет возникать наведенная акустическая ось. В (I) данные задачи рассматривались для акустических осей в пьезоэлектрических кристаллах во внешнем статическом электрическом поле Е. Ниже рассматривается задача об определении экстремальных внешних воздействий для акустических осей в центросимметричных кристаллах в поле Е и в кристаллах произвольной симметрии при действии одноосных механических напряжений. В работе рассматриваются также особенности поведения акустических осей при действии всестороннего сжатия.
ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ УПРУГИХ ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВБЛИЗИ АКУСТИЧЕСКИХ ОСЕЙ
Как известно, распространение упругих волн в кристаллах при наложении однородных статических воздействий описывается уравнением [2, 3]:
(Гк + г^)и[а = Vа, а =1, 2, 3, (1)
в котором V,, и(а) - фазовые скорости и векторы
поляризации упругих волн; 1 - тензор Крис-тоффеля в отсутствие внешнего воздействия:
т-(°) 1
1 гк = _ сик1п1п1 для центросимметричных крис-р
таллов [4], Г(к°) = 1 ^с1]к1П]п1 + ^е,е^ для нецен-тросимметричных кристаллов [5, 6]; Г(1) - тензор,
-А (°)
описывающий возмущение тензора 1 внешним воздействием. Для механически свободного цен-тросимметричного кристалла, к которому приложено постоянное электрическое поле Е, с учетом
членов низшего (квадратичного) порядка по E [2, 7]1:
т-0) _ г ik -
Р|I-cijklpqgrtpq - f*tijkljnjnl + grtfk 1
EE
(2)
где Лщы = Лщы - - /иг^и/^кПч. Для кристалла произвольной симметрии при действии однородных механических напряжений т [3, 8]:
r(i) _ г ik -
-i (ctjklpqspqrt + 5jr5lt5ik)njnl + 2Ff s fkrt
rt
(3)
- -etijnteMnrfuvpqnunv | для нецентросимметрич-
ных и c
ijklpq
= c
v
1, 2
(n) = v 01 + [ D
-r11)-
-(i). 22
F л/(Di + Г(1) - Г22))2 + (D2 + 2Г(2))2 ]/4 v01,
(4)
где2 Г!1' (no) = rk (no) ; Voa, U(0a) - решение уравнения (1) вдоль n0 в отсутствие внешнего воздействия (v01 = v02 Ф v03; U(01), U(02) - произвольные единичные векторы, образующие правую ортогональную тройку с вектором U(03)); Dk(An) -коэффициенты, определяемые типом исходной
A 0«V(1)
(oß).
акустической оси [9, 10]; |Лп | = |п - п01 < 1 - отклонение волновой нормали.
По аналогии со случаем пьезоэлектрика в электрическом поле (I), представим входящие в
(4) компоненты гОф в таком виде, чтобы функции, описывающие свойства среды и внешнего воздействия, были разделены.
Нетрудно показать, что компоненты Г(1р в случае (2) определяются выражением
ГоР(n0> E) - ^^ErEt,
котором
„(aß), . _ Grt ( П0 ) -
ГДе c*klpq = cijklpq + „ I e tijnterklpqnr + e tklnterijpqnr
1 П
(5)
(6)
-PU
',cijklpqgrtpq frtijkl\n0 jn0l + v 0a gtrik
U
(0a) UOß)
а компоненты ra1ß) в случае (3) - выражением
уып для центросимметричных кристаллов. Здесь ei = eqirnqnr; - = -^п,.; р - плотность кристалла в отсутствие внешнего воздействия; spqrt, Сук1, cijklpq, егу, ег(]к1, grtpq,/игу,/гЩЫ, -у - соответственно компоненты линейных и нелинейных коэффициентов упругости, пьезоэффекта, электрострикции, а также диэлектрической проницаемости; п - единичный вектор направления волновой нормали в отсутствие внешнего воздействия; - символ Кронекера.
Рассмотрим двукратное вырождение фазовых скоростей упругих волн, используя индекс а = 3 для невырожденной волны и полагая, что v1 < v2, Лv = v2 - v1 > 0 для любого п. В этом случае вытекающее из решения уравнения (1) приближенное выражение для фазовых скоростей упругих волн, распространяющихся в направлении п, близком к направлению п0 исходной акустической оси, имеет вид [7, 9]:
ra1ß)(П0, Т) - G
(aß)
котором
Grt (n0) -
- ( С* S
pVu ijklpq pqrt
5 jßifiik) n0 n
0j 0l
(7)
(8)
+ 2 vn a s
0a ikrt
(0 aW0ß)
UU
k
В случае одноосного механического напряжения вдоль направления, определяемого единичным вектором т, тг: = ртгт:, и выражение (7) приводится к виду [11]:
ra1ß) - pG,
(aß)
mrmt,
(9)
3
где p - величина механического давления .
Представление Г^з в (2) и (3) в виде свертки симметричных тензоров второго ранга, один из которых описывает нелинейные свойства среды в направлении n0, а другой - внешнее воздействие, позволяет придать единообразный вид также и выражению (4) для фазовых скоростей упругих волн, распространяющихся в окрестности n0. Полагая в (4) Г^р согласно (5) или (9), получим
v 1,2 (п) = V01 + [D3 + fmH m -
FV( D1+ fm H m) + (D2 + fm Fm) ]/4v 01. Отсюда для разницы скоростей упругих волн
имеем:
1 Для механически зажатого кристалла члены в выражении (2), содержащие компоненты тензора £, обращаются в нуль.
2 В работе нижние греческие индексы используются для
обозначения компонент тензоров в базисе {и(01), и(02),
и(03)} , а латинские индексы - в произвольном базисе.
Av(n) - v2(n) - v 1(n) -- л/( D1+ fm Hm) 2 + (D2 + fm Fm )2/2v(
(10)
01
Принято, что давление сжатия отрицательно, а давление растяжения положительно.
rt
rt
3
Здесь / = Е2 для центросимметричного кристалла в поле Е и/ = р для кристалла произвольной симметрии при действии одноосных механических напряжений; т - направление приложения внешнего воздействия (поля Е или одноосных механических напряжений);
ч ъ(и)^ Ъ(22) Н (По) = О - О ,
Р п0 ) = 2О = 2 О
(11)
(ав)
вычисленных подстановкой О
Ъ(ав) Ъ(ав)
О = О (8), равны нулю:
Н- = 0, Р„ = 0.
(12)
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ДЛЯ УПРУГИХ ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В НАПРАВЛЕНИИ ИСХОДНОЙ АКУСТИЧЕСКОЙ ОСИ
Для упругих волн, распространяющихся в направлении исходной акустической оси, = В2 = = Въ = 0 и выражение (10) принимает вид:
Ау(п0) = |/| *](тН ш)2 + (тРш)2/2 V,
Введем тензор Ь деляются как
-(0)
(0)
(13)
компоненты которого опре-
Ц,Ы(П0) = НиНы + РцРы.
(14)
тт Ъ (0)
Из данного определения видно, что тензор Ь симметричен по двум парам индексов и их перестановке. В обозначениях (14) выражение (13) приводится к виду
В отношении нелинейных свойств, описываемых тензорами Н+ и Р (11), поворотные и инверсионные оси симметрии не различаются.
где = Ь^ . Скалярно умножив обе части (16) на т, найдем X ~ (Ау(п0, т)/ = сош1)2. Отсюда следует, что значениям X = 0 соответствуют ориентации внешнего воздействия, при которых сохраняется первоначальное направление акустической
оси5. Приведем решения системы уравнений (16) для акустических осей п0 || N.
п0 || 6. Тензор Ь(0) имеет следующие отличные
- симметричные тензоры второго ранга. Заметим, что для акустических осей, совпадающих в отсут-
4
ствие внешнего воздействия с осями симметрии порядка N > 2, а также для п0 || 2 в классах 23 и т3,
суммы диагональных компонент тензоров Н и Р,
Ъ (ав) = ОЪ (6) или
= Ь
(0)
6 Т (0) Т (0)
от нуля компоненты: Ь1Ш = Ь2222
= _ Ь(12 2. Подставляя данные соотношения в систему (16), нетрудно получить, что рассматриваемая акустическая ось не меняет направление при т || 6, а разница скоростей поперечных волн, распространяющихся вдоль п0, максимальна при любых т ± 6.
п0 || 4. Введем систему координат, повернутую вокруг оси х3 на угол, определяемый из условия
-(0)
(0)
Ь1112 = 0. В этих осях тензор Ь имеет следую-
(0) 111
щие отличные от нуля компоненты: Ь1
Т (0) т (0) Т Т (0) т г-
= ¿2222 = -ЬП22 = ¿11, ¿1212 = ¿66. С учетом данных соотношений из системы (16) получаем, что рассматриваемая акустическая ось не меняет направление при т || 4. Разница скоростей исходно вырожденных поперечных волн достигает максимальных значений при ориентации внешнего
~ Ъ (0)
воздействия вдоль осей симметрии 2 тензора Ь : ф/ = пк/2, если Ьц > Ь66, и ф/ = п/4 + пк/2, если Ь11 < < Ь66. Здесь к - целое число.
п0 || 2. Тензор Ь(0) имеет следующие отличные
Т (0) т т
от нуля компоненты: Ь1111 = Ьп, Ь
(0)
Ь
(0)
= Ь , Ь
= Ь33, Ь1
(0)
= Ь Ь (0)
= Ь13, Ь
(0)
= Ь = Ь
22
Ау (п0) = |/ л/шшЬ(0) шш/2 у01. (15)
Как следует из (15), задача об определении ориентаций внешнего воздействия, при которых достигает экстремальных значений величина Ау(п0, т)/ = сош1, сводится к поиску экстремумов
функции тт Ь(0) тт. Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, получим следующую систему уравнений для определения "подозрительных на экстремум" направлений т:
ттЬктк = Хт1, (16)
23
Ь(( 212 = Ь66. Тогда, решая систему (16), получаем, что направления т, при которых внешнее воздействие не меняет напра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.