ЭЛЕКТРОХИМИЯ, 2ÜÜ9, том 45, № 7, с. 889-894
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 544.6.001.57:621.372.43
ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА ИМПЕДАНСА ВАРБУРГА
© 2009 г. Н. А. Секушин1
Институт химии Коми НЦ УрО РАН, Сыктывкар 167982, Сыктывкар, ул. Первомайская, д. 48, Россия Поступила в редакцию 12.05.2008 г.
Обоснованы принципы построения максимально простой эквивалентной схемы импеданса Варбур-га, которые вытекают из свойств функции проводимости (ФП) и логарифмической функции проводимости (ЛФП) ^С-двухполюсников с сосредоточенными и распределенными параметрами. Показана возможность представления ФП в виде суммы однотипных слагаемых или в виде произведения сомножителей двух типов. Рассмотрены методы построения асимптотических ЛФП. На основе проведенного анализа выведены соотношения, позволяющие моделировать импеданс Варбурга двумя и тремя последовательными емкостными цепочками.
Ключевые слова: эквивалентная схема, математическая модель, двухполюсник, импеданс Варбурга, последовательная емкостная цепь, функция проводимости
ВВЕДЕНИЕ
При анализе эквивалентных схем электрохимических ячеек наибольшие трудности вызывают элементы с распределенными параметрами. Особенностью этих элементов является зависимость их импеданса от частоты. В работе [1] рассмотрено 8 типов элементов такого рода, среди которых наиболее известны элементы постоянной фазы (CPE). Частным случаем CPE является импеданс Варбурга, моделирующий электродный диффузионный процесс, который подчиняется второму закону Фика в виде дифференциального уравнения второго порядка в частных производных [2]. Системы с распределенными параметры широко распространены и в других разделах науки и техники [3]. Присутствие CPE в эквивалентной схеме затрудняет ее преобразование, поскольку этот элемент может быть смоделирован бесконечной цепочкой из резисторов и конденсаторов [1, 4]. В настоящей работе показано, как построить небольшую схему, имитирующую систему с распределенными параметрами в некотором заданном диапазоне частот.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЯС-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Функция проводимости RC-двухполюсника
Ранее нами были выделены 4 вида ЯС-двухпо-люсников, среди которых элементарным является
1 Адрес автора для переписки: sekushin-na@chemi.komisc.ru (H.A. Секушин).
двухполюсник 4-го типа, так как он не имеет геометрической емкости и сквозной проводимости. Было получено выражение для функции проводимости (ФП) этого двухполюсника:
v( ) Yi(Р) fiP"-1 + f2P"-1 + ••• + fn
Y( P) = PY~(P') = P - " U 2 - 1-Г" ' (1)
Y 2 ( P ) bi P + b2P + • + b" + 1
где через Y1(p) и Y2(p) обозначены полиномы числителя и знаменателя; f1-fn, b1-bn +1 - константы (все они положительны); n - целое положительное число; р = ja - переменная пространства изображений [3, 5]; j - мнимая единица; ш - частота.
Было показано, что полиномы Y1(p) и Y2(p) имеют действительные отрицательные корни. Пусть корни числителя равны: -p1f, -р2, ..., -р(п_ 1)f, а корни знаменателя —р1а, -р2а, ..., -рпа. Тогда в соответствии с теоремой Безу оба полинома можно разбить на сомножители, и функция проводимости приобретает следующий вид:
Y( ) = f1( P + Р 1 f ) ( P + Р 2 f ) • ( P + Р (п - 1) f ) =
bi ( Р + Р1а )( Р + Р2а )•■■( Р + Рпа)
n -1
f П(P + Pif) (2)
bln( P + Pia) i = l
В теории технических систем такого рода функции принято записывать в стандартном виде [5, 6]:
П^+1)
У( Р) = Со р^
(3)
П( тр + 1)
г = 1
где т
Рг/
- постоянная времени 1-го форсирующе-
1
го звена; Т =--постоянная времени г-го аперио-
Р1
дического звена; С0 =
/1П" =-1 рц
- константа, рав-
У( р) = I
г = 1
СгР Т Р + 1'
(4)
где Сг и Тг - константы, являющиеся емкостью и постоянной времени г-й последовательной емкостной цепи (ПЕЦ), которая представляет собой последовательно соединенные емкость Сг и резистор Я г = Тг /С.
Зависимость (4) является монотонно растущей функцией, причем скорость роста максимальна при Р = 0. Тангенс угла наклона касательной к функции У(р) в этой точке составляет
-
Нш -
р ^ о ар
IС г = С0,
(5)
г = 1
=1 Рг ■
ная низкочастотной емкости ЯС-двухполюсника (при Р = 0).
Под узлом понимается устройство, имеющее один вход и один выход. В математическом плане
узел - это уравнение, связывающее две временнЫх функции, одну из которых принимают за входной сигнал, а вторую - за выходной. ЯС-двухполюсник можно также считать линейным узлом, на вход которого подается напряжение, а на выходе измеряется ток. Математической моделью линейного звена является его передаточная функция, которая, по определению, равна отношению изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала [3, 7]. Отсюда следует, что ФП можно считать передаточной функцией ЯС-двухполюсника. Если передаточная функция разбивается на сомножители, то ее можно представить в виде цепочки последовательно соединенных элементарных звеньев, так как при последовательном соединении передаточные функции звеньев перемножаются [3, 7]. Таким образом, соотношение (3) можно интерпретировать, как передаточную функцию цепочки последовательно соединенных звеньев четырех типов: Щр = С0 - пропорциональное звено; ^ = Р - дифференцирующее звено; ^^ = тг Р + 1 - форсирующее звено; ^ = 1
= —-- - апериодическое звено 1-го порядка.
ТгР + 1
Ранее была доказана теорема о преобразовании ЯС-двухполюсника 4 типа, согласно которой ФП можно представить в виде суммы:
где С0 - низкочастотная емкость.
Эта особенность ЯС-двухполюсников позволяет отличать их от двухполюсников, имеющих в своей схеме индуктивности.
Логарифмическая функция проводимости ЯС-двухполюсника
Логарифмическая функция проводимости (ЛФП) представляет собой зависимость 18 У( р ) от 18 р. Определим максимальный тангенс угла наклона этой функции:
а ( 18 у ) а (18 р )
I ау
уа_ рау
1 аР Р
у ар у
< рСо < 1.
(6)
Несложно показать, что это неравенство будет выполняться для всех типов ЯС-двухполюсников. Предельное значение угла наклона в 45° будет наблюдаться только для конденсатора.
Таким образом, полученный результат можно сформулировать в виде следующего утверждения: ЛФП ЯС-двухполюсника не может иметь угол наклона, превышающий 45°.
Если прологарифмировать (2), то получим выражение для ЛФП ЯС-двухполюсника:
18 У (р) = 18 А + 18 р +
п-1
+ 118 (тр +1) + 118 [(Тр +1 )-1 ].
(7)
г = 1
г = 1
Таким образом, ЛФП равняется сумме логарифмических передаточных функций (ЛПФ) одного пропорционального, одного дифференцирующего, (п - 1) форсирующих и п апериодических звеньев.
Полезность ЛПФ связана с тем, что эти функции могут быть легко построены в приближенном асимптотическом виде [3, 7]. Для форсирующего и апериодического звеньев строят две асимптоты -низкочастотную и высокочастотную. Точка их пересечения называется точкой сопряжения. Для низкочастотной асимптоты берем р = 0. Видим, что для обоих звеньев ЛПФ равна нулю, асимптота совпадает с осью абсцисс. Теперь рассмотрим высокочастотные асимптоты.
п
п
п
п
Для форсирующего звена высокочастотная асимптота равна:
18 Wf (р) = 18 (т.р +1 ) = 18 (т.р) = 18 т + 18 р.
Она представляет собой прямую линию, имеющую максимальный разрешенный угол наклона +45°. Точку сопряжения рс. находим из уравнения:
18 (ТР) = 0. Отсюда получаем необходимую формулу:
1
Рс. = - = Рхр
т. -1
(8)
Таким образом, точки сопряжения форсирующих звеньев располагаются на правой части вещественной оси симметрично соответствующим корням числителя, которые располагаются на левой части этой оси.
Для апериодического звена высокочастотная асимптота равна:
18 Wa (р) = -18 (Т.р +1 ) = -18 (Т.р) = = -18 Т -18 р.
Она представляет собой прямую линию, имеющую угол наклона -45°. Точки сопряжения Рс. совпадают по абсолютной величине со значениями корней знаменателя:
РСI Т Р*с
(9)
Для дифференцирующего звена получаем точную ЛПФ:
18 Wd (р) = 18 р.
(10)
. 1 / / / 1 1 р
1 рр р Ра \ \ Ч Ч 2
Рис. 1. Логарифмические асимптотические передаточные функции: 1 - форсирующего звена; 2 - апериодического звена; 3 - системы из последовательно соединенных форсирующего и апериодического звеньев.
должны чередоваться. Таким образом, на постоянные времени звеньев накладывается следующее условие:
Т1 > Т1 > Т2 > Т2 > ... > тп
1 > Тп.
(11)
Эта функция имеет максимальный разрешенный угол наклона в +45°.
Соотношение (7) показывает, что график ЛФП ЯС-двухполюсника можно построить суммированием ЛПФ составляющих звеньев. На рис. 1 в качестве примера приведено суммирование двух асимптотических ЛПФ.
Как следует из рис. 1, указанные звенья при значениях р, меньших точки сопряжения, пропускают входной сигнал без искажения. В точке сопряжения звено включается в работу. При этом форсирующее звено усиливает входной сигнал, а апериодическое - ослабляет. Из рис. 1 также следует, что рост ЛФП с ростом угла в разрешенном интервале от 0° до 45° обеспечивается поочередным включением звеньев. При малых значениях р работает только дифференцирующее звено, затем, по мере увеличения р, должно включиться апериодическое звено, которое уменьшит угол наклона ЛФП. Включение форсирующего звена в этом случае привело бы к выходу угла наклона за разрешенный предел в 45°. Отсюда можно заключить, что точки сопряжения ЛПФ форсирующих и апериодических звеньев
Неравенство (11) можно переписать для корней полиномов У1(р) и У2(р):
Р\а < Р1/ < Р2а < Р(п - 1)/ < Рпа. (12)
Отсюда вытекает одно из важнейших свойств ФП ЯС-двухполюсника 4-го типа, связанное с расположением особых точек (нулей и полюсов) на комплексной плоскости. При движении по действительной оси от -га до нуля сначала будет зарегистрирован полюс, затем ноль и далее будет их чередование, которое завершится нулем в начале системы координат. Другими словами, ФП не может иметь два рядом расположенных нуля или полюса.
ДИФФУЗИОННЫЙ ИМПЕДАНС ВАРБУРГА И ЕГО МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯС-ДВУХПОЛЮСНИКОМ
При наложении на диффузионный процесс слабого электрического поля, изменяющегося по гармоническому закону с частотой ю, возникает электрический ток, фаза которого по отношению к напряжению равна +45° для любых частот, а амплитуда тока оказывается пропорциональной
л/ю. Ниже приведена формула для ФП имп
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.