ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 96, № 4, с. 674-686
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И ПРИКЛАДНАЯ ОПТИКА
УДК 535.32-34
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ
ОПТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КРОВИ И СКОРОСТИ КРОВОТОКА В КАПИЛЛЯРНОМ РУСЛЕ
© 2004 г. К. Г. Куликов*, А. М. Радин**
*Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет,
Санкт-Петербург, Россия **Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий,
Санкт-Петербург, Россия E-mail: amradin@mail.ru Поступила в Редакцию 04.06.2003 г.
Предложена модель для прогноза оптических характеристик (коэффициента преломления и поглощения) крови и определения скорости кровотока в капиллярном русле при облучении лазерным пучком. Получены зависимости интенсивности лазерного излучения от коэффициента преломления и поглощения крови для системы кровеносных сосудов, находящихся в верхнем слое дермы, и от скорости кровотока в капиллярном русле.
ВВЕДЕНИЕ
Применение лазеров в биомедицинских исследованиях основано на использовании широкого круга явлений, связанных с эффектами взаимодействия света с биологическими объектами. Наиболее перспективными и сравнительно безопасными методами исследования биологических объектов являются оптические. Оптические методы относятся к так называемым неинвазивным методам. Однако для применения этих методов необходимы адекватные теоретические модели, разработка которых сопряжена с преодолением существенных трудностей.
Следует отметить, что существует ряд теоретических и экспериментальных работ по сходной тематике [1-3]. Отметим, что в работе [1] моделирование распространения оптического излучения в исследуемой биологической среде (коже человека) осуществлялось с использованием стохастического метода Монте-Карло, сочетающего в себе схемы вычисления истинных траекторий фотонов и метод статистических весов. Работа [2] является экспериментальной в части определения средней скорости в абсолютных единицах и направления потока биологической жидкости в микрокапиллярах. В нашей работе в отличие от [1] используется электродинамическая модель, которая позволяет варьировать электрофизические параметры исследуемой биологической структуры (реальная и мнимая части показателя преломления крови, эпидермиса, верхнего слоя дермы, нижнего слоя дермы) и устанавливать зависимости между ними и биологическими свойствами крови, облученной лазерным пучком, а также оп-
ределять скорость кровотока в капиллярном русле, что делает возможным диагностику заболеваний, проявление которых связано с уменьшением эффективного диаметра капилляров и изменением биофизических свойств крови.
Биологическая ткань представлялась в виде слоев с различными оптическими характеристиками (эпидермис, верхний слой дермы, кровь, нижний слой дермы), облучаемых лазерным пучком. В верхнем слое дермы помещался кровеносный сосуд [4].
Работа состоит из трех частей. В первой части решена задача об отражении плоской волны от слоя с различными показателями преломления. Построение этой части носит вспомогательный характер. Во второй части решена задача об отражении гауссова пучка с произвольным поперечным сечением. В третьей части решена задача определения зависимости интенсивности излучения от коэффициента преломления для системы кровеносных сосудов, находящихся в верхнем слое дермы, и скорости кровотока в капиллярном русле. Для построения указанной модели использованы методы, разработанные в [5-7].
1. ОТРАЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ ОТ СЛОЯ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩЕЙСЯ ТОЛЩИНОЙ
В данном разделе уточняется коэффициент отражения от слоя с медленно меняющейся толщиной. Рассмотрим оптическую систему, изображенную на рис. 1. Система состоит из 4 областей с различными показателями преломления (эпидермис, верхний слой дермы, сосуд крови, нижний
слой дермы). С целью достижения наибольшего соответствия структуре реального объекта исследования представим границы раздела слоев модельной среды в виде волнистых поверхностей 21 = й^х, у), 22 = Й2(х, у), 23 = ьъ(х, у), где й^х, у) = = е181п(а1х + Ь1у), й2(х, у) = с2вт(а2х + Ь2у), й3(х, у) = = с3вт(а3х + Ь3у); с1, а1, Ь1, с2, а2, Ь2, с3, а3, Ь3 - некоторые произвольно задаваемые константы, причем а; < 1, Ь; 1, с; < 1 (г = 1, 3).
Пусть на слой падает под углом б плоская 5- или ^-поляризованная волна
Етс = ехр (гк1 хХ + ¿¿1 уу - 122),
где к1х = кп^т^вт^), к1у = кп^т^еовДО, к12 = = кя1еов(б). Требуется найти отраженное поле. Запишем уравнения Максвелла для среды с ]-м слоем
го1 Е = -г'ю^о М^Н, го1 Н = г юе0 е^Е, div Е = 0, Шу Н = 0.
(1)
Тогда электромагнитное поле (Е, Н) в среде с ]-м слоем будет удовлетворять следующему волновому уравнению:
А Е + к2 п 2 Е = 0, А Н + к2п2 Н = 0, (2) где к2 = ю2е0ц0, п - комплексный показатель преломления в ]-м слое (] = 1, 5 ), п = п0 + гх.
Введем в рассмотрение сжатые координаты Р = ех, = е у, Р3 = е2. (3)
Будем считать, что толщины слоев Н1, Н2, Н3 являются медленно меняющимися функциями переменных х и у. Обозначим отношение характерной толщины слоя к характерному продольному масштабу Ь через е [5], тогда получим
Н1 (х, у) = Й1 )|^= ех,Р2 = еу,
Н 2 ( х' у ) = й1 )|^1= ех,Р2 = еу,
Н3(х, у) = й1 )|^= ех,Р2 = еу.
Условия непрерывности касательных компонент Е и Н на границах раздела сред приводят к следующим граничным условиям:
Е1 кз = 0 = Е2 | ^3 = 0,
Е2| ^з = ей^.Р,) = Ез1 ^з =
Ез| ^з = еЙ2(^1,^2) = Е41 ^з = еЙ2(^1.^2)
Е4| ^3 = ейз(^1,^2) = Е51 ^з = ейз(^1,^2)
Р3 = 0
1дЕ2
п 2 Э Р
(4)
(5)
(6)
МОДЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ 2
-X
\ 4
\
Рис. 1. Оптическая система, моделирующая биологическую среду, состоящую из эпидермиса (1) с показателем преломления п2 = 1.5 + 10г и характерной толщиной слоя ¿2 = 6.5 х 10-5 м, верхнего слоя дермы (2) с п3 = 1.4 + 10-5 г' и ¿3 = 56.5 х 10-5 м, сосуда крови (3) с п4 = 1.35 + 10-5 г' и ¿4 = 9 х 10-5 м и нижнего слоя дермы (4) с п5 = 1.4 + 10-51.
1
—- =— е х
Эйх_Э - Эйх_Э . Е
дР - Р- еуДР^ ^ ^3 = ей1(^1
Р3 Р 'Э^Р
1 ^э д Й1 д дЙ1 д
= —I--ех— ---е у--- —
п3 1Р3
Р3 $1 еуЭ^2р
(7)
1ГЭ_ Эй_2 Э__ Эй_2 д Л Е| =
п321$3_ е х ЭР 1 $1_ е у Э$2 У 4 $3 = ей2($1,$2) =
= 1ГЭ_ Эй2 -э_ Эй_2 Э^ Е|
= 21 Р- ех Э^- еу Ч $3 = ей2(Р1,Р2),
(8)
п4
Э дй-3-с-- IЕ I
221 Р- _ ехЭР^ _ еуI^$3 = ей3(Р1.Р2)
п4
Эй3Э Эй3э
п521Р3 ех ЭР1Р
еу
(9)
Е5 IР3
ЭР2Р2Г5 'Р3 = ей3(Р1.Р2)'
Р3 = 0
Окончательные формулы для 5-поляризован-ной волны отличаются от формул для р-поляри-зации тем, что на месте п1, п2, п3, п4, п5 будут стоять единицы. Поэтому достаточно рассмотреть случай р-поляризации. Поскольку Н1, Н2, Н3 медленно зависит от х, у, то естественно искать отраженное поле в виде волн с медленно меняющими-
п
п
2
ся амплитудами и быстро осциллирующими фаза-
ми
е2 А О+ + - е (2 V О+Ут4е1ар + О+Ат4е1ар) +
Е = ехр( -х1ПС(^1, ^2, ^э) +
+ О+(к 2«4 - Vт4elap) + е2 А О +
+ ехр( -т 1ге£(^ 1 ? ^ ^3) А^ ^3).
(10)
Е2 = ехр( -Т2е1ар)|В + ) +
*4е1ар Ме1ар
+ ге( 2V О^Т5геГ + О^Ат5ГеГ) +
+ О (к2«52- VT5гef) = 0,
е АЕ + -е(2^VТ5elap + ЕАТ5^р) + + Е(к2«52- VT5e1ap) = 0.
(19)
+ ехр( -ТэгеК^ ^ ^3) В ^2, ^3),
(11) Амплитуды А, В±, С±, О±, Е ищем в виде рядов по степеням малого параметра ех, еу:
Аех, еу) =
Е3 = ехр(еТ3е1ар(^ ^ ^3С+(^2,^3) +
+ ехр(еТ4гef^ ^3С ^ ^3),
Е4 = ехр( еТ4е1ар))О+ ) +
(12)
= ЕЕ )(е х-е /),
- = 01 = 0
В(^1,^2,^3, ех, еу) =
(20)
= ЕЕ В +1 (^2,^3)(е х'е у1) +
- = 01 = 0
(21)
+ ехр( -Т5^^2' ^3)|^2' ^3),
(13)
Е5 = ехр(еТ5е1ар(^1, ^2, ^3)JЕ^3), (14)
где А, В+, В , С+, С-, О+, Е - амплитуды; Т1ге£, Т2е1ар,
Тзм, Тзе1ар, Т4М, Т5ге1> Т5е1ар - неизвестные функции
своих аргументов. Подставим поля Еъ Е2, Е3, Е4, Е5 в уравнение (2). В результате получим уравнения для амплитуд и эйконалов
+ ЕЕ В - (^2,^3)(е х-е у1),
- = 01 = 0
С(^1, ^2, ^3, ех, еу) =
= ЕЕ С5 (^1,^2,^3)(е х-е у) +
- = 01 = 0
(22)
+ ЕЕ С - (^2,^3)(е х'е у),
- = 01 = 0
О(^1, ^2, ^3, ех, еу) =
е АА + - е (2 VA Vт1гef + А Ат1гес) + + А(к2п1- VТlгef) = 0,
е2 АВ + + - е ( 2V В^2е1ар + В+АТ2е1ар ) + + В + ( к2 П22 - VТ2e1ap ) + е 2 А В + + ге( 2V В^«^ В^^) + + В"(к2Щ- VТзгef) = 0,
е2 АС+ + - е ( 2 VC+ VТзe1ap + С+АТ3е1ар ) + + С + (к2П32 - VТзelap) + е2АС + + -е(2VC"VТ4гef+ С АТ4^) + + С (к2п42- Vт4гef) = 0,
(15)
= ЕЕ О+(^1,^2,^3)(е х-е у) +
- = 01 = 0
(23)
(16)
+ ЕЕ О - (^1,^3)(е х-е у),
I = 01 = 0
Е(^1, ^2, ^3, ех, еу) =
(24)
(17)
= ЕЕ Е-Д1,^3)(е х-е у1).
- = 01 = 0
Решая уравнения (15)-(19) с учетом (20)-(24), находим эйконалы для отраженных и прошедших полей и лучевые амплитуды А, В, С, О, Е (в первом приближении)
= к2 х^1 + к2 у^2 + к 2 г ^3,
к2х + к2у + к 2г = к2 п2,
(25)
T2elap = k2x Pi + k2y - k2 zP3,
+ k2y + k 22z = k2
(26)
k2x = k«2sin(6)sin^), k2y = k«2sin(0)cos^), k2z = = kn!COs(6),
T3ref = k3 xPi + k3 yp2 + k 3 z P3,
k3x + k3y + k 32, = k2 «3,
T3elap = k 3 x Pi + k 3 y P2 - k3 zp3,
kL + k3y + k fz = k2 «3,
(27)
(28)
k3x = k«3sin(6)sin^), k3y = k«3sin(0)cos^), k3z = = k«3cos(6),
T4ref = k4 xpi + k4 yp2 + k 4 z p3,
k4x + k4y + k4z = k «4,
T4elap = k 4 x Pi + k4y P2 - k44zP3,
4elap MxSi т 2 _ MzS3'
k4x + k4y + k4z = k «4,
(29)
(30)
k4x = k«4sin(6)sin^), k4y = k«4sin(6)cos^), k4z = = k«4cos(6),
T5ref = k5 xP i + k5 yP2 + k 5 z P3,
k5x + k5y + k5z = k2 «5 ,
T5elap = k 5 x Pi + k5y P2 - k5 zP3,
2 2 2 2 2 k5x + k5y + k5z = k «5 ,
(31)
(32)
k5x = k«5sin(6)sin^), k5y = k«5sin(6)cos^), k5z = = k«5cos(6),
^(Pi, P2, P3, ex, ey) = A00(t0) +
+ e x [ A° (10) + P3 A0000 (to)] + + e y [ A° (t0) + P3 A 0000 (t0)] + + ex ey [ An (t0) + P3 A0000 (t0)],
(33)
t0 = Pi + P2-P3k-2hl
k2
A0000(t0) = —
2z
i д 2 A 000 ( t0 ) k2 « \
2i д t02 k23z
+ ex [ B°— (t2) + B-000 (12 )P3 ] + + ey [ B 0Л t2) + B-000 (t2 )P3 ] + + ex ey [ B (t2) + B-000 (t2 )P3 ],
(34)
i Э2
22 k «2
B0000 (ti ) = 77 ,• 2B00 (ti ) 3
2 г dt2 k 23
2z
- _ i д2 k« B0000 (t2 ) = —7Г- 2 B00 (t2 )"
2 i at2
t i = Pi + P2 + P-
k
3z
k2xk2-y 1 7 ' "
k 2
2z
t2 = Pi + P2 — P3 k3 xk3 y
k3
3z
C(Pi, P2, P3, ex, ey) = C0°+(t3) + + ex [ C°+(t3) + C+000 (t3 )P3 ] + + ey [ C 0°+ (t3) + C+000 (11 )P3 ] + + e x e y [ C°°+(t3) + C0+000 (ti )P3 ] + C°—(t4) + + ex
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.