РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2012, том 57, № 3, с. 325-329
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 533.951
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛЕНТОЧНОЙ АНТЕННЫ В МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
© 2012 г. Т. М. Заборонкова, А. В. Кудрин, Е. Ю. Петров
Поступила в редакцию 21.06.2011 г.
Рассмотрена задача о распределении тока в антенне, представляющей собой бесконечно тонкую, идеально проводящую узкую ленту. Антенна расположена в анизотропной плазменной среде перпендикулярно внешнему магнитному полю и возбуждается сторонней электродвижущей силой. Задача сведена к системе сингулярных интегральных уравнений, на основе которых получены и проанализированы выражения для распределения тока и импеданса антенны.
ВВЕДЕНИЕ
Исследованию электродинамических характеристик антенн в анизотропных средах посвящено большое число работ (см., например, [1—5]). Характерной особенностью большинства из них является использование заданных распределений тока вдоль антенного провода или применение метода длинных линий для отыскания распределения тока [3, 5]. В данной работе на основе метода интегрального уравнения решается задача о распределении тока линейной ленточной антенны, расположенной в анизотропной среде.
Используемый в данной работе метод может быть применен для общего случая анизотропной гиротропной среды, однако основное внимание мы сосредоточим на рассмотрении характеристик антенны в резонансной магнитоактивной плазме, когда показатель преломления одной из нормальных волн плазменной среды стремится к бесконечности при некотором значении угла между волновым вектором и направлением внешнего магнитного поля. Заметим, что в резонансной плазме теряет смысл ключевое для теории проволочных антенн в изотропной среде понятие "тонкая антенна". Любая антенна, работающая в такой среде, возбуждает часть пространственного спектра волн, длины которых много меньше поперечных размеров антенного провода, и поэтому перестает быть "тонкой" в общепринятой терминологии.
В данной работе проанализируем случай, когда антенна перпендикулярна направлению внешнего магнитного поля.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Рассмотрим бесконечно длинную ленточную антенну, расположенную в однородной безграничной плазме перпендикулярно внешнему магнитному полю и представляющую собой бесконечно тонкую, идеально проводящую ленту шириной 2Ь
(рис. 1). Будем полагать, что антенна возбуждается гармонической во времени (xexp(mt)) сторонней электродвижущей силой, создающей электрическое поле с единственной составляющей Ex, отличной от нуля только в зазоре |x | < А:
Ec:(x, 0, z) = [U(x + А) - U(x - А)] X х [U(z + b) - U(z - b)].
Здесь V0 = const — напряжение, приложенное к зазору, А — полуширина зазора, U — единичная функция Хевисайда.
Рис. 1. Геометрия задачи.
Тензор диэлектрической проницаемости холодной магнитоактивной плазмы записывается следующим образом:
( е -ig 0 >
ig е 0 . (2)
v 0 0 ц)
Величины s, g, п определяются параметрами среды (см., например, [6]), s0 - электрическая постоянная. Напомним, что плазма является резонансной, если signs Ф signr|. Плотность тока j на антенне может быть представлена в виде
j = x08(y)l(x, z), (3)
где S(y) — дельта-функция Дирака, I(x, z) — поверхностная плотность тока.
Для вывода интегральных уравнений, описывающих распределение тока антенны, необходимо выразить электрическое поле, возбуждаемое током (3), и использовать граничные условия для тангенциальных компонент поля на поверхности антенны.
Из уравнений Максвелла легко получить уравнение для электрического поля в следующем виде
где
rot rot Ё - ю щ0Ё = -¿юц0j. Используя преобразование Фурье
F(n) = jF(r)exp(ik0nf)dr,
(4)
(5)
где к0 = ю(б 0) — волновое число в вакууме, из (4) можно получить уравнение для Фурье-образов поля и тока:
T E(n) = -ik0 -Z0j (n).
(6)
Здесь = (ц0/е0)1/2 — импеданс вакуума, ц0 — магнитная постоянная, Т — тензор второго ранга, элементы Ту которого определяются следующим образом:
Tj = n25j - nn -s016j,
(7)
Ч] "у 'V] "0
где 8 у — символ Кронекера. Решения уравнения (6) для тангенциальных компонент электрического поля записываются в виде
Ex(n) = -iZ0(k0Dy\nl(nL + n2) - snL -- n(nX + n2) + &r]jx(n), Ez(n) = -iZ{](k{]T>y\nx(nL + n2 -e) +
(8)
(9)
2 2 2 HL = Пх + ny,
nlM = e- 2 ^ + n2± +
+ Xa
1 I 1 - 6
n
2
n -'-
-n2 + .
n
12
(11)
+ igny Щх(п). Здесь величина Б представляет собой детерминант матрицы Т и определяется следующим образом
О = -пП - п^ЫЩ2 - п2(п1_)], (10)
В записанных выше формулах индекс а = о отвечает обыкновенной, а а = е — необыкновенной нормальной волне магнитоактивной плазмы, хо = = —хе = —81§п(1 — е/п). Ветвь квадратного корня в (11) выбирается с положительной действительной частью. Зависимости п1а(п1), для которых предполагается выполненным условие 1т < 0, описывают поверхности показателя преломления нормальных волн. Выбор знака величин 1т отвечает условию излучения на бесконечности. Легко убедиться, что при п± ^ да имеют место соотношения пг,е(п1) ^ sign(s)(-s/n)1^2п± и пг,е(п1) ^
^ -¡(е/ц)12п± в случаях резонансной и нерезонансной плазмы соответственно. Для обыкновенной волны в обоих случаях п10(п1) ^ при п | ^ да.
2. ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ДЛЯ ТОКА
Поверхностная плотность тока на антенне может быть представлена в виде
да
I(X, I) = ко [ I(пх, I) охр(-1копхх)(1пх. (12)
—да
Чтобы получить интегральные уравнения для функции 1(пх, ¿), используем граничные условия
Ех = -Ех, Ег = 0 на поверхности антенны. При помощи формул (3) и (12) вычислим обратные преобразования Фурье от функций (8) и (9) в виде интегралов по пх, пу и пг. Заметим, что соответствующие подынтегральные выражения имеют особенности в нулях знаменателя Б, т.е. в точках
= ±пг,0(п1) и пг = ±пг,е(п1). Применяя теорему о вычетах, выполним интегрирование по пг и запишем выражения для Фурье-образов Ех(пх, у, z) и Е(пх, у, z) компонент поля. Используя теперь граничные условия для этих величин при у = 0 и $ < Ь, находим
\Кix)(nx,z - z)(nx,z)dz =-^j^Mbl, (13) ' 7 k k An
ZJ0^0 n,0Arl x
b
b
JK(z\nx,z - Zr)I(Их,Z)dz = 0,
(14)
где |z| < b и
K (x)(nx, Z) = X ^ J n
(nj -n)(ng -s),
2 / 2 2 ч'
njn.a(nz. - n.0)
nX +
2 2 r ny
и - s)2
(15)
exp(-/^onz,a IZl)dny,
K(Z)(nx, Z) = sign(Z)X Xa J
nx(na — S) .
2 2 n — n
(16)
x exp(—ikonZ a |Z|)dnr
K (x,z)(nx, Z) = K->x, Z) + F "x,z)(nx, Z).
^(x,z)
(x,z)/
(17)
K
(x)(nx, Z) = -2 J[nl |en|
-1/2
X cos(k)CTsign(e) Z-y/n2 + ny;) + iexp(-k) ZVn2 + nX)](nX + n],)'112dny, K(z)(nx, Z) = 2nxSign(Z) X
да
: Jexp(-ikoasign(s) |Z| ^n2 + n1y)dny,
(18)
b < 2A, (k)b)2 max{s|, g, Щ} ^ 1,
(19)
узкой ленты уравнения допускают приближенное представление в виде
JI (nx, z') In-
-b
z - z |dz' = -2nVo sin(kpA«x)в -
2 Z0k0 k0Anx
(20)
S («x) JI (nx, z)dz,
-b
b
f ЪЪеОк = 0.
J z — 7'
(21)
Здесь
Здесь и далее п^ = л2 + п2а. Таким образом, задача о нахождении распределения тока сводится к решению интегральных уравнений (13) и (14) с ядрами (15) и (16).
Поведение решений уравнений (13) и (14) определяется свойствами их ядер. Можно показать, что ядра (15) и (16) могут быть представлены в виде суммы сингулярных и несингулярных членов:
В случае резонансной плазмы сингулярные части ядер могут быть записаны в виде
5(лх) = р[пХ И -1/2 (1п а + у + 1п\пх |) +
+ /(у + 1п\пх\ +/¥ (х)(Пх,0)/2)],
в = М -1/2(лХ + / |бП 1/2г\
где у = 0.5772... — постоянная Эйлера-Маскеро-
ни, и учтено, что ¥ (г)(пх, 0) = 0.
Упрощенные интегральные уравнения могут быть решены аналитически. Заметим, что решение уравнения (20) с логарифмическим ядром удовлетворяет уравнению (21) с ядром Коши (см. [7, 8]). Данное обстоятельство позволяет далее рассматривать только уравнение (20). Подставляя его решение в (12), имеем
I (x, z) = --
V0
Z0П
'sin^A^); k0Anx
(22)
x вexp(-ikllnx.x) dn ln(4/k0b) - S(nx) x'
Вблизи краев ленточной антенны при z = ±b поверхностная плотность тока обращается в бесконечность в соответствии с условием Мейкснера [9]. Полный ток через поперечное сечение x = = const является конечным и находится по формуле
где а = (—е/п)1/2. Несингулярные части F(x,£)(пх, Z), которые можно брать при ^ = 0, определяются интегралами по пу, подынтегральные выражения которых могут быть представлены разностями соответствующих величин, входящих в строгие
формулы (15), (16) для ядер К (х'г)(пх, Z) и в соотношения (18).
В случае достаточно тонкой антенны, когда выполняются неравенства
I z(x) = J I(x, z)dz.
решения интегральных уравнений (13) и (14) могут быть получены в аналитической форме. Для
3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКА И ИМПЕДАНСА АНТЕННЫ
Простые аналитические выражения для распределения тока в антенне могут быть получены, если лента является настолько тонкой, что выполняется условие 1п(4/&0Ь) > |£(лх)| при |пх| < (£0Д)-1. В этом случае величиной ^(пх) можно пренебречь
b
>
a=e
3J
)
0
0
b
h( x)
h(0) 1.0
0.5
25
50
75
100 x, м
Рис. 2. Зависимость нормированной величины |I2| от координаты x при b = 1 см, А = 5 см, ю^ = 5.64 х
107 с-1, юн = 8.78 х 106 с-1 и ю = 1.88 х 105 с-1.
ReIs (x) Re/s(0) 1.0 г
200 x, м
Im Iz( 0) 1.0
0.5
50
100
150
200 x, м
-0.5
Рис. 3. Зависимости нормированных величин Re^2(x) и 1ш/2(х) от координаты х при тех же значениях параметров, указанных к рис. 2.
и выполнить интегрирование по nx аналитически. Для Х| > А получим
h(x) =
nV0h
Z,k, Щ4/k0b)
exp(-ih | x |),
(23)
где
h = k0 |en|14 (1 - i)/J2-
h =
(25)
(24)
Выражение (23) для распределения тока относится к случаю резонансной плазмы. Можно показать, что в нерезонансном случае, когда sign s = sign n, формула (23) сохраняет свой вид, а величина h определяется выражением
\k0(sг|)^4 при б > 0, п > 0,
[-ik^sri)^4 при б < 0, п < 0.
Отметим, что формула (23) дает результат, соответствующий приближению длинных линий, использованному ранее в ряде работ [5]. Таким образом, условия, при которых получена данная формула, определяют границы применимости метода длинных линий для линейной антенны в резонансной магнитоактивной плазме.
Перейдем теперь к результатам численных расчетов э
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.