РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2010, том 55, № 12, с. 1488-1493
РАДИОФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ И ПЛАЗМЕ
УДК 533.9
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОАКСИАЛЬНОГО ВОЛНОВОДА С ПЛАЗМЕННЫМ ЗАПОЛНЕНИНЕМ
© 2010 г. И. Н. Карташов, М. В. Кузелев, Е. А. Хапаева
Поступила в редакцию 13.05.2010 г.
Исследованы дисперсионные свойства цилиндрического коаксиального волновода с трубчатой плазмой в сильном магнитном поле. Получено дисперсионное уравнение для волн Е-типа и проведено его аналитическое и численное решение. Проанализирована пространственная структура полей поверхностных, объемных и объемно-поверхностных мод колебаний.
В настоящее время как теоретически, так и экспериментально, активно исследуются плазменные СВЧ-усилители и генераторы, основанные на возбуждении поверхностной плазменной волны в волноводе [1—5]. В простейшем виде плазменный генератор представляет собой отрезок металлического цилиндрического волновода с тонкой трубчатой плазмой пронизываемый тонким трубчатым электронным пучком. Вся система помещается в достаточно сильное магнитное поле, замагничивающее как электроны пучка, так и плазмы. С одной стороны волновод закрыт металлической сеткой прозрачной для электронов пучка, но не прозрачной для излучения, с другой имеет выходной рупор, представляющий собой продолжение волновода такого же радиуса с коаксиально расположенным металлическим стержнем внутри. Стержень играет роль коллектора отработанных электронов пучка и плазмы. Основные удачные экспериментальные реализации плазменного СВЧ-генератора связаны с использованием кабельных плазменных волн в волноводе с трубчатой плазмой и трубчатым пучком. Однако в подобных системах сложным является вопрос вывода излучения, поскольку излучающий рупор имеет достаточно большой коэффициент отражения. Для устранения этого недостатка предлагается использовать коаксиальный волновод в качестве камеры, где происходит пучково-плаз-менное взаимодействие. В коаксиальном волноводе с плазменным заполнением помимо медленных плазменных и быстрых электромагнитных волн присутствует поперечная кабельная волна, распространяющаяся с фазовой скоростью, равной скорости света с. Рассмотрению электродинамических свойств коаксиального волновода с трубчатой плазмой в сильном магнитном поле и посвящена данная работа.
Пусть имеется коаксиальный цилиндрический волновод с внутренним радиусом Я1 и внешним радиусом Я2. В области г1 < г< г2 (г > Яъ г2 < Я2) расположена плазма толщиной 8р = г2 — г1, которую будем считать холодной и бесстолкновительной, причем
движение ионов из-за большой массы не учитываем. В приближении достаточно сильного внешнего магнитного поля, когда движение электронов возможно только вдоль силовых линий (ось 0z ) тензор диэлектрической проницаемости плазмы имеет вид [6]:
а о ол 0 10 (1)
ч0 0 sy
с s = 1 - юр/ю2, где юp = (Anne2/m) ^ — электронная ленгмюровская частота.
Система уравнений Максвелла с тензором (1) для решений вида ~ exp (-Ш + ikzz + ilq>) может быть записана следующим образом:
ikzEr -
dr 1 d
= i-B, il-Bz - ikzBin = -i-E
:l
— ;
(B)- il-Br = - № E rdr r c
ikzBr - dBz = - i—Ev, ilEz - ikzE^ = i—Br. dr c r c
1-j-(rE9)- i-Er = i—BZ. rdr r c
(2а)
(2б)
Выражая из первых двух уравнений каждой из систем (2а) и (2б) поперечные компоненты векторов напряженности электрического поля и магнитной индукции
E,. -
Х0
21 ikz
dEz + ю l dr
B,
c r
B, f-^ dz + kM
X0 V c dr r
Br -- J_ ( ikzdBz + ® lEz X0 V dr cr
E, -Л f + kM
X0 V c dr r
c
и подставляя их в последние уравнения каждой из систем (2а) и (2б), получим следующие волновые уравнения:
А ±Е, -X ф Ег = 0, А В -X В = 0,
(4)
описывающие волны Е- и В-типа соответственно. Здесь
12
А , = 1 -
гйг йг г
2 2 2 /2 — оператор Лапласа, а х0 = к1 - ш / с . Кроме указанных двух типов волн, в коаксиальном волноводе существует так называемая кабельная волна, которая представляет собой еще одно решение системы (2) при ю/ к1 = с с компонентами Е, = В, = Еф = Вг = 0 и Ег = Яф ~1/ г.
В плазменной СВЧ-электронике интерес представляют прежде всего волны Е-типа [1]. Их анализом в дальнейшем и ограничимся, т.е. будем полагать Бг = 0. В областях, где плазма отсутствует, в первом уравнении (4) следует положить в = 1.
Решение первого уравнения (4) для трех разных областей коаксиального плазменного волновода записывается в виде [1] суперпозиции цилиндрических функций:
Е,(г) =
лл (-х0г)+ад (-х0г), д <г < г
(-Х0г) + В2Ы1 (-Х0г), г2 < г < Я2, (5)
АЛ.
I ((&)+ад ((&) г/
< г < г2.
Пространственная структура поля (5) суще-
2
ственно зависит от знаков величин х 0 и в, при этом цилиндрические функции могут быть как осциллирующими при вещественных значениях аргумента в (5), так и монотонно убывающими при удалении от границы при мнимых значениях аргумента. Если
ш < к с и ш < шр, т.е. х 0 > 0 и г < 0 (область I на рис. 1), то в вакуумных областях волновода поле имеет поверхностный характер, а в плазме — объемный. Если ш > к£ и ш > шр, т.е. х0 < 0 и г > 0 (область II на рис. 1), то поле в вакуумных областях волновода, как и в плазме имеет объемный характер. Наконец, при
ш> к с и ш < шр, т.е. при х 0 < 0 и г < 0 (область III на рис. 1), поле в плазме претерпевает изменения, став
ю, 1010с-1 30
25 20
15 10 5
- II /IV ю = к^с ю = юр
- III I
- 1 1 1 1 |
0 2 4 6 8 10
к^, см-1
Рис. 1. Области на плоскости ю — с различной поперечной структурой Е^-компоненты электрического поля. В области I в вакуумных областях волновода поле имеет поверхностный характер, а в плазме — объемный; в области II — в вакуумных областях волновода и в плазме поле имеет объемный характер; в области III — в вакуумных областях волновода поле имеет объемный характер, а в плазме — поверхностный.
поверхностным. Не сложно сделать аналогичные заключения и об области IV, где ш < к с и ш > шр, т.е.
X0 > 0 и г > 0. Однако, как будет ясно из дальнейшего рассмотрения, собственные волны плазменного волновода в этой области ю и к отсутствуют.
Используя граничные условия на металлических поверхностях волновода, а именно условия обращения в ноль тангенциальной составляющей электрического поля при г = Я12
Е, (Д/,2) = 0,
(6)
а также условия непрерывности тангенциальной составляющей электрического поля на каждой из границ плазмы г = г12
Е, (г/,2 - 0) = Е1 (г/,2 + 0),
(7)
и условия непрерывности нормальной составляющей электрической индукции Вг=Ег в точках г=г12, сводящиеся к условиям [1]
(г/,2 - 0)= йЕ(г/,2 + 0),
аг аг
(8)
получаем однородную систему из шести алгебраических уравнений с шестью неизвестными ^123 и
и системы пРедота:вляет собой искомое дисперсионное коаксиального волновода с трубчатой плазмой:
В123. Условие нетривиальной разрешимости систе- уравнение для определения спектров частот ю(^ )
W J, (V -хЦ, N ¡ J-xfo) J, ^V-x¡R1) - W J ( \¡-X20sr^), J i (1 &1) N (floR)
W Ji (-1^2), N ¡ /-1or2 ) Ji ^V-xlR2) - W ¡-xü&ó), J,( (lo^o) Ni (¡Ro)
W N (¡-xlsr^, N Щ J i ^¡-XlR1) - W N (¡-lo6^), Ji ¡¡—Xol) ni (¡k)
W N (¡-хЦ, N (¡-lik) Ji (2) - W N (¡-x^), J ¡-Xor2 ) Ni )
(9)
Здесь введено обозначение =
= Z1(x)Z2(у) - -1г1{ (х)Z2 (у), где Z1,2 - цилиндрические функции, а штрих означает производную по аргументу.
Несложно выписать и выражения для коэффициентов ^1,2,з и В123, описывающих поперечную структуру поля:
B3 - 1 ;
A, - -B,
B1,2 -
W N (¡-хЦ, N (¡-xün) J X0R1) - W Ni (¡ XRer1), J (1) N ((R
W [j (¡r), N (Щ ] J X0R1) - W [J (¡4 J (¡k)] N (¡R
(10)
A,J г (
"X0S'1,2
-BN (
"XoSr1,2
N ((1,2)- JI (-Х0Г1,2 I (¡Хо)) (-XOR1,2
; A1,2 --b
N (fxR:
1,2"
J i IV-XoR1,2
значениях аргумента y-%0r и вводя обозначение q в
предельном выражении у]-%0б ^ ю р. /— —2 = Я, в
с
области I (рис. 1) дисперсионное уравнение запишем в виде
ю = •
kzc
л/1 + q 2c V юр
в котором величина q определяется уравнением iJi Ы(1 + (j/ R)) + qrJi (qr1)(1 - (rj R)
iJi (qr2 )(1 + (hi Rr)) + qJ (qr2)( - (r2/Rr)
_ iNi(qn)(1 + (rjR1)21) + qrN'(qrQ¡1 - (rjR)
(11)
iNi (qr2)(1 + (rj R2)21) + qrN\ (qr2)(1 - (r2¡ R2) ) при i Ф О
(12а)
и
Исследуем некоторые предельные случаи уравнения (9). В длинноволновом пределе kz ^ 0, ю —> 0, так что ю/кг = v = const, используя разложения для цилиндрических функций при малых
Jo (qr1) - qrJО (qr1) ln r1 / R1 = Jo (qr2) - qr2 JО (qr2) ln r2 / Rr = No (qr1) - qrNO (qr1) ln r1 / R1 No (qr2) - q^Nó (qr2) ln r2 / R2 при i = o.
(12б)
При больших значениях qr уравнения (12) упрощаются до следующего: sin (gS p) = 0, независящего от величины l. Откуда следует, что высокие моды плазменных волн в длинноволновом пределе имеют закон дисперсии
2 Ю
Vn =
n _
2
k2 1 + (тшс/ Юр5 р)
2~2 Ю рО р
' 2 2 . п п
(13)
В обратном предельном случае, ^ да, дисперсионные кривые плазменных волн выходят на плазменную частоту ю ^ юр, а значит, & ^ 0 и дисперсионное уравнение (9) упрощается до следующего уравнения:
J¡ (м)N, (ц^) - J¡ (мтг)N,(щ) = o,
(14)
2
с
где ц = V—Обозначая решения (14) ц = цп, получим дисперсионную зависимость плазменных волн в коротковолновом пределе в виде
2
10„-1
2
ю л
(15)
" 1 +
При больших значениях корней ц n дисперсионное уравнение (14) можно приближенно записать как sin (ц8 p) = 0, и закон дисперсии (15) примет вид
2
2
Ф„ =
W л
2
1 + (nn/kz8 р)
В предельном случае бесконечно тонкой плазмы
2 2 5р ^ 0, шр ^ го, причем шр5р = const; оставляя в
дисперсионном уравнении (9) старшие члены после выполнения предельных переходов, получим дисперсионное уравнение для тонкой трубчатой плазмы с r = r1 = r2 = rp в коаксиальном волноводе для
медленных плазменных волн ш < kzc Kt (хoR) _ K (х0R2)
I, (х 0R1) 11 (х oR)
к, (X or,) _ K, (x oR) 11 (x orP) I, (x oRi).
к, (x or л) _ K, (x oR)
Ii (x orp ) Л (x 0R2 )
2
(16а)
= _5 /Д o
2 а л
CO
2 If (xorp)
и для быстрых волн ю > kzc
N (хoR) _ N (х0R2)
J¡ (х oR) J, (X0R2)
N (х orp) _ N (х 0R1) _ Ji (х orp) Ji (х oRi)
N (хГ) _ N (хoR)
Ji (х or,) Ji (х oR2)_
2
(16б)
= т5 рГРХ 2 AJl(X 0Гр ).
2 ш
Распределение полей в коаксиальном волноводе с тонкой трубчатой плазмой будет определяться формулой (5) с той лишь разницей, что в пределе бесконечно тонк
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.