научная статья по теме ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ КВАЗИ-ТЕМ-ТИПА В ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛНОВОДАХ С НЕОДНОСВЯЗНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ Физика

Текст научной статьи на тему «ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ КВАЗИ-ТЕМ-ТИПА В ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛНОВОДАХ С НЕОДНОСВЯЗНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 12, с. 1084-1094

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ

УДК 533.951

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ КВАЗИ-ТЕМ-ТИПА В ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛНОВОДАХ С НЕОДНОСВЯЗНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ © 2014 г. И. Н. Карташов, М. В. Кузелев

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Физический факультет, Россия

e-mail: igorkartashov@mail.ru, kuzelev@mail.ru Поступила в редакцию 13.02.2014 г. Окончательный вариант получен 24.04.2014 г.

Исследуются электромагнитные волны в плазменных волноводах с неодносвязной формой сечения во внешнем магнитном поле. Показано существование квази-ТЕМ-волны в конечном магнитном поле, которая переходит в истинную ТЕМ-волну в пределах бесконечно сильного и нулевого магнитного поля. Рассмотрена возможность возбуждения этой волны электронным пучком в режиме аномального эффекта Доплера.

DOI: 10.7868/S0367292114100059

1. Рассмотрим волновод, ориентированный вдоль оси г и заполненный однородной средой с тензором диэлектрической проницаемости вида

'б ±(ю) ^(ю) 0 " £(,у = е±(ю) 0 , (1)

ч 0 0 ец(о>), где ю — частота, г, у = х, у, г в плоской геометрии и г, у = г, ф, г в цилиндрической системе координат. Примером среды, имеющей диэлектрическую проницаемость (1) является плазма во внешнем магнитном поле, направленном вдоль оси г [1, 2]. В плоской геометрии волновод образован двумя идеально проводящими безграничными плоскостями х = 0 и х = Ь, а в цилиндрической геометрии — двумя цилиндрическими идеально проводящими поверхностями с радиусами Я1 и Я2 (Я1 < Я2). Очевидно, что оба волновода топологически эквивалентны, поскольку имеют неодно-связные поперечные сечения (цилиндрический волновод переходит в плоский при Я2 = Я1 + Ь и Я1 ^ да). Интересной особенностью волноводов с неодносвязным поперечным сечением (коаксиальных волноводов) является возможность существования в них поперечных ТЕМ-волн, или кабельных волн [3, 4]. Ниже мы исследуем возможность существования таких волн в случае, когда волновод заполнен средой с диэлектрической проницаемостью (1), конкретно — магнитоактив-ной плазмой. Заметим, что использование коаксиальных плазменных волноводов представляется перспективным для целей плазменной реляти-висткой СВЧ-электроники. В настоящее время коаксиальные волноводы уже используют в качестве вакуумных электродинамических систем в

источниках СВЧ-излучения, основанных на возбуждении релятивистским электронным пучком электромагнитной волны в замедляющей структуре [5—8], в качестве резонаторов для СВЧ-раз-ряда [9, 10] и т.д.

2. Начнем с плоского волновода. Для полей вида у(х) ехр(-/ю ? + гкгг), т.е. не зависящих от координаты у, где у(х) — некоторые функции, а кг — продольное волновое число, уравнения электромагнитного поля с тензором (1) записываются следующим образом:

kzEy = Bx, kzBy = — s lEx + i — gEy, c c c

kzEx + i^ = — By, dx c

kzBx + id-B = i-gEx LEy, dx c c

(2)

^ = i— B

v dBL = -i — S||Er dx

йх с ' ах с По определению ТЕМ-волн [3], у них должно быть Ег = 0 и Б^ = 0. Полагая эти компоненты равными нулю, из уравнений (2) находим

Ey - съ By - с2,

(3)

где С12 — постоянные. Так же из уравнений (2) имеем однородную систему для поперечных компонент напряженности электрического поля

X2Ех = г^gEy, х2Еу = -г^gEx, (4) с с

2 2 2 / 2 где х = к1 - б± ю /с . Из (4) следует дисперсионное уравнение для определения частоты ю

2

г 4 Ю 2 п „ 2 , Ю

(5)

с с

и связь между поперечными компонентами напряженности электрического поля

Ех = ±1Еу.

(6)

Очевидно, что найденное "решение" никакую реальную волну в волноводе не описывает, поскольку на самом деле является тривиальным. Действительно, для существования волн необходимо еще выполнение граничных условий, имеющих в случае плоского волновода вид

Е, (0) = Е, (Ь) = 0, Еу(0) = ЕУЩ = 0. (7)

Первое из этих условий, поскольку Ег(х) = 0, выполнено автоматически. Второе условие (7), в соответствии с первым решением (3), приводит к соотношению С1 = 0, т.е. Еу (х) = 0. Тогда из (6) и уравнений (2) получается, что и все остальные компоненты электромагнитного поля тождественно равны нулю. Таким образом, волны, частоты которых определяются из уравнения (5), имеют нулевые компоненты электромагнитного поля. То есть фактически ТЕМ-волн в плоском волноводе, заполненном средой с диэлектрической проницаемостью (1), нет. Данный результат вполне понятен. Действительно, в среде с диэлектрической проницаемостью (1) при g ф 0 волны, распространяющиеся строго вдоль оси ,, имеют в соответствии с (6) циркулярную поляризацию поля. Поэтому выполнение граничных условий (7) оказывается просто невозможным.

ТЕМ-волны в плоском плазменном волноводе возможны только при g = 0 (например, плазма без внешнего магнитного поля, плазма в бесконечно сильном внешнем магнитном поле, квазинейтральная плазменная среда, в которой все заряженные частицы имеют одинаковые по модулю отношения заряда к массе [11, 12], магнитоактив-ная электрон-ионная плазма в сверхнизкочастотной области [1, 2]). При g = 0, как видно из системы (4), компоненты Ех и Еу являются независимыми. Поэтому можно положить Еу(х) = 0, выполнив тем самым второе граничное условие (7). Отличные от нуля компоненты поля будут при этом определяться формулами

Ву - С2' Ех - С2,

К,с

(8)

а частота ю ТЕМ-волны находится из дисперсионного уравнения

X2 = 0 ^ к2 =4 8±(ю). с

(9)

Приближенно о ТЕМ-волнах можно говорить и при выполнении неравенства <§ 1. Наша

дальнейшая задача состоит в осуществлении предельного перехода g ^ 0, а также в выяснении того, что происходит с ТЕМ-волнами при увеличении по абсолютному значению компоненты g в тензоре диэлектрической проницаемости (1).

3. Общее решение уравнений (2) имеет вид [13]

Е, = А^е, в,=А^в,

X X

Е = -1к аI е - g ю со2 а | в

х , Лх с с2х2 Лх

Е = ; ю Л | В - ак Л| Е

Еу ~ 1 , 2 2.'

с ах с х ах

(10)

Ву =-е ± ю

Вх + g С % а1Е

ах с х ах

2 „2

- 2 2, с х ах

1

g ю

2 2

V 6 ±с х)

Е „и ю2 В

ах

где

у Е = (А1 к1х + В1 ео8 к1х) + + (А2 к2х + В2 ео8 к2х),

уВ = 1с [р1(А18Ш к1х + В1 ео8 к1х) + юkгg

+ р2(А2 к2х + В2 ео8 к2х)],

2

(11)

/2 1

к1,2 = — 2е х

(е х + е ||)х2 + g2 Ю

+

/ \ 2 , 2 Ю

(ех -е||)х + g -г

+ 4еук2 g2 )

(12)

р1,2 = ец X2 + е хк12.

Система уравнений для определения постоянных А12 и В12 получается подстановкой решений (10) в граничные условия (7). Решая эту систему, находим

А1 = а 2 А0, А2 - -СТ1А0

п ео8 к.Х - ео8 к2Ь .

В1 - а1а2-1-2-А0 =

а18т к1Ь - а 2 8т к2 Ь

_ а 2 8Ш к1Ь -а^п к2Ь

(13)

ео8 к1Ь - ео8 к2Ь

А0' В2 - -В1.

Здесь А0 — произвольная постоянная. Дисперсионное уравнение для определения частот ю волн плоского волновода получается как условие разрешимости однородной системы уравнений для постоянных А12 и В12, оно имеет вид

(а18т к1Ь - а2 8т к2Ь)(а2 8т к1Ь - а18т к2Ь) +

2

+ а1а2(ео8 к1Ь - ео8 к2Ь) = 0,

(14)

где

^1,2 = к1,2

в 1,2 + к2 я2

ю

2 2 с X у

(15)

о Ц к - к2)

г

2 1 ; 2 г2 х --М^

2 Ю

2 Л

2

с е ± у

= 0,

где

А М

(18)

(19)

о = к1к2(к/ - к22)^.

X

С той же точностью для компонент электромагнитного поля (10) имеем

Ех =

Щ8± С

Е. = -ах

Бу = ¡0^ Ао, X

v

1 - 3Ь + 2 Ь | Ао,

Еу =-

щ к7с

вх = О

6 е^ к,Ь я

х 11 -

(20)

в7 = -¡О

6 е ± с /, 0 х

к7Ь я щ

1 - 2-

Ь

Ао.

Левая часть уравнения (18) представляет собой произведение нескольких сомножителей. Решения, которые определяются нулями сомножителя (19) сразу должны быть отброшены. Действительно, как видно из выражений (20), этим решениям соответствует нулевое электромагнитное поле. Таким образом, при записи дисперсионного уравнения множитель О(к12 - к2)б ±х-2 должен быть

опущен. Окончательно имеем следующее дисперсионное уравнение:

Из всего множества волн, определяемых уравнением (14), нас интересуют только те волны, которые при я = 0 являются ТЕМ-волнами. При я ф 0 они уже не будут ТЕМ-волнами, поскольку у них компоненты Е7 и В7 отличны от нуля. Учитывая природу этих волн, будем говорить о них как о квази-ТЕМ-волнах.

4. Учтем теперь, что при я = 0 имеют место равенства к]2 = -(ец/6 ±)%2, к2 = -х2, а дисперсионное уравнение для частот ТЕМ-волн имеет вид

(9), т.е. х = 0. Можно ожидать, что при выполнении неравенства

Я2 ^ 1 (16)

дисперсионное уравнение квази-ТЕМ-волн мало отличается от уравнения (9), и для этих волн, как следствие неравенства (16), выполнены неравенства

|к1,2Ь\ < 1. (17)

Таким образом, при выполнении неравенства (16) дисперсионное уравнение для частот квази-ТЕМ-волн может быть получено из точного дисперсионного уравнения (14) разложением по малым величинам (17). В результате получается дисперсионное уравнение

X

= - Я2 ^ Ь2.

(21)

12 с

Используя дисперсионное уравнение (21), учитывая, что О ^ 0, и переопределяя произвольную постоянную А0, запишем формулы (20) в виде

Ех =

^ву = А, —6 |

1 - 3 х-Ь

v

■2 Ь

Е = ; 1 £_ — Ь кЬХ

7 12 е± с2 7 Ь

Еу = -— Вх = -41Я # Х (1 - ХI А, у к7с х 2 с2 Ь\ Ь

(22)

0'

„ 1 —ЬЛ лХ^ .с dEy В 7 =--Я-(1 - 2Т IА0 =---Г.

2 с \ Ы — ах

В уравнении (21) и формулах (22) уже можно осуществить предельный переход я ^ 0. При этом получатся уравнение (9) и формулы (8), описывающие ТЕМ-волны в плоском волноводе при Я = 0 (надо положить А0 = (ю/ к7с)С2 и учесть уравнение (9)). Таким образом, квази-ТЕМ-волны для случая (16) нами определены — дисперсионное уравнение этих волн есть уравнение (21), а поля вычисляются по формулам (22). При произвольном значении я уравнение (21) и формулы (22) требуют уточнения. Однако, опираясь на приближенные результаты (21) и (22), можно проследить те изменения, которые претерпевают квази-ТЕМ-волны при увеличении абсолютного значения компоненты я в тензоре диэлектрической проницаемости (1).

Суть этих изменений в следующем. Известно, что при я = 0 волны в волноводе распадаются на независимые волны Е- и В-типов. В волне Е-типа отличны от нуля компоненты электромагнитного поля Е7, Ех, Ву (зависимости полей от координаты у нет, см. систему (2)) и равна нулю компонента В7. В волне В-типа отличны от нуля В7, Вх, Еу и равна нулю компонента Е7. ТЕМ-волны не следует относить к какому-либо из указанных типов, поскольку в них равны нулю обе компоненты: к

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком