ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 9, с. 807-814
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПЛАЗМЕ
УДК 533.9
ЭЛЕКТРОН-ИОННЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ: КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ
© 2014 г. Д. А. Серебряков*, **, А. А. Балакин*, Г. М. Фрайман*
* Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород, Россия ** Нижегородский государственный университет, Россия e-mail: dmserebr@gmail.com, balakin@appl.sci-nnov.ru, fraiman@appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 02.12.2013 г. Окончательный вариант получен 13.02.2014 г.
Проведено численное моделирование квантовой задачи рассеяния электронов на ионах в сильных электромагнитных полях. Получено хорошее соответствие для характеристик рассеяния с полученными ранее в классическом пределе. Численно показано появление группировки электронов при электронно-ионных столкновениях, что позволяет ожидать генерацию аттосекундных импульсов в сильных полях.
DOI: 10.7868/S036729211408006X
1. ВВЕДЕНИЕ
Интерес к проблеме электронно-ионных соударений в сильных электромагнитных полях наблюдается уже в течение 50 лет [1, 2]. В последние десятилетия в связи с разработкой ко-роткоимпульсных лазеров высокой мощности, создающих поля с плотностями энергии до
1021 -1022 Вт/см2, и перспективами создания лазеров еще более высокой мощности (ХСБЬ8 и др.) стало возможным получать ультрарелятивистские осцилляторные скорости электронов в лабораторных условиях.
Теоретические исследования показали, что процесс рассеяния в сильных электромагнитных полях качественно отличается от рассеяния в слабых или высокочастотных полях [1, 3]. Характеристикой "сильного поля" является условие малости по сравнению с единицей безразмерной частоты О = ю/юЕ = ^ют^дёЕО), т.е. когда радиус осцилляции электрона гохс = еЕ/иа2 много больше характерного масштаба гЕ = ^ е2 2/Е, где поле иона превышает лазерное поле (здесь е и т — заряд и масса электрона соответственно, 2е — заряд иона, Е и ю — амплитуда и частота внешнего электрического поля). В сильных полях (^ <§ 1) проявляются несколько важных эффектов.
В работах [4, 5] было показано, что процесс рассеяния электрона на ионе состоит из двух стадий: на первой из них происходит "притяжение" электрона к иону как следствие большого числа осцилляций электрона в суммарном поле иона и внешнем поле, в результате чего импульс и энер-
гия электрона могут значительно измениться относительно исходных значений (определяемых тепловым движением). В ходе этого процесса также происходит группировка электронов по фазе внешнего поля [6]. На второй стадии — "жесткого" удара — происходит столкновение электрона с ионом, после чего электрон сильно изменяет направление движения и покидает область соударения. При этом, в момент "жесткого" удара электроны оказываются сфазированы относительно внешнего поля и взаимодействуют с ионом, объединяясь в сгустки, в результате эффективное сечение неупругого рассеяния и джоулев нагрев плазмы оказываются значительно выше оценок, полученных без учета притяжения и группировки электронов [4, 5]. Эти результаты были подтверждены численно и в работе [7].
В лазерных полях большой интенсивности ос-цилляторный радиус электрона rosc, пропорциональный амплитуде внешнего поля, может быть существенно больше, чем резерфордовский радиус
b = < г = ^ v = ёК (1)
^osc 2 ' osc 5 v osc ' V /
mvosc ю m(ü
В этом случае процесс "жесткого" удара может быть описан как рассеяние на кулоновском потенциале (задача Резерфорда), решение которой известно [8].
В работе [9] было проведено численное моделирование парных электрон-ионных столкновений в полях нерелятивистской интенсивности методом Монте-Карло, и для распределения горячих электронов по энергиям было получено хо-
рошее соответствие результатов моделирования и экспериментальных данных. Однако применимость этой модели ограничена классическим рассмотрением, т.е. случаем, когда длина волны де Бройля X0!С = к/тч0СС, оцененная по осциллятор-ной скорости электрона, много меньше Ь05С. Если это условие не выполняется, то возникает вопрос о правомерности классического описания.
Частично влияние квантовых эффектов в электрон-ионных столкновениях в сильных полях было рассмотрено в [10], где было показано хорошее соответствие с классическими результатами [4, 5]. Но результаты [10] были получены для довольно небольшого набора параметров.
Отметим, что при релятивистских интенсив-ностях лазерных полей параметр "квантовости"
столкновений Ь0ХС/X 0ХС = е Z/Йс перестает зависеть от амплитуды внешнего поля. Другими словами, переход к релятивистским интенсивностям "замораживает" квантовые эффекты и для качественного понимания влияния конечной пространственной ширины волновой функции достаточно ограничиться нерелятивистским случаем. Отдельным пунктом для дальнейших исследований стоит рассмотрение потерь на излучение при интенсивностях внешних электромагнитных полей 1023 Вт/см2 и выше. Очевидно, что для решения этой задачи будет необходимо использование аппарата квантовой электродинамики. Однако в данной работе, мы ограничимся более простым для численного и аналитического рассмотрения случаем меньших интенсивностя-ми полей, когда потери на тормозное излучение не существенны.
В данной работе будут рассмотрены электрон-ионные столкновения в сильных электромагнитных полях в рамках квантового описания (уравнения Шредингера). Вначале будет сформулировано основное уравнение (разд. 2), предложен метод и обсуждены особенности его численного решения (разд. 3). Далее проведено тестирование численной схемы (разд. 4) и показаны результаты численного моделирования (разд. 5), в которых особый интерес представляют распределения электронов по энергиям после выхода из области столкновения (разд. 6).
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В данной работе электрон-ионные столкновения рассматриваются как эволюция волновой функции электрона в суммарном поле иона
и электромагнитной волны. Считая скорости нерелятивистскими и пренебрегая магнитной составляющей силы Лоренца, можно записать
уравнение Шредингера для волновой функции электрона
ih
2 zee2
-—Ay - —— у + E0z cos(®0Oy,
2m | rl
- -A2 a- —e
dt
(2)
где внешнее поле направлено по оси г.
В классической задаче рассеяния электрона на ионе в присутствии сильного поля внешними параметрами являются амплитуда электрического поля Е и его частота ю, но, как было показано в [4], при приведении уравнения динамики электрона к безразмерному виду (с масштабами
гЕ = е2/Е0, 1Е = 4 шш12/(еЕ03), v Е = 4 Ze3E0 /ш2 ) остается только один безразмерный параметр
рассеяния О = 4 ю4ш /(еЕ 03). Если записать уравнение Шредингера в масштабах классической задачи, то после перехода к дрейфовой системе координат Крамерса—Хеннебергера [11] уравнение (2) записывается в следующем безразмерном виде:
iH ^ = - Hi dt 2
1
r--cos Q.t
а2
(3)
Переход к дрейфовым координатам осуществляется унитарным преобразованием волновой функции
ivosc(t)r/H+i jv0sc(t)/2Hdt ¥ old (r,t) = ¥ new(r - rosc(t),t)e •
Следует заметить, что такое преобразование соответствует разложению по волковским функциям [12] в случае задачи в свободном пространстве,
когда уnew = exp(ivr/H + iv2t/2H) при произвольном параметре v (аналоге дрейфовой скорости электрона). Это становится совсем очевидно если принять во внимание, что осцилляторная скорость vosc(t) = eA(t)/mc равна нормированному вектор потенциалу электромагнитной волны, а осцилляторный радиус находится как
rosc(t) = Jv osc(t)dt. В дальнейших формулах мы будем опускать индекс new.
В уравнении Шредингера, в отличие от классического уравнения движения, есть два безразмерных параметра
4 2 гу
ю m Z
eE0
H = А =
h E
hAEo
ЪгуЪ г
e Z m
(4)
Поэтому если классическое рассмотрение справедливо, параметры рассеяния электрона на ионе не должны зависеть от параметра H. Иными словами, результаты решения квантовой задачи должны быть одинаковыми при всех значениях параметров E0 и ю, которые удовлетворяют соотношению ю4 /E03 = const, т.е. при неизменном D..
2-
1 -
350 г/гЕ
Рис. 1. Зависимость |ух|2 от времени в точке, расположенной под углом 36° к оси на расстоянии 1.5гос от центра расчетной области, при О = 0. 3 и Н = 0. 6.
Если потенциал не зависит от времени, то квантовая задача рассеяния на кулоновском потенциале существенно упрощается и превращается в задачу Резерфорда. Известно [8], что в этом случае задача решается точно. Эта особенность использовалась для тестирования численной схемы (см. разд. 4).
Тем не менее численное моделирование уравнения (3) осложняется необходимостью задать граничные условия в виде падающей плоской волны на границе расчетной области (при г ^ -го). В работе [10] падающий электрон задавался в виде волнового пакета, но такой метод имеет ряд недостатков, связанных с повышением размерности задачи и числа ее параметров, по которым в дальнейшем следует проводить усреднение. Все это вместе делает задачу чрезвычайно сложной для численного моделирования. В качестве альтернативы было использовано представление волновой функции у в виде падающей
плоской волны у 0 и рассеянной части у 1, аналогично использованному в [8]
у(г, г) = у 0 (г, г) + У1(г, г),
(5)
где у 0(г, г) = е±г 1Ег 1Н — волновая функция свободного пространства, а у 1(г, г) — рассеянная часть волновой функции, обусловленная рассеянием от потенциала.
Уравнение для у 1 будет иметь следующий вид:
Н ^ = - Н! Ду! +
дг 2
¥ 1 + ¥ 0
г - сов а
а 2
(6)
Его преимущество заключается в том, что граничные условия упрощаются: необходимо потре-
бовать у 1(г) ^ 0 при |г| ^ го. Начальным условием для функции у 1 будет
г=0 = 0, (7)
что соответствует классическому условию Боголюбова об отсутствии корреляций частиц до столкновения. Как следствие, при численном моделировании требуется некоторое время, пока система придет в установившееся состояние (периодичное вследствие периодичности внешнего поля) для определения характеристик рассеяния. Обычно это время порядка (2—3) vosc/чт периодов лазерного поля. Типичный процесс установления численной схемы при П = 0. 3 и Н = 0. 6 показан на рис. 1.
Следует отметить, что решения (3) (и соответств
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.