научная статья по теме ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ РЕЛЕЯ ДЛЯ МАЛЫХ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ В СФЕРОИДАЛЬНОМ БАЗИСЕ Физика

Текст научной статьи на тему «ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ РЕЛЕЯ ДЛЯ МАЛЫХ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ В СФЕРОИДАЛЬНОМ БАЗИСЕ»

ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2011, том 111, № 6, с. 1026-1038

ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА =

УДК 535.36

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ РЕЛЕЯ ДЛЯ МАЛЫХ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ В СФЕРОИДАЛЬНОМ БАЗИСЕ © 2011 г. В. Г. Фарафонов, А. А. Винокуров, С. В. Барканов

Государственный университет аэрокосмического приборостроения, Санкт-Петербург

E-mail: far@aanet.ru Поступила в редакцию 17.05.2011 г.

Рассмотрена электростатическая задача для осесимметричных частиц в сфероидальном базисе. В этом случае волновое число равно нулю, поэтому уравнения Максвелла сводятся к уравнению Лапласа для скалярных потенциалов. Другой подход связан с интегральными уравнениями, аналогичными уравнениям в рамках метода расширенных граничных условий. Скалярные потенциалы представляются в виде разложений по собственным функциям уравнения Лапласа в сфероидальной системе координат, а неизвестные коэффициенты разложений определяются из бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (метод разделения переменных). Данные подходы дают строгие решения задачи для осесимметричных частиц, которые в частных случаях совпадают с известными решениями. Исследование бесконечных систем позволило указать границы применимости рассматриваемых алгоритмов. Численные расчеты показали, что для сфероидальных чебышевских частиц (т.е. возмущенных сфероидов) релеевское приближение, фундаментом которого является электростатическое решение, хорошо работает в широком диапазоне изменения параметров задачи и вполне удовлетворительно согласуется с результатами расчетов по методу дискретных диполей.

1. ВВЕДЕНИЕ

Взаимодействие излучения с малыми частицами играет важнейшую роль при решении большого числа прикладных задач в самых разных областях науки и техники [1—3], в том числе в оптике наноразмерных частиц [4]. Основной математической моделью при решении этой проблемы служит либо приближение Релея, в рамках которого размер частицы много меньше длины волны излучения, либо электростатическое приближение, при котором волновое число предполагается равным нулю, а внешнее поле считается постоянным.

В классических монографиях [1, 2] (см. также [4]) данные тесно связанные модели достаточно подробно изложены для тел канонической формы — шаров и эллипсоидов, включая эллипсоиды вращения — вытянутые и сплюснутые сфероиды. Для подобных частиц решение в электростатическом приближении можно получить в явном виде в том числе для двухслойного эллипсоида [2], многослойного конфокального [5] и неконфокального эллипсоидов [6, 7].

Кроме этих моделей частиц в теории рассеяния света и ее приложениях часто применяется модель осесимметричных частиц. Для нее особенно эффективен метод разделения переменных (Separation of Variables Method, SVM) и метод расширенных граничных условий (Extended Boundary Condition Method, EBCM), который можно

рассматривать как интегральную версию 8УМ, часто дающую лучшие результаты, но применимую не ко всем осесимметричным частицам [8]. Используя разложения электромагнитных полей по сферическим или сфероидальным волновым функциям, методы 8УМ и ЕВСМ дают очень точные и быстро сходящиеся решения, которые обычно предпочтительнее решений, получаемых другими методами [3].

В данной работе мы обобщаем на электростатический случай (к = 0) точный метод разделения переменных, а также метод расширенных граничных условий, развитые нами ранее для рассеива-телей любой осесимметричной формы. Постановка задачи излагается в разд. 2, при этом в рамках метода 8УМ вместо уравнений Максвелла решается уравнение Лапласа для скалярных потенциалов с соответствующими граничными условиями. Другой подход аналогичен методу ЕВСМ [8], при этом задача формулируется в виде поверхностных интегральных уравнений. В следующем разделе скалярные потенциалы представляются в виде разложений по собственным функциям уравнения Лапласа в сфероидальной системе координат с учетом ориентации постоянного внешнего поля. Вывод бесконечных систем линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов разложений потенциалов приводится в разд. 4. Там же строится новое приближенное решение (по существу в явном виде), когда поле внутри частицы предпо-

n = 2 n = 2 n = 2 n = 10 и = 10 n = 10

5 = 1.1 5 = 1.5 5 = 2.0 5 = 1.1 5 = 1.5 5 = 2.0

X

Рис. 1. Вытянутые сфероидальные чебышевские частицы с отношениями а/Ъ = 10, количеством максимумов п = 2, 10 и параметрами возмущения 5 = 1.1, 1.5, 2.0.

лагается постоянным. Следующий раздел посвящен аналитическому исследованию возникающих для неизвестных коэффициентов бесконечных систем. Здесь удается указать область строго обоснованного применения обсуждаемых методов. Сфероидальные чебышевские частицы подробно рассматриваются в разд. 6, включая применимость к подобным телам предлагаемых алгоритмов. В разд. 7 прослеживается связь между приближением Релея и электростатическим решением задачи, а также предлагается алгоритм расчета сечений рассеяния и поглощения. Проведенный в разд. 8 анализ результатов численных расчетов показывает ценность построенного ре-леевского приближения на примере сфероидальных чебышевских частиц. Завершают статью выводы.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Введем сфероидальную систему координат (£,, П, ф) таким образом, чтобы ее связь с декартовой системой (x, y, z), ось z которой совпадает с осью симметрии частицы, можно было задать соотношениями [9]

x = 2 -f) (1 - П2 )]1/2 cos ф,

У = 2 [(S2-f) (1 - n2 )]1/2 sin ф, (1)

Z = 2

где d — фокусное расстояние сфероидальных координатных поверхностей. Параметр f = 1 для вытянутых сфероидальных координат, при этом е е [1, да), n е [—1, 1] и ф е [0, 2я), и f = —1 для сплюснутых сфероидальных координат, при этом S е [0, да). Отметим, что формальный переход от

вытянутых сфероидальных координат к сплюснутым осуществляется при помощи предельного перехода —»- d —- — id.

Уравнение поверхности S осесимметричной частицы в выбранных сфероидальных координатах запишется как

S = S(n), (2)

при этом частицы не обязательно должны быть звездными, т.е. радиус-вектор, проведенный в некоторую точку поверхности, может пересекать ее несколько раз (см. рис. 1).

В электростатическом случае волновое число к = 0, поэтому можно ввести скалярные потенциалы Ф, связанные с напряженностями электрических полей E формулами

E = УФ, (3)

при этом уравнения Максвелла сводятся к уравнениям Лапласа

ДФ = 0. (4)

Введем обозначения для скалярных потенциалов, а именно Фш — потенциал внешнего поля, Фжа — потенциал рассеянного поля, т.е. поля вне частицы, возникшего вследствие наличия частицы, наконец, Фш1 — потенциал поля внутри частицы.

Граничные условия заключаются в непрерывности на границе раздела сред тангенциальных составляющих напряженностей электрических полей и нормальных составляющих векторов электрической индукции D = sE [10], которые

можно записать, используя скалярные потенциалы, следующим образом:

111 ьиа 11И

ф + ф = ф

/- ж 1п 80ач л - 1п

д ( Ф + ) _ е д Ф

дп дп

(5)

г е 5

где б = б2/б1 — относительная диэлектрическая проницаемость, е1 и б2 — диэлектрические проницаемости сред вне и внутри частицы. Отметим, что запись граничных условий в такой простой форме обеспечивается соотношением (3), устанавливающим связь между напряженностями электрических полей и скалярными потенциалами.

Для решений уравнения Лапласа (4) точно так же, как для решений волнового уравнения в рамках ЕВСМ [8, 11, 12]), можно вывести интегральные уравнения, которые с учетом граничных условий (5) имеют вид

ф-(г-эдС*^ - едФ-ЧТ)с(г, г')\<Н _

дп дп I

|-Ф 1п(г), г е Б,

(6)

.Ф80а(г), г е Л\Б,

где введена функция Грина скалярного уравнения Лапласа для свободного пространства

0( г, г') _

1

4я|г - г'|

(7)

Здесь г, г' — радиус-векторы точек наблюдения и интегрирования. Обычно первым шагом является решение интегрального уравнения для потенциала внутреннего поля Ф1п1 в области Б. После этого потенциал рассеянного поля Ф5803 легко находится из уравнения для области Л3\Б.

3. РАЗЛОЖЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Уравнение Лапласа (4) для потенциалов (3) может быть решено разделением переменных в сфероидальных координатах. В этом случае соответствующие решения имеют вид [10]

¥ _ р7рт(п) С08^

0"(%) б1п т ф,

(8)

где п > т > 0 — неотрицательные целые числа, Рт (п) — присоединенные функции Лежандра 1-го

вт/ \ (21 + 1)(1 - т)! 0т, ч

рода, Р1 (п) = -----—"1 (п) — соответ-

Р Уи ■1 2 (1 + т)! 1 V и

ствующие нормированные функции. Для функций, зависящих от угловой координаты п, вторые

линейно независимые решения 0Г(п) не рассматриваются, так как они имеют особенности при п = ±1 и не подходят по физическим соображениям, но они появляются для функций, зависящих от радиальных координат. Присоединенные функции Лежандра 1-го и 2-го рода имеют вид

"о (п) = 1, Л(п) = п, "2 (п) = 1 (3 п2 -1),...,

Р (п) = л/Г?,

"2 (п) =

3 пТГ

2

п > ••

0о(п) _ , &(п) _ 1 п- 1,

2 1 - п 2 1 - п

02(п) _ 1 (3п2- 1)- 3п, •■■,

4 1 - п 2

42 1 - п 1 - п2

1 (п) _ ТЛуГ3пш1-^ + ^

(9)

°2Х,/ " V2"'"1 - п 1 - п2 С увеличением индексов п, т соответствующие функции Лежандра могут быть найдены из рекуррентных соотношений [10]. Присоединенные функции Лежандра 1-го и 2-го рода от радиальной координаты % > 1 можно получить из формул

(9) с помощью замены п

%, л/Т

- 1, а также (1 — п) мических членах формулы:

- п —-

(% — 1) в логариф-1

Ро(%) = 1, "1 (%) = %, р(%) = - (3г -1),

л1^) = Т^м, р](%) = 3%7%Г-Т,

0о(%) _ -1п

11п%-+-, д1 (%) _ I% 1п%-+- - 1, 2 % - 1> ^^ 2Ь % - 1

а2(%) _ 1 (3%2 -1) 1п|+1 - 3%,..., 4 % - 1 2

(10)

о1 (%) _ л/%2 -1 Г-11п .

ь Г 2 % - 1 %2 - 1

0:

1(%) _ (-3 % 1п%-+- + ^

% -1

%2 - 1

В случае сплюснутых сфероидальных координат решения уравнения Лапласа имеет вид [10]

>т. К('%) Ът, , СОБт ф , ¥ _ Р1 (п)

(11)

01 (I%)

Б1п т ф,

5

2

при этом угловые функции те же, что и для вытянутых сфероидальных координат, а радиальные функции 1-го и 2-го рода имеют вид

Р№) = 1, Л(/%) = /%, Р2ц%) = -1 (3%2 + 1), ...,

i (ф = ¡JíT+l, Ъ) = -

2о(i= — ¿arctan-, Q1 (i£,) = arctan1 - 1,

Q2( ф = 2 (( 3 S2 + 1) arctan - - 3^j,

(12)

Q

- (Ф = V?

+ 11 - arctan1 +--^ ,

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком