ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2004, том 67, № 2, с. 394-408
= ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ ИНСТАНТОНЫ В НЕПЕРТУРБАТИВНОМ КХД-ВАКУУМЕ
© 2004 г. Н. О. Агасян*, С. М. Федоров**
Институт теоретической и экспериментальной физики, Москва, Россия Поступила в редакцию 12.11.2002 г.
Изучено влияние на инстантоны непертурбативных полей в квантовой хромодинамике. Непертур-бативный вакуум описывается нелокальными калибровочно-инвариантными вакуумными средними глюонных полей. В билокальном приближении получено эффективное действие для инстантона и показано, что стохастическое фоновое глюонное поле приводит к инфракрасной стабилизации инстантонов. Найдена зависимость характерного размера инстантона от величины глюонного конденсата и корреляционной длины в непертурбативном вакууме. Приведено сравнение полученного распределения инстантонов по размерам с данными расчетов на решетке.
1. ВВЕДЕНИЕ
Инстантон является первым явным примером непертурбативных флуктуаций глюонного поля в КХД. Он был введен в 1975 г. в работах Полякова с соавт. [ 1]. Важный шаг был сделан в классической работе 'т Хофта [2], где он вычислил квазиклассическую амплитуду туннелирования. В пионерских работах Каллана, Дашена и Гросса [3, 4] в качестве модели вакуума был предложен ин-стантонный газ. Эти топологически нетривиальные полевые конфигурации дают возможное объяснение некоторых проблем квантовой хромодинами-ки. Инстантоны позволяют объяснить аномальное нарушение U(1)^-симметрии и массу П [5, 6]. Наличием в КХД-вакууме инстантонных и анти-инстантонных полевых конфигураций может быть объяснен механизм спонтанного нарушения ки-ральной инвариантности [7]. Существенная роль инстантонов в скалярных и псевдоскалярных каналах указывалась в работе [8]. Есть много других явлений в КХД, где учет инстантонов оказывается принципиально важным (см. [9] и цитируемую там литературу).
В то же время в инстантонной физике существует ряд проблем. Во-первых, это инфракрасная расходимость интегралов по размеру инстантона р при больших р, которая делает невозможным вычисление инстантонного вклада в некоторые физические величины, такие, как вакуумный глю-онный конденсат. Во-вторых, "закон площадей" для петли Вильсона нельзя объяснить в рамках модели инстантонного газа, т.е. в квазиклассическом инстантон-антиинстантонном вакууме нет
E-mail: agasian@heron.itep.ru
E-mail: fedorov@heron.itep.ru
конфайнмента, который ответствен за формирование адронного спектра. Недавно было показано, что в инстантонном газе нарушается казимиров-ский скейлинг [10], наблюдаемый в решеточных вычислениях потенциала взаимодействия тяжелых 0)0-кварков в различных представлениях цветовой группы Би(3) [11]. Обсуждение этого вопроса см. также в [12].
Решению проблемы стабилизации инстантона по его масштабу р было посвящено большое количество теоретических работ1). Все они в той или иной степени сводятся к попыткам стабилизировать инстантонный ансамбль путем учета эффектов взаимодействия между псевдочастицами [13]. Наиболее популярной стала феноменологическая модель "инстантонной жидкости", сформулированная Шуряком [14, 15]. Используя гипотезу о том, что инстантоны доминируют в вакуумных средних локальных глюодинамических операторов, и учитывая явление диполь-дипольного взаимодействия между инстантоном и антиинстантоном, он определил основные характеристики среды: среднее расстояние между псевдочастицами К ~ 1 Фм и их средний размер р ~ 1/3 Фм. Таким образом, возник относительно малый параметр р/К ~ 1/3, и была сформулирована картина "зернистого вакуума", состоящего из сравнительно хорошо разделенных между собой и, следовательно, мало деформированных инстантонов и антиинстантонов, т.е. разреженная среда псевдочастиц. Однако действие парного взаимодействия между псевдочастицами ехр{£щ} » 1 оказывается важным для структуры инстантонного ансамбля, и поэтому был сделан
''Заметим, что еще в пионерских работах по инстантонной физике Каллан, Дашен и Гросс [3, 4] предлагали решить часть перечисленных проблем явлением "развала" инстантонов на мерон-антимеронные пары.
вывод, что инстантонный ансамбль в КХД есть не разреженный газ, а взаимодействующая жидкость [14].
В работе Дьяконова и Петрова [16] количественно были получены аналогичные результаты для параметров инстантонной жидкости. Предположив, что вакуумное состояние в глюодинамике представляется в виде суперпозиции инстантонов и антиинстантонов, авторы нашли, что стабилизация по масштабам связана с обнаруженным ими классическим отталкиванием между псевдочастицами. Однако дальнейшее развитие [17] показало, что инстантонный ансамбль не может быть стабилизирован чисто классическим взаимодействием. Таким образом, до сих пор не понятен динамический механизм подавления инстантонов большого размера в ансамбле топологически нетривиальных полей.
Более естественно предположить, что кроме квазиклассических инстантонов в вакууме существуют другие непертурбативные поля, которые позволяют в принципе объяснить перечисленные выше проблемы. В работе [18] было рассмотрено взаимодействие инстантона малого размера, р < 0.2 Фм, с длинноволновыми глюонными флук-туациями, которые описываются локальным вакуумным конденсатом {(дС^)2). Было показано, что влияние таких полей приводит к еще более быстрому росту плотности инстантона с увеличением его масштаба р. С другой стороны, изучение инстантонов в стохастическом КХД-вакууме, параметризуемом нелокальными калибровочно-инвариантными средними напряженности глю-онного поля {кС^(х)Ф(х, у)Са\ (у)Ф(у,х)), где Ф(х,у) — оператор параллельного переноса, было начато в [19, 20]. Было показано, что в непертурбативном вакууме меняется стандартная теория возмущений и нелокальное взаимодействие инстантона большого размера (р > 1 Фм) с непертурбативным фоновым полем не ведет к его инфракрасному раздуванию [20]. Далее, в работах [21] было продемонстрировано, что нелокальное взаимодействие инстантона с непер-турбативными вакуумными полями стабилизирует инстантон на масштабах порядка корреляционной длины в вакуумном конденсате.
В настоящей работе мы последовательно развиваем калибровочно-инвариантный метод вычисления эффективного действия для инстантона в непертурбативном вакууме. Мы показываем, что инстантон существует как стабильная топологически нетривиальная полевая конфигурация с характерным размером рс. Значение рс функционально определяется свойствами било-кального коррелятора непертурбативного поля {1хС(х)Ф(х, у)С(у)Ф(у, х)), т.е. параметрически двумя величинами: значением глюонного конденсата {С2) и "мерой его неоднородности" Тд —
корреляционной длиной в конденсате. Мы не рассматриваем проблему распределения инстантонов в 4-мерном евклидовом пространстве, т.е. вопрос о плотности инстантонов N/V. Рассмотрение этого вопроса в рамках нашего подхода требует изучения взаимодействующего инстантон-антиинстантонного ансамбля на фоне непертурба-тивных флуктуаций, описываемых калибровочно-инвариантными вакуумными средними глюонного поля.
Работа построена следующим образом. В разд. 2 мы описываем общий формализм для эффективного действия инстантона в непертур-бативном фоновом поле. В разд. 3 исследуется однопетлевая перенормировка инстантонного действия в присутствии непертурбативных полей. Показано, что "пертурбативная" часть эффективного действия для инстантона "замораживается" в непертурбативном фоновом поле и при значениях размера инстантона р > 1 ГэВ-1 выходит на постоянное значение. Раздел 4 посвящен исследованию "прямого" взаимодействия инстантона с непер-турбативными полями, которые, в свою очередь, параметризуются калибровочно-инвариантными нелокальными вакуумными средними напряженности глюонного поля (корреляторами). Используя кластерное разложение, мы калибровочно-инвариантным способом находим эффективное действие для инстантона в билокальном приближении. Численные расчеты и обсуждение результатов представлены в разд. 5. В Приложения вынесены вывод однопетлевой перенормировки эффективного действия инстантона в непертурбативном вакууме в координатном пространстве, а также некоторые математические дополнения.
2. ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ
Влияние непертурбативных флуктуаций на ин-стантон может быть разделено на две части. Во-первых, в непертурбативном фоновом поле меняется теория возмущений, что приводит к изменению стандартной однопетлевой перенормировки инстантонного действия. Во-вторых, появляется прямое нелокальное взаимодействие инстантона с непертурбативными фоновыми полями.
Стандартное евклидово действие глюодинамики имеет вид
S[A] = i? /(О
J d4xFaßV [A]FZv [A]
где ^[А] = д^А„ - дуА^ - г[А^, А»] - напряженность глюонного поля, и мы используем эрмитову матричную форму для калибровочных полей
Aß(x) = g0Aaß{x)ta/2, trtatb = öab/2 (ta — генераторы калибровочной группы). Мы представляем Aß как
Au = Ainst + Bu + ab
(2)
где А™^ — инстантоноподобная полевая конфигурация с единичным топологическим зарядом, Qт[А1"^] = 1; ац — квантовое поле (разложение по ац сводится к теории возмущений, что приводит в глюодинамике к явлению асимптотической свободы); Вц — непертурбативное фоновое поле (с нулевым топологическим зарядом), которое может быть параметризовано нелокальными вакуумными средними напряженностей глюонного поля2).
В общем виде эффективное действие для ин-стантона в непертурбативном вакууме имеет вид
Z
O(B) = dß(B)O(B),
й^(В) — мера интегрирования по непертурбатив-ным полям, явный вид которой не существен для дальнейшего рассмотрения.
Раскладывая 5[А] до квадратичных по а^ слагаемых, получаем
z = (Zi(B)Z2 (B)),
где
х exp
Zi(B) = e-^mst]J[Daß] det(V2) х (6) tr J d4x {-(Vßav)2 + 2iFßV[aß,av]}
Lg0
^(В) = ехр{-5 [А1П5г + В ] + 5 [А1П5Ч }. (7)
Здесь мы использовали обозначениеА = А1П^ + + В, ^ = [А],и = дцаи - аи] - ко-вариантная производная. Интегрирование по а и В в (5) соответствует усреднению по полям, которые ответственны за физику на разных масштабах. Интегрирование по а^ учитывает пертурбативные глюоны и описывает явления на малых расстояниях. Усреднение по В^ (формально — взаимодействие с глюонным конденсатом) учитывает явления
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.