Яндаров В. О., кандидат физико-математических наук, профессор, проректор по научной работе Грозненского государственного нефтяного института им. академика М.Д. Мил-лионщикова
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ НЕЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Квазипроизводная
Пусть в каждой точке x интервала (a, b) определена функция f и существует конечный предел lim f (t) в каждой точке х е (a, b) . Тогда разность
t—x
A*У = Kf(x0) = limf(t)-limf(t)= lim f(t)-limf(t(
t—x t^x0 t^x0+Äx t^x0
называется обобщённым приращением функции f в точке x0 е (a, b), где Ax = x - x0 - приращение аргумента x такое, что x0 + Ax е (a, b).
Определение. Конечный или бесконечный предел
lim А*У = f'(x ) =
Ax v of dx называется квазипроизводной функции f в точке x0 .
Если квазипроизводная f* (x) является функцией аргумента x в некотором промежутке I, то можно определить вторую квазипроизводную или квазипроизводную второго порядка:
№))) = f*"(x)
Аналогично можно определить квазипроизводную n -го порядка или n -ую квазипроизводную:
Л' )(x) = (/*(n",)(x ))) = dxy
2. Квазидифференцируемость функции
Пусть функция f определена в интервале (a, b) и A*f = A*y = limf (t)-limf (t)- обоб-
t—x t—>x0
щённое её приращение в точке x0 .
Определение. Функция f называется квазидифференцируемой в точке x0, если её обобщённое приращение A*y в точке x0 можно представить в виде
A*y = A Ax + a(Ax)Ax, (1)
где А- некоторое число, не зависящее от Ax, a(Ax) - бесконечно-малая при Ax — 0 .
Теорема 1. Пусть функция f определена в некоторой окрестности U(x0) точки x0. Для того чтобы функция f была квазидифференцируемой в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела конечную квазипроизводную f*'(x0) в этой точке.
Доказательство такое же, что и для дифференцирумых функций в классическом анализе. Предложение 1. Если функция f квазидифференцирума в точке x0, то не обязательно,
чтобы она была непрерывна в этой точке. Пример. Пусть задана функция:
f wj * - 0.
[ 3, x = 0.
Эта функция, не являясь непрерывной в точке x = 0, квазидифференцируема в этой точке, так как
lim t2 = Ax2, lim t2 = 0.
t^Ax t
Следовательно,
Ax2
f'(0)= lim — = 0.
y W Ax^ü Ax
Функция f не дифференцируема (в обычном смысле), так как
/;(0)= lim f (Ax)-f(0) = lim Axl—3 = -»,
Ax^0+ Ax Ax^0+ Ax
/'(0)= lim Af = lim = +да.
Ax^0- Ax Ax^0- Ax
Определение. Квазидифференциалом функции f в точке x0 (обозначение: d*f (x0)) называется произведение AAx из равенства (1):
d* f (x0) = d* y = AAx (2)
На основании теоремы 1 равенство (2) можно записать в виде:
d*y = d* f (x0 ) = AAx = f*'(x0 )Ax (3)
Так как dx = Ax, то равенство (3) можно переписать в виде:
d* y = f*'(x0 )dx (4)
Определение. Если функция f квазидифференцируема в каждой точке некоторого множества X, то она называется квазидифференцируемой на этом множестве.
Предложение 2. Если функция f квазидифференцируема в интервале (a, b), то её ква-зидифферинциал (4) и, следовательно, её квазипроизводная, сохраняют свои значения в этом интервале, когда её значения f (x) изменяют в конечном числе точек из этого интервала (a, b).
В самом деле, рассмотрев вместо функции f новую функцию F, значения которой отличаются от функции f (x) на конечном множестве точек {x1,x2,...,xn}= L из (a, b) , мы не изменим значений предельной функции lim f (t), с помощью которой определялась квази-
t^x
производная.
Определение. Квазидифференциалом 2-го порядка или вторым квазидифференциалом функции f в точке x называется квазидифференциал от первого квазидифференциала:
d* (d* y ) = d*2 y
Аналогично квазидифференциалом n -го порядка или n -ым квазидифференциалом функции f в точке x называется
d* (d*n-1 y )= d*ny
3. Связь квазипроизводной с производной
В пункте 2 был приведён пример, когда функция может иметь конечную квазипроизводную, но не имеет обычной производной. Приведём пример, когда функция имеет бесконечную производную определённого знака, но квазипроизводная не существует - ни конечная и ни бесконечная.
Пример. Пусть в интервале (- да, + да) задана функция:
f (x ) =
sgn x =
1, x > 0, 0, x = 0, -1, x < 0.
Эта функция имеет бесконечную производную знака плюс в точке x = 0, хотя не имеет квазипроизводной в этой точке, так как не существует конечного предела функции sgn x в этой точке, с помощью которого определяется квазипроизводная.
Теорема 2. Пусть функция f дифференцируема в (a, b). Тогда эта функция имеет конечную квазипроизводную в (a, b) .
Доказательство. Как известно, дифференцируемая в интервале (a, b) функция непрерывна в этом интервале. Следовательно, функция f имеет конечный предел в каждой точке интервала (a, b) . Поэтому lim f (t) = f (x) и её конечная производная f '(x) совпадает с конечной квазипроизводной f*'(x): f '(x) = f*(x) Vx e (a, b).
4. Односторонние квазипроизводные и их связь с односторонними производными
Определение. Пусть функция f определена в некоторой окрестности U (x0) точки x0
слева (справа) и существует слева (справа) в точке x0 конечные пределы: lim f (() = f (x0 -)[ lim f (() = f (x0 +) I. Тогда левой (правой) квазипроизводной в точке x0 называется конечный или бесконечный предел:
l™ = f-x{¿¡mJjZ- = /,+(*„),
x™0- A x a x J
lim
Ax™0- A x 4 u/1 ■Ax™0+ A x где A*y = lim f (t)- lim f (t), если Ax < 0:A*y = lim f (t)-lim f (t), если Ax > 0.
t™x0+Ax t™x0- t™x0+Ax t™x0+
Пример. f (t) = sgn x.
sgn*-(0) = 0, sgn*+(0)= 0
Однако sgn- 0 = sgn+ 0 = .
Из этого примера следует, что существуют односторонние квазипроизводные f*-(x0) и f*+ (x0) и они равны между собой.
Однако, как показано в п.3, функция sgn x не имеет квазипроизводной в точке x = 0. Следовательно, не выполняются, вообще говоря, равенства:
f-(x0 ) = f+(xb ) = f.fo) (5)
Известно, что для обычной производной всегда выполняются равенства, аналогичные равенствам (5): f-'(x0 ) = f+'(x0 ) = f ,(x0 ).
Итак, квазипроизводная обладает рядом отличительных свойств по сравнению с обычной производной. На основании теоремы 2 можно утверждать, что класс квазидифференцируе-мых функций (обозначение: C*(a, b)) шире класса дифференцируемых функций в интервале (a, b) (обозначение: C(a, b)): C'(a, b)oC*(a, b)).
5. Бесконечные производные
Теорема 3. Пусть функция f определена и имеет конечный предел в каждой точке
x e (a, b). Для того чтобы функция f имела в точке x0 e (a, b) бесконечную производную определённого знака, необходимо, чтобы эта функция имела в точке x0 бесконечную квазипроизводную определённого знака и тогда f*'(x0) = f' (x0).
Доказательство. Пусть для определённости f '(x0)=+да . Докажем, что функция f непрерывна в точке x0 .
По определению производной
f '(Х0) = lim f (x0 +Ax)- f (x0) = +да(дx = x-x0).
дх^0 a x
По лемме об устойчивости знака предела существует проколотая окрестность U (x0) точки x0 такая, что
f (x)~/(x°) > 0 vx е U (x0) (6)
Логически возможны следующие случаи: 1) lim f (x)< f (x0); lim f (x)> f (x0); 2) lim f (x)
x*x0- x*x0 + x* x0
не существует; 3) f (x0 ) = lim f (t).
t*x0
Рассмотрим случай 1). Так как по условию существует конечный предел функции f в точке x0 , то выполняются равенства:
f (x0 -) = f (x0 +) =lim f (x);
x*x0
на основании этих равенств не могут одновременно выполняться неравенства: f (x0 -) < f (x0) и f (x0 +) > f (x0). Следовательно, случай 1) не возможен.
Случай 2) также не возможен, так как он противоречит условию теоремы. Остаётся только случай 3): функция f непрерывна в точке x0. Тогда
„( ) liinf(t)-f(x0)
f:(xo )=Aim0 J*^--.
A x*0 A x
На основании неравенства (6) этот предел равен + да : f*'(x0 ) = +да. Аналогично доказывается теорема и тогда, когда f*'(x0) = -да . Теорема доказана.
Предложение 3. Пусть функция f определена и имеет конечный предел в каждой точке x0 е (a, b). Если функция f имеет в точке x0 е (a, b) беззначную бесконечную производную, то необязательно она имеет такую же квазипроизводную в этой точке. Пример. Пусть функция f задана формулами:
f (x) = {f "
[ 5, x = 0.
Эта функция в точке x = 0 имеет беззначную бесконечную производную: f*'(0)= да. Однако квазипроизводная в этой точке равна + да : f*'(0) = +да .
6. Другое обобщение понятия производной
Определение. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0. Тогда
назовём псевдопроизводной функции f в точке x0 (обозначение: f/(x0)) общее значение односторонних квазипроизводн^1х f*'-(x0) и f*+(x0):
fix ) = f*'-(x0 ) = A(x0)
Псевдопроизводная f'e(x) не всегда совпадает с квазипроизводной f*'(x) и, тем более, с обычной производной.
Пример. Пусть f (х)= sgn х, х е(-о, + о). Очевидно, fe'(0) = 0, так как /*-(о) = f*+(o) = 0. Квазипроизводная f*'(ü) не существует, а обычная производная
f ' (о) = +00.
Пример. Пусть f (х) = VX, х е(-о, + о). Нетрудно показать, что
/(о) = f'(0) = f*'(o) = +о .
Пример. Пусть функция задана формулами:
/ ч isin х, х Ф 0,
f (х) = 1 1 0'
[ 1, х = 0.
Тогда: f/(0) = 1, f*(0) = 1, f'(0)=о .
Пример. Пусть f (х) = ^х2, х е (- о, + о). Тогда: f*'(0) = о, f '(0) = 0, fe'(0) не существует.
Приведённые примеры показывают, что понятие производной, введённой выше, т.е. псевдопроизводной, более общо в одних случаях, а в других- более узкое, чем другие понятия производной.
Предложение 4. Если функция f дифференцируема в интервале (a, b) , то она имеет конечную псевдопроизводную в этом интервале.
Доказательство основано на определениях производных.
Предложение 5. Пусть функция f определена в интервале (a, b) и имеет конечный предел в каждой точке х е (a, b) и в точке х0 е (a, b) достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Тогда если в точке х0 существует конечная или бесконечная определённого знака псевдопроизводная f'(х0), то она необязательно в этой точке обращается в нуль. Пример. Пусть функция f задана формулами:
' х3
f (х нт
16, х = 2.
В точке х = 2 эта функция достигает своего наибольшего значения. Однако fe'(2) = 4 Ф 0.
Можно показать, что с помощью псевдопроизводной не достаточно хорошо характеризуется поведение функции.
7. Предельная функция lim f (t) = ф(х)
г^х
Теоремы типа Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши
Приведённое в конце п.6 замечание пр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.