Керимов И.А., доктор физико-математических наук, профессор, ректор
Яндаров В. О., кандидат физико-математических наук, профессор, проректор по научной работе (Грозненский государственный нефтяной институт им. академика Мил-лионщикова)
ЭЛЕМЕНТЫ НАЧАЛА АНАЛИЗА
В данной работе концепция предела превалирует над другими основными понятиями анализа. Доказываются основные теоремы классического анализа, связанные с концепцией предела.
Как нам кажется, некоторое повышение статуса предела обогащает математический анализ, расширяет область его приложимости и имеет методические преимущества.
Под пределом функции f, заданной в некоторой, проколотой или нет, окрестности
U (x0) точки x0, понимается обычный предел (в обычном понимании в курсе математического анализа): lim f (t).
t ^ x0
Очевидно, если точку x0 считать переменной величиной в некоторой области, то
lim f (x) становится функцией точки x0 и, следовательно, приобретает смысл рассмотрение
x ^ x0
предела (повторного): lim lim f (x).
x0 ^t x^x0
Под функциями f понимаются функции, заданные на числовых множествах из R со значениями в числовых множествах из R : f : R ^ R .
Правосторонний (левосторонний) предел функции f в точке x0 обозначается символом f ( +)(( -)).
Вспомогательную роль играет лемма Бореля Э. [1]: Если отрезок [а,b] покрывается бесконечной системой Z = {а} открытых промежутков а, то из нее всегда можно выделить конечную подсистему Z* = {а1,а2,...,ап}, которая также покрывает весь промежуток [а, b]. Доказательство этой леммы мы не приводим, так как оно имеется в учебных пособиях и учебниках (см., например, [1,2]).
Отметим, что если рассматривается промежуток с концами а и b, то а и b считаются действительными числами. Например, [а, b] (а, b) - конечные промежутки. Таким образом, по условию, концы промежутка, если не оговорено противное, считаются действительными числами. Кроме того, левый конец промежутка всегда меньше правого его конца и тем самым исключатся из рассмотрения вырожденные промежутки.
Изложим некоторые утверждения и доказательства их с использованием методических новшеств.
Лемма. Пусть функция f имеет конечный предел Ф^) = lim f (t) в каждой точке x
t ^ x
некоторого промежутка I.
Тогда функция Ф^) непрерывна в этом промежутке.
Естественные и технические науки, № 5, 2007
Доказательство. Пусть х0 - произвольная точка промежутка I. Так как в точке х0 е I существует конечный предел, то У^ > 0 существует проколотая окрестность и(х0)
точки х0 такая, что
\/(х)-Ф(х Ух е и(х)П I (1)
Так как функция / имеет конечный предел в каждой точке х е I, то для любого
^ е I(( Ф х) и ^ е и(х0) существует предел этой функции. Следовательно, переходя к пределу в неравенстве (1), получим неравенство:
lim f (()-Ф(*о)
<е.
Отсюда получаем:
limn limf (t)=ф(хо). (2)
xm х0 t m х
Так как lim f (t)= Ф(х), то из равенства (2) следует, что lim ф(х) = ф(х0). Это равенство
t m х хт х0
равносильно непрерывности функции ф(х) = lim f (t) в точке х0, а так как х0- произвольная
t m х
точка из I, то тем самым доказана непрерывность функции ф(х) в любой точке из I. Лемма доказана.
Замечание. Из непрерывности функции limf(t)= ф(х) в I еще не следует непре-
t m х
рывность функции f (х) в I .
Пример. Пусть функция f задана формулами:
sin х
f (х ) =
х * 0,
х
3, х = 0.
Эта функция не является непрерывной в точке х = 0, хотя lim f (() = ф(х) непрерывна
t ^ х
всюду в R . Например, в точке х = 0 имеем: Ф(о) = 1.
Теорема 1. (Больцано-Коши). Пусть функция f на [а,b] и имеет в каждой точке х е [а, b] конечный или определенного знака предел Ф(х) = lim f (t), причем f (а +)f (b -) < 0.
t ^ х
Тогда существует хотя бы одна точка х0 е (а,b) такая, что Ф(х0) = 0, т.е. lim f (х) = 0 .
х0
Доказательство. Предположим, что такой точки х0 не существует. Для определенности предположим, что f (а +) < 0 и f (b -) > 0.
Так как в каждой точке х0 е (а, b) определена функция ф(х) = lim f ((), то в некоторой ок-
t ^ х
рестности точки х0 е (а, b) функция Ф сохраняет знак.
Покрыв весь отрезок [а, b] системой окрестностей, извлечем на основании леммы Бореля конечную систему таких окрестностей Z, покрывающих этот отрезок. Естественно, эти окрестности будут иметь непустые пересечения: для любых двух точек х1, х2 е [а, b] существуют окрестности U(х1), U(х2)е£ такие, что U(х1)IU(х2. Рассмотрим систему окрестностей Z слева-направо. В окрестности U (а +), пересекающейся с [а, b], охраняется знак минус: Ф(х) < 0Ух е U(а +)П [а, b]. Тогда в следующей окрестности, имеющей непустое пересечение с U(а +), сохраняется тот же знак: Ф(х)< 0. Продолжая такое рассмотрение далее, приходим к тому, что для всех точек х е [а, b] П U (b ) Ф(х) < 0 . Это противоречит тому, что
Ф^ -) = f (b -)> 0, так как из последнего неравенства следует существование окрестности U1(b) такой, что Vx е U1 (b)П [a, b] выполняются неравенства: ф(х)> 0. Таким образом, получается противоречивая ситуация, когда в одних и тех же точках х е U (b )n U (b) функция Ф имеет разные знаки. Следовательно, предположение о том, что lim f (t) = ф(х) не обраща-
t ^ х
ется в нуль в [a, b], не верно. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. (Больцано-Коши). Пусть функция f определена на [a,b] и существует предел lim(() = Ф(х) в каждой точке х е [a, b], равный числу или бесконечности определен-
t ^ х
ного знака. Тогда какового бы ни было число c, заключенное между f (a +) и
f (b -)(/ (a +) < f (b -)) существует точка х0 е [a, b] такая, что Ф(х0) = lim f (t) = c .
t ^ х0
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F (х) = f (х)- c . Очевидно, функция limF(t) = F1 (х) определена в каждой точке х е [a, b] и F1(a +) = f (a +)- c < 0
t ^ х
и F1(b -) = f (b -)- c > 0. Тогда по предыдущей теореме 1 существует точка х0 е (a, b) такая, что F1 (х0) = lim F(t) = 0 . Это равносильно тому, что lim f (t) = c .
t ^х0 t ^ х0
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. (Вейерштрасс). Пусть функция f определена на отрезке [a,b] и в каждой точке х е [a, b] существует конечный предел lim f (t) = ф(х). Тогда функция f ограни-
t ^ х
чена: 3M > 0 такое, что |f (х) < MVx е [a, b].
Доказательство. Предположим, что f (х) не ограничена. Это значит, что существует последовательность {хп [a, b], которая сходится к х0 е [a, b] и для которой выполняется неравенство
f (х„ )> n (3)
По условию функция f имеет конечный предел в точке х0, но из неравенства (3) следует, что limf (хп) = . Поэтому предложение о том, что функция f не ограничена, не верно.
Теорема доказана.
Теорема 4. (Вейерштрасс). Пусть функция f определена на
[a, b] и имеет конечный
предел lim f (t) = ф(х) в каждой точке х е [a, b]. Тогда существуют точки х1 и х2 из [a, b] та-
t ^ х
кие, что
Ф(х1 ) = limf(t)= supФ(х); Ф(х2) = infФ(х).
^х1 [a,b ] [a,b]
Доказательство. Так как функция f ограничена на
[a, b] по теореме 3, то
M = sup Ф(х) - число. Предположим, что Ф(х) < M . Тогда функция
М
(Р(х)= . Ф( ), (4)
M -Ф(х)
по теореме 3 также является ограниченной на [a, b]: 3M1 > 0 такое, что (р(х)< M1. Тогда из (4) следует, что
Ф(х )< M —— .
V У M1
Это неравенство противоречит определению точной верхней грани- наименьшей верхней грани, не меньшей любого значения функции Ф на
[a, b]. Следовательно, существует точка
х1 е [a, b] такая, что sup Ф(х)=ф(х1). Аналогично доказывается, что ф(х2 ) = inf ф(х), где
[a,b] М
х2 е [a, b]. Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть функция f определена на [a, b] и имеет конечный предел ф(х) = lim f (t) в каждой точке х е [a, b]. Тогда ф(х) равномерно непрерывна на [a, b].
t ^ х
Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда существуют s > 0 и две последовательности {хп} и {yn} значений аргумента х е [a, b], сходящиеся к некоторой точке
х0 е [a, b] и такие, что
Ф(х„ )-Ф(уп )>s.
Переходя к пределу в последнем неравенстве (при n ^ да ) и применяя лемму, получим: ф(х0)- ф(х0) > s. Такого неравенства не может быть. Следовательно, предположение о том, что функция Ф не является равномерно непрерывной на [a, b], не верно. Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть функция f определена в некоторой проколотой окрестности 00 U(х0) точки х0 и существует конечный предел Ф(х) = lim f (t) в каждой точке х е U(х0). То-
t ^ х
гда для того чтобы Ф(х0) = да - беззначная бесконечность, необходимо и достаточно, чтобы существовали противоположных знаков односторонние бесконечные пределы Ф(х0 ±) = lim lim f (t): Ф(х0 -) = -да(+ да), Ф(х0 +) = +да(- да).
х^х0 ± t^х
Доказательство. Необходимость.
Так как Ф(х0 )= да , то для любого N > 0 существует проколотая окрестность U(х0) точки х0 такая, что |ф(х)> NVx е U(х0). В пределах окрестности U(х0) точки х0, слева от нее, функция Ф сохраняет знак, так как в противном случае между двумя значениями Ф(х1) и
Ф(х2) функции Ф в точках х1,х2 е U(х0), имеющими противоположные знаки, по теореме 1
существует точка х' , заключенная между х1 и х2 и такая, что Ф(х') = 0. Это неравенство
0
противоречит неравенству |ф(х) > NVх е U(х0).
Аналогично доказывается, что и справа от точки х0 в пределах окрестности U (х0) функция Ф сохраняет знак.
Левый и правый пределы Ф(х0 -) и Ф(х0 +) удовлетворяют неравенству:
Ф(х0 -)ф(х0 +)< 0. Если бы это было не так, то Ф(х0 )= lim f (t) было равно бесконечности
t ^ х0
определенного знака, но это противоречит условию данного утверждения: Ф(х0 )=да (да -
беззначная бесконечность).
Достаточность очевидна. Теорема доказана.
Теорема 7. Пусть функция f определена и монотонна (строго монотонна) в интервале (a, b). Для того чтобы функция f была непрерывна в (a, b), необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела конечный предел в каждой х е (a, b). Доказательство. Необходимость очевидна.
Достаточность. Предположим, что функция f разрывна в точке х0. Тогда в силу
предположения выполняется неравенство: lim f (tf (х0). Тогда возможен один из сле-
t ^ х0
дующих случаев : 1) lim f (t)< f (х0); 2) lim f (t)> f (х0). Ни один из этих двух случаев не
t ^ х0 t ^ х0
может иметь места, если функция f монотонна в (а, b). В самом деле, если для определенности рассмотреть случай 1), то по известной теоре
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.