МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2009, том 38, № 2, с. 107-121
ДИНАМИКА ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ОБОРУДОВАНИЯ
УДК 621.382
ЭМИССИОННАЯ ТОМОГРАФИЯ ПЛАЗМЫ В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РЕАКТОРАХ МИКРОЭЛЕКТРОНИКИ
© 2009 г. А. В. Фадеев, К. В. Руденко, В. Ф. Лукичев, А. А. Орликовский
Физико-технологический институт Российской АН AlexVFadeev@gmail.com Поступила в редакцию 16.07.2008 г.
Оптическая эмиссионная томография - перспективный метод для анализа латерального распределения плотности частиц в плазме плазмохимических реакторов, которое является весьма критичным в технологических процессах микроэлектроники на пластинах большого диаметра. В настоящей работе предложен алгоритм томографической реконструкции 2,0-распределения компонентов плазмы в сечении реактора по их спектрально разрешенной оптической эмиссии при предельно малом числе углов съемки. Геометрия сбора томографических данных была выбрана так, чтобы быть совместимой с существующими промышленными типами плазменных реакторов. Алгоритм опробован на искусственно созданных фантомах, в физическом модельном эксперименте и применен к реальному плазмохимическому реактору.
PACS 52.70.-m
ВВЕДЕНИЕ
При создании интегральных схем, базирующихся на 150-300 мм пластинах, важную роль играет однородность латерального распределения плотности частиц в плазме вблизи поверхности пластины, что определяет однородность скоростей анизотропных реакций по площади пластины. Исследование пространственного распределения плотности заряженных частиц в плазме (ионы и электроны) в коммерческих типах плазменных реакторов осуществляется хорошо известными зондовыми методами [1]. В тоже время, задача изучения пространственного распределения незаряженных химически активных радикалов решалась только в лабораторных условиях методом лазерно-индуцированной флюоресценции (LIF) со специальной геометрией возбуждающего луча [2, 3]. Постановка таких экспериментов достаточно трудоемка и, по геометрическим соображениям, трудно реализуема на современных промышленных плазменных реакторах с источниками низкого давления плотной плазмы (HDP).
Альтернативой является метод оптической эмиссионной томографии плазмы [4, 5], который, в случае применения спектрального разрешения, позволяет определить пространственное распределение частиц определенного типа. Метод основан на вычислении пространственного распределения источников излучения по суммарной интенсивности излучения вдоль конечного числа лучей (лучевым суммам) и точек зрения (ракурсах), из которых про-
изводится измерение узконаправленными сканирующими датчиками. Математические методы реконструктивной томографии хорошо отработаны на большом числе ракурсов [4-7]. С практической точки зрения это применимо, если стенки реактора (источника плазмы) оптически прозрачны, например, при использовании в реакторах на геликонных волнах типа [8-9]. В подавляющем большинстве случаев число доступных оптических портов (окон) в промышленных и лабораторных плазменных реакторах ограничено двумя. Непрерывный диапазон ракурсных углов не реализуем, а небольшая апертура требует использования веерной схемы сканирования [4]. Восстановление при двухракурсной схеме сканирования известными томографическими алгоритмами вызывает появление значительных артефактов реконструкции [7]. В связи с этим проблема получения наилучшего результата при значительном недостатке объема данных в обратных задачах реконструкции актуальна и в настоящее время [10-13].
Наилучшим образом для случая малоракурсной томографии зарекомендовали себя реконструктивные методы максимума энтропии [7, 10, 11] и максимума апостериори [12]. Данные методы дают удовлетворительный результат восстановления при трех и более ракурсах. Предприняты успешные попытки восстановления простых томографических фантомов для случая двух ракурсов в параллельной геометрии сканирования датчиков [10-12], однако в [10] было показано значительное ухудшение ре-
зультатов восстановления, если схема сканирования является двухракурсной.
В настоящей работе предлагается алгоритм восстановления двухмерного распределения частиц в плазме с использованием двухракурсной веерной схемы сканирования, включающий физически обоснованную априорную модель плазменных неоднородностей в зоне нахождения обрабатываемой пластины.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ ДВУХ РАКУРСОВ
Задано двумерное распределение интенсивности источников излучения (/ в некоторой области (5), которую необходимо восстановить. Исходные данные - набор лучевых сумм (р) вдоль различных линий зрения (Ь), пересекающих область 5, - определяется линейным интегралом:
Р = J f (У) dz.
(1)
Задача отыскания /(х, у) по значениям р, вдоль множества прямых Ц в общем виде была решена
И. Радоном [4]:
f (г,ф) = [ R 1 p ](г,ф) = -Ц JJ
p'i( l,9)
2n2JJ rcos(9 - ф) -1
dld9,
(2)
где (г, ф)- полярные координаты вычисляемого элемента изображения, р\ (I, 6) - частная производная от р(1, 6) по I (удаление прямой Ц от начала координат, определяемое полярным углом 6).
Обратное преобразование Радона (2), основанное на данных, полученных в непрерывном диапазоне углов ракурсов [0, п], дает однозначную связь между лучевыми суммами р, и интенсивностью излучения / в точке (х, у). Если же оно опирается на конечное множество данных, то, как и в
любой обратной задаче, можно получить очень неточные результаты реконструкции [14]. Такая ошибка реконструкции связана с тем, что в дискретной постановке, задача восстановления (2) не имеет единственного решения.
Известно [6], что обратное преобразование Радона (2) в полярных координатах можно выполнить при помощи четырех последовательных операций:
R 1 = --1 BH, D,,
2п 1 1
(3)
где
[ Di p ](l,9) = lim
Al ^ 0
p ( l + А, 9) - p ( l, 9 ) Al
- оператор вычисления частной производной по первой переменной от функции лучевых сумм p,
L
0
[H1 q](l', 9) = -П J dl
ЭМИССИОННАЯ ТОМОГРАФИЯ ПЛАЗМЫ - преобразование Гильберта по первой переменной,
[Bt](r, ф) = J t(rcos(9 - ф), 0)d9
- оператор обратного проецирования,
Широко известные методы восстановления [4-7], такие как метод обратного проецирования, метод фильтрованных обратных проекций, сверточный алгоритм и метод Фурье синтеза основаны на альтернативной записи одного из перечисленных операторов. Детальные исследования [5] в области малоракурсной томографии плазмы показали, что применение таких алгоритмов для плазменных неоднородности дает удовлетворительный результаты при 10 и более ракурсах. При меньшем числе ракурсных углов результат реконструкции содержит
где А - площадь области S в которой fx, у) отлична от нуля, при условии выполнения ограничения (1).
где P(f/p) - условная вероятность распределения источников интенсивности излучения при выполнения ограничения (1), Pf) - вероятность искомого распределение источников интенсивности излучения, P(p/f - условная вероятность того, что лучевые
где 1п P (f) ~ ^^ 1п fj, P(p/f одно из стандартных распределений - Гаусса или Пуассона.
В случае достаточно простого томографического фантома, аналогичного рассмотренному в [12], метод максимума энтропии дает удовлетворительный результат даже в двухракурсной веерной схеме сканирования при использовании всего двух итераций (рис. 2)
Однако при использовании более сложной геометрии восстанавливаемого фантома и его особой ориентации по отношению к углам сканирования
многочисленные артефакты, амплитуда которых растет с уменьшением числа ракурсов. На рис. 1 показан томографический фантом плазменной неоднородности, представленный гладкой функцией (Гауссов пик), а также результат его восстановления сверточным алгоритмом для случая двух ракурсов в веерной схеме сканирования.
Развившийся позднее метод максимума энтропии (ME - maximum entropy) [5], который обладает преимуществом перед описанными выше методами в случае малого числа точек наблюдения, основан на минимизации функционала
(4)
Близкий к нему метод максимума апостериори (MAP - A maximum a posteriori) [16] основан на теореме Байеса, согласно которой
(5)
суммы искомого распределения отличаются от исходных.
В результате, fx, y) в методе MAP определяется из выражения
(6)
результат восстановления может сильно отличаться от исходного распределения (рис. 3.)
Предлагаемый нами подход основан на использовании физической модели плазменных неоднородности в сечении реактора. Для реакторов HDP типа характерно отсутствие сильных электромагнитных полей в зоне обработки пластины. Поэтому в плазме разряда пониженного давления двумерное распределение незаряженных частиц (свободных радикалов) должно ограничиваться диффузией, и, следовательно, с большой степенью вероятности может быть описано Гауссовым профилем
W = -JJdxdyf (x, y)ln [ f (x, y)■ A],
D
P(fp) ~ Pf) ■ P(p/f),
f = max{ ln P (f) + ln P (p / f)},
f
Рис. 1. Томографический фантом, состоящий из единичного Гауссова пика (а), и результат его реконструкции методом свертки (б).
х, у, Хр, Ур, Ар, ар) = Ар • ехр
(Х - Хр ) + (у - у„)
(7)
или в виде е/с-функции
30 25
20 -
и о
е 15
о
10 -
5
30 25 20 15 10
10 15 20 X, отн. ед.
25 30 0
10 15 20 25 X, отн. ед.
Рис. 2. Томографический фантом, состоящий из трех Гауссовых пиков (а), и результат его реконструкции методом максимума энтропии (б).
30
25
20
д е
тн. 15 о
10
30
25
20
15
10
10 15 20 X, отн. ед.
30 0
10 15 20 X, отн. ед.
Рис. 3. Томографический фантом, состоящий из двух Гауссовых пиков (а), и результат его реконструкции методом максимума энтропии (б).
5
0
5
5
5
0
^2 (Х у> Хр> Уp, Ap, ар) = Ар
1 - ег/
х - Хр) 2 + (у - ур)2Л
(8)
где Ар - амплитуда интенсивности, (хр, ур) - положе- Распределение заряженных частиц в централь-ние максимума, а ар - ширина пика. ных областях реактора может быть представлено
параболической зависимостью - аналогично расте- канию заряженных частиц в плазменном шнуре:
Ръ(х, у, хр, у., Ар, ар) = А
1 ( х - хр ) + (у - у . )
где
7(х - Хр)2 + (у - у.)
< ар.
В пристеночной области, где сильны процессы амбиполярной диффузии заряженных частиц, неоднородности могут быть аппроксимированы функцией Бесселя 0-го по
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.