Нурмухамедов А.М., кандидат физико-математических наук (Национальный университет им. М. Улугбека, Научно-исследовательский институт прикладной физики, Узбекистан)
ЭМПИРИЧЕСКИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ МАССОВОЙ ФОРМУЛЫ ВИГНЕРА В РАМКАХ СПИН-ИЗОСПИНОВОЙ SU(4) -СИММЕТРИИ
Анализируется проблема реализации вигнеровской спин-изоспиновой 8и(4)-симметрии в атомных ядрах на основе экспериментальных данных масс нуклидов в диапазоне нечетных массовых чисел 1<А<257. Получены эмпирические выражения для универсальных функций массовой формулы Вигнера.
Массовая формула Вигнера [1-3] с оператором Казимира второго порядка имеет вид:
Mnucl (A, Tz) = a( A) + b( A)C 2 + ECoul (A, Z) + Es¡ (Z, N) + Epair (Z, N) (1),
где a(A) и b(A)- эмпирические универсальные функции Вигнера, C2- оператор Казимира, ECoul (A, Z) - кулоновская энергия ядра, Esl (Z, N) - энергия спин-орбитального взаимодействия, Epair (Z, N) - парная энергия (для ядер с четным массовым числом). Последние три члена
в (1) являются нарушающими вигнеровскую симметрию факторами. В случае точного выполнения вигнеровской симметрии, универсальные функции a(A) и b(A) зависят только от массового числа и едины для всех ядер изобары A.
Проведенный нами анализ работ Ю.В.Гапонова и др. привел нас к иному решению задачи, чем в [4-7]. Во-первых, для анализа необходимо воспользоваться массовой формулой Вигнера (1) только с оператором Казимира второго порядка C2 без высших операторов Казимира C3 и C4, т.к. их вклады в массу ядра экспериментально не обнаружены [8, 9]. Во-вторых, анализ необходимо провести только для нуклидов с нечетным массовым числом, для которых Epair (Z, N) = 0, по определению. В-третьих, выражение (1) справедливо для массы
ядра, тогда как в таблицах для масс [10] приводится масса (точнее, избыток массы) нейтрального атома. Поэтому при анализе необходимо пересчитать избыток массы нейтрального атома в избыток массы ядра.
Из выражения (1) можно получить следующую формулу для b(A) в предположении, что вигнеровская симметрия реализуется и a(A) едина для изобары А:
b(A) = [AnuCl(A,Tz)-Ашс1 (A,Tz -1) + AE^i(A,Z)]/(Tz +1.5) (2),
где AE (A, Z) = 703.2(2 Z + 1) A -1/3(1 - 1.28 A ~2/3) ± 4.5 (кэВ) (3)
- разность кулоновской энергии [2], A nucl (A, Z)- избыток массы ядра. В формуле (2) не
учитывается разность энергии спин-орбитального взаимодействия.
Основываясь на выражении (2) и пересчитанных значениях избытка масс нуклидов нами рассчитаны экспериментальные значения универсальной функции b(A) в диапазоне массовых чисел 1<А<257 для ядер с нечетным А. На рис. 1 приведена зависимость b(A) от числа нейтронов для изобар А= 31 и 37 (точки), которая характерна для многих изобар.
А-31 А=37
Рис. 1. Зависимость экспериментальных значений Ь(А) от N для А = 31,37
Как видно из рис. 1, Ь(А) нуклидов с изоспином основного состояния Т2 > 5/2 почти постоянны, хотя имеется некоторый разброс, превышающий одну стандартную погрешность. Численные значения Ь(А) таких нуклидов можно «выделить» как опорные для эмпирического описания. Наблюдающийся разброс можно рассматривать как влияние не учтенного в (2) разности энергии спин-орбитального взаимодействия.
На рис. 2 приводится зависимость Ь(А) для «выделенных» нуклидов от массового числа А. Экспериментальным значениям Ь( А) соответствуют точки на рисунке.
Ь(А). кеУ
\
Л
\ \
\ ч 1
\»
х
3
1
_2
Рис. 2. Зависимость экспериментальных значений Ь(А) для «выделенных» нуклидов от А
Проведенный нами анализ с применением метода наименьших квадратов, позволяет описать экспериментальные значения Ь(А), функцией вида:
Ь(А) = Ь, ехр( Ь2А) + Ь3 ехр( Ь4А){1 - ехр[ -(Т2 - 0.5) / 0.5]} (4).
Численные значения коэффициентов следующие: Ь, = 1522(47)кэВ, Ь2 =-0.0029(1), Ь3 = 4123(200) кэВ и Ь4 = -0.0238(8). На рис. 2 линии 1 соответствует расчету по формуле Ь(А)А>215 = Ь1 ехр(Ь2А), линии 2 - Ь(А)-Ь(А)А>215 = Ь3 ехр(Ь4А) и линии 3 функция Ь ( А ) = Ь1 ехр( Ь2 А ) + Ь3 ехр( Ь4 А ) . На рис. 1 сравниваются экспериментальные значения Ь(А) (точки) и расчет (линия), вычисленные по формуле (4) для изобар А= 31 и 37 от числа нейтронов.
Экспериментальные значения универсальной функции а(А) можно вычислить по выражению :
а(А) = Аи + Апис1 (А, Т2) - Ь(А)С2 - ЕСои1 (А, 7) (5),
где и - относительная изотопная единица массы. Кулоновская энергия равна
ЕСои1 (А, 7) = 703 .2 7 2 А -1/3 (1 - 1.28 А ~2/3) кэВ (6).
В (5) оператор Казимира С2 = 0.5(77? + 4Т7 + 3/2) т.к. рассматриваются ядра с нечетными массовыми числами.
Зависимость экспериментальных значений а (А)/ А от массового числа А, для ранее «выделенных» нуклидов, приведена на рис. 3.
а(А)/А. кеУ
936000 934000 932000 930000 920000
926000
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 А
Рис. 3. Зависимость а(А)/ А для «выделенных» нуклидов от массового числа А
Всю совокупность экспериментальных значений а (А) / А для «выделенных» нуклидов можно описать следующей эмпирической формулой:
а(А)/ А = а1 ехр(а2А) + а3 ехр(а4А) + а5 ехр(а6А) + а7 ехр(а8 А){1 - ехр[-(Т7 - 0.5)/ 0.5]} (7).
Сплошная кривая на рис. 3 соответствует расчету по формуле (7). Численные значения коэффициентов в (7), вычисленные методом наименьших квадратов, следующие: aj = 927368 (11)кэВ/нуклон, a2 = 5.11 (5) 10"6, a3 = 2147(92) кэВ/нуклон, a4 =-0,0214(5), a5 = 1995(78) кэВ/нуклон, a6 =-0.048(1), a7 = 7713(707) кэВ/нуклон и a8 =-0.22(2).
Таким образом, при допущенных нами упрощающих анализ предположениях удается аналитически описать эмпирические универсальные функции Вигнера a(A) и b(A), которые могу быть вычислены выражениями (7) и (4) соответственно.
Согласно Вигнеру, универсальность функций a( A) и b(A) выражается в их зависимости только от массового числа. В рамках полученных нами результатов можно утверждать, что основная часть массы любого ядра определяется вигнеровскими функциями a(A) и b(A) . В рамках такого подхода, к факторам, нарушающим вигнеровскую спин-изоспиновую симметрию, наряду с кулоновским взаимодействием, нужно отнести такие факторы, как спин-орбитальное и парное взаимодействия в ядре.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wigner E.P. Phis. Rev., 51, 106 (1937).
2. E.P. Wigner E., E. Feenberg. Rep. Prog. in Phis.,Phis. Soc. London, 8, 274 (1941).
3. WignerE.P. Phis. Rev., 51, 947 (1937).
4. Гапонов Ю.В. Физика атомного ядра, материалы XVIII зимней школы ЛИЯФ, Ленинград (1983). - С. 43.
5. Gaponov Yu.V., ShulginaN.B., VladimirovD.M., Nucl. Phis., A391, 93 (1982).
6. Гапонов Ю.В., Григорьян Ю.И., Лютостанский Ю.С. Ядерная физика, 31(1), 65 (1980).
7. Гапонов Ю.В., Шульгина Н.Б., Владимиров Д.М. Письма в ЖЭТФ, 34(5), 300 (1981).
8. HagbergE., HansenP.G., Hardy J.C. e.a. Phis.Rev.Lett., 39, 792 (1977).
9. Moltz D.M., Aysto J., M.D. Cable e.a., Phis.Rev.Lett., 42, 43 (1979).
10. Audi G., Wapstra A.H. and C.Thibault. Nucl. Phys. A 729, 337 (2003).
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.