ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 412, № 4, с. 476-479
ФИЗИКА
УДК 536
ЭНТРОПИЯ РЕНЬИ И СТЕПЕННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ЕСТЕСТВЕННЫХ И ГУМАНИТАРНЫХ НАУКАХ © 2007 г. А. Г. Башкиров, А. В. Витязев
Представлено академиком В.В. Адушкиным 04.05.2006 г. Поступило 10.05.2006 г.
Традиционная статистическая термодинамика Больцмана-Гиббса не позволяет получать степенные распределения, характеризующие [1] сложные самоорганизующиеся системы (ССС). Здесь предлагается использовать более общий подход с привлечением энтропии Реньи, позволяющий дать адекватное описание ССС.
Степенные распределения (СР) наблюдаются в различных областях естественных наук, в социальной и экономической деятельности человечества [2] и известны как закон Ципфа в лингвистике, закон Парето в экономике и в наукознании, закон Гутенберга-Рихтера в геофизике, СР в критических явлениях, для интенсивностей лавин в гранулированной среде, масс осколков при ударной фрагментации, энергетического спектра частиц в атмосферных каскадах космических лучей, СР пользователей сайтов Интернета и т.д. С другой стороны, максимальность энтропии Гиббса-Шеннона
S(G\p) = -^Р, In Pi
обеспечивается каноническим распределением Гиббса
(G) ry-1 -Ро Hi
Pi = Zje
Н = IHt - гамильтониан системы, в0 =
квТ о
Т0 - температура, kB - постоянная Больцмана
однако оно не совместимо с СР.
Таким образом, СР, столь характерные для ССС, оказываются вне рамок принципа максимальности энтропии (ПМЭ) Гиббса-Шеннона [3], на котором основывается вся современная как
Институт динамики геосфер Российской Академии наук, Москва
равновесная, так и неравновесная статистическая термодинамика (см., например, [4]).
Для описания ССС может оказаться плодотворным введение понятия энтростата (энтропийного термостата, entropy bath). Тогда в случае неравновероятного распределения системы по W микросостояниям приходится отказаться от приводящего к энтропии Гиббса-Шеннона простого
усреднения энтропии Больцмана S(B = - kBlnp,. Вместо него предлагается [5] кумулянтное усреднение энтропии Больцмана в такой же форме, которая обеспечивает вывод свободной энергии Гельмгольца системы в термостате как куму-лянтного среднего гамильтониана системы. Такая форма усреднения приводит к энтропии Реньи и позволяет расчитывать, что именно она будет обладать экстремальными свойствами в равновесном (стационарном) состоянии сложной системы.
Энтропия Реньи имеет вид
s(:\P )=r^in I pq
(i)
где q е [0, 1] - параметр Реньи. В пределе q ^ 1 она переходит в энтропию Гиббса-Шеннона.
Если в ПМЭ вместо энтропии Гиббса-Шеннона подставить энтропию Реньи, то равновесное распределение следует искать из экстремума функционала
Lr (p) = Т-ЬЫ I p - aI pi - el Hpi, (2) 1 Q
где а и в - множители Лагранжа. Приравняв нулю функциональную производную ЬК(р), находим [6-8] распределение Реньи
Р. = = -Ы'- в ^ Н * (3)
Q
ш
^ Т = к 1-в
- 1
А И
1
д-т
(4)
Когда д ^ 1, то {р(Я) } ^ {рГ } и в ^ во =
(о)
1
квТ о
Для определения явного вида в необходимо решить интегральное уравнение для в
ш
и = к Ир(Я),
в котором и считается заданной известной величиной.
Это уравнение было решено [8] для частного случая степенной зависимости гамильтониана от переменной системы х типа модели идеального
газа И\ = Схгк. Более того, во многих социальных, биологических и гуманитарных науках переменная системы х может рассматриваться (с к = 1) как своего рода гамильтониан (например, численность населения страны, усилие по произношению и пониманию слова, банковский капитал, число научных публикаций автора, размер животного и т.д.).
Из условия сходимости суммы в этом интегральном уравнении получено [8] неравенство д >
11
> дтщ = -, а параметр в найден в виде в = —тт.
1 + к к и
Независимость этого выражения от д означает,
что оно справедливо, в частности и при д = 1, ко-
гда {р(Я)} ^ {р\и>}. Следовательно, в = в0 =
„( о)
1
квТ о
для всех д.
Различие между термостатистиками Реньи и Гиббса определяется параметром п = 1 - д, который можно рассматривать как своего рода параметр порядка (0 < п < Пг^ Птах = 1 - д,тп).
Тогда термодинамическая энтропия Реньи имеет вид
Б(Я) = ^й)(р(й)) = кв 1п Определим физическую температуру как
Т = 1 п
дБ
( я\-1
ди
--к-в-в--
1-п
(5)
Поскольку, по крайней мере для степенного гамильтониана, параметр Лагранжа в = не за-
квТ
висит от п, то физическая температура принимает вид Тп = (1 - п)То.
Сам факт уменьшения физической температуры при увеличении п, согласно классификации
Климонтовича [9], говорит о росте упорядоченности системы с ростом п.
Свободная энергия Гельмгольца в термостатистике Реньи определяется как ЁЯ) = - квТп1п^. С другой стороны, термодинамическое определение свободной энергии имеет вид Ё = и - Тп (Я). Нетрудно убедиться в том, что оба определения совпадают в пределе п ^ 0. Для произвольных п их эквивалентность нетрудно проверить для частного случая степенного гамильтониана. С помощью соотношения в = получаем Ё - ЁЯ) =
= СпТп, где Сп не зависит от Тп. Это различие лежит в пределах определения свободной энергии в термодинамике с точностью до линейной функции от температуры С{Т + С2. Нетрудно проверить, что и для других термодинамических потенциалов в термостатистике Реньи сохраняется структура преобразований Лежандра.
Переход от термостатистики Гиббса, описывающей состояние динамического хаоса [9], к Реньи, характерной для ССС [1], соответствует возрастанию параметра порядка от п = 0 до птах = 1 - дтщ.
Согласно общей теории фазовых переходов Ландау производная энтропии по параметру порядка испытывает скачок в точке фазового перехода. Рассмотрим изменение энтропии при переходе от термостатистики Гиббса к термостатистике Реньи.
При п ^ 0 имеем
Б
.( Я)
^ ¿(0) = Б о)( р(о)) = кв 1п К
-РАИ
Теперь нетрудно вычислить предельное значение при п ^ 0 производной по п разности энтропий
АБ = Б"(Я) - Б"(0). Находим
нш Г
п^ о\ «п
ш
Ц в2К р( 0)(А И )2 = 1 Су, (6)
где Су - теплоемкость при постоянном объеме.
Таким образом, производная по параметру порядка от приращения энтропии испытывает скачок при п = 0. Это позволяет считать переход к термостатистике Реньи своеобразным энтропийным фазовым переходом в более организованное состояние.
В отличие от обычного фазового перехода, который происходит при температуре перехода, условия реализации энтропийного перехода, по-видимому, определяются по-своему для каждой конкретной системы. Например, порог возникновения турбулентности (см. [10]) как упорядоченной структуры определяется критическим чис-
ш
478
БАШКИРОВ, ВИТЯЗЕВ
Рис. 1.
лом Рейнольдса, а появление ячеек Бенара при тепловой конвекции - критическим числом Рэлея (см. [9]).
Вопрос о величине параметра порядка в различных системах должен решаться из условия максимальности термодинамической энтропии
Реньи 5К).
На рис. 1 изображен график энтропии
5п [р(^СП, к)] для степенного гамильтониана. Видно, что она достигает своего максимального значения при максимально возможной величине П = Птах, откуда следует, что именно это значение параметра порядка является предпочтительным в отсутствие каких-либо дополнительных ограничений.
Для сравнения на рис. 2 изображена обычная термодинамическая энтропия
Гиббса 5 [р(к)(п, к)] для того же самого распределения Реньи. Видно,
что в отличие от 5п
[р(я)(П, к)] энтропия Гиббса 5(а)[р^(п, к)] убывает с ростом п и максимальна при п = 0, т.е. в наименее упорядоченном состоянии, когда распределение Реньи переходит в каноническое распределение Гиббса.
Таким образом, в термостатистике Реньи в соответствии со вторым началом термодинамики (принципом возрастания энтропии) эволюция систем в упорядоченной фазе с параметром порядка п > 0 идет в направлении самоорганизации, т.е. роста п ^ птах. Необоснованное применение энтропии Гиббса-Шеннона (т.е. частного случая энтропии Реньи с п = 0) к подобным системам предсказывает противоположное направление эволюции в состояние "тепловой смерти" п ^ 0.
Такое поведение энтропии устраняет противоречие между вторым законом термодинамики и эволюцией системы к самоорганизации.
Рис. 2.
Распределение Реньи при максимальном значении параметра порядка становится степенным распределением во всем диапазоне значений х.
Необходимо отметить, что из неравенства п < птах имеем п = птах - е, где е - положительная инфинитезимальная величина. Ясно, что в реальных физических системах е (^1) должна быть некоей конечной величиной. Учет конечности е для системы со степенным гамильтонианом приводит к распределению Реньи в виде
-(к +1 )Г 1 + е ]
/ (х) = г"1 () к;х
_к±1 Г1+ е *11)
х [ 1- е(к +1)2(1- Сих к)] К . (7)
Для достаточно больших х всеми членами с е можно пренебречь, и это распределение переходит в степенное р ^ х~(1 + к). В важн ом частном случае к = 1 СР принимает вид р ~ х~2. Это закон Ципфа-Парето, хорошо известный в экономике, биологии и гуманитарных науках. Такой же показатель СР был найден для энергетического спектра частиц в атмосферных каскадах космических лучей и для распределения пользователей сайтов Интернета [11].
С другой стороны, при достаточно малых х < 1 в выражении в квадратных скобках достаточно учитывать только член е(к + 1)2Сих ~к, откуда следует
к+ 1
рк (х )| х „ 1~( е (к +1)2) к. (8)
Таким образом, асимптотикой распределения Реньи при малых х является постоянная, определяемая значением е.
Такая форма искажения СР при малых х'з является довольно характерной. Например, распределение соединений в сети Интернета [11] начи-
нается горизонтальным участком, соответствующим параметру е ~ 10-4.
Работа выполнена в рамках программы фундаментальных исследований Президиума РАН 18 "Проблемы зарождения биосферы Земли и ее эволюции".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bak P. How Nature Works: the Science of Self-Organized Criticality. N.-Y.: Copernicus, 1996.
2. Mantegna R. // Physica.A. 2000. V. 277. P. 136-148.
3. Jaynes E.T. // Phys. Rev. 1957. V. 106. P. 620-630; V. 108. P. 171-190.
4. Зубарев Д.Н, Морозов В.Г., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. М.: Физ-матлит, 2002. Т. 1.
5. Bashkirov AG. // arxiv.org; cond
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.