Саркисян А.Х., кандидат технических наук, старший научный сотрудник Нерсисян Н.Я., младший научный сотрудник
(Тарусский филиал Института общей физики им. А.М. Прохорова Российской академии наук)
ЭРМИТОВО СПЛАЙН-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СЖАТИЕ ДАННЫХ ПРИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ КРИВЫХ
Метод сжатия данных при использовании сплайн-преобразования Фурье (СПФ) для цифровой обработки временных рядов, полученных в ходе экспериментальных экологических исследований, предложенный в [2], может быть применен с использованием различного класса сплайнов.
Рассмотрим сжатие данных при применении уже известного [1] эрмитова сплайн-преобразования Фурье (ЭСПФ) для анализа исследуемых экологических кривых.
Известно [3], что эрмитов сплайн на интервале хе [х1,хт], где (, = 0,1,...,п-1), определяется как:
2т п (0 п(0
(х; Я = У ^(х - х + —2т+^(х - у, )+т (1)
2т, 7 ' х я! (2т)!
хе[ х,.х,+1] х,+и-1 4 7
На последующих интервалах х е [х1, х/+1] он определится как:
2т п (,+1) п(,+1)
(х- /") = У (х - хт)я + —(х - у,,+1 )+т (2)
и2т ¿-0 8 ^ -+1' (2т)! '+1 +
хе[ х1+1'х1+2]
S2m (Xf) = У
2m a(i+Pi-1)
S!
(x - Xi+pi-i)S +-
a
(i+Pi-1)
(2m)!
■( x - yi+Pl-i)
2т
хе[ х'+РМ,х'+Р1 ]
Интерполяционный эрмитов сплайн на основе сжатых данных представим в виде:
,(i)
S2m (x; f) = У —(x - Xl )S +
2mK,JJ SГ (2m)!
(x - y,)+
Параметры п® и п<^)т+1 определяются из следующей системы уравнений:
S2m)( Xi)=f(*)(Xi),
Ji )
2m a (i) a
У (Xi+1 - x,. )S-* + S=m+i S! (2m - *)
(Xi+i - y )+m-* = f™ - Xi+i - Xi )S
(3)
(4)
(5)
(к = 0,1,.....т) (, = 0,1,...., п-1).
Как уже было определено в [2], погрешность, возникающая в результате сжатия данных,
оценивается как:
|н(» - H(>)| < £ max ISm(x) - Sm(x)|
i=0
Получим оценки разностных выражений max |Sm(x) - S (x)|.
(6)
209
где
где
где
max
2т
\в2т (Г; /) - т (X; /)|
X!
х - х, +
,(<)
(2т)!
2т
х - УА +
с)
2т а
V"1 £ I
+ / 1-1
о,
X=0 ° ! \(1 )|
х - X, + -1
а™
IX "2 т+1
(2т)!1
XIX Г*2т+1
ьУ^й
^ X! (2т)!1
2т \а({)\ \а({) I ;- у; I2 т + Ы| х - у Рт +
X! (2т)! ^
' —1 /„X , А1
- У' I < 21 / ~ *
Н X! (2т)! 1
А = max{|а«>|,|а21а^'>|,^+1} , £1 = ^ {х - у,.|, |х - у11}. 1 ~ 1 {^ А А
max К (х; /) - ^ (х; /) <21/ — * +
хЕ[х,+1,х,+2/ 1 I Х=0 X! (2т)!
А2 = max{|а«+»|,|<С1|,|<+1|,К>} ,
£2 = т^{|х-умЦх-у,} .
{ 2т А А ^
max К (х; /) - ^(х; /)| < 2 + -т-£2Рт
хе[ х
чX=0 X! (2т)! ,
о+Я-1)| \„о+я-1)| р|а(1)|,\а!Р
Ар1 = max {| а^,\а[
£Р, = max {|х - У.+р,-11,1х - У1}.
"X ' 2 т+1
(7)
(8) (9) (10)
(11) (12)
(13)
(14)
(15)
Отсюда и согласно (6) получим оценку погрешности ЭСПФ, возникающую в результате сжатия данных:
у — ^ +_ £т 1, {У —^ £
^ X! (2т)!1 И X! (2т)!2
Н(» - Н(»
и-1
< 2/ max
I=0
( 2т А е!
А
Р /„X , Р „2т
Л
(16)
^=0 X! (2т)! Р
Давая оценку погрешности, возникающей в результате сжатия данных в ЭСПФ, мы имеем возможность применять предложенный [2] алгоритм сжатия, сохраняя требуемую точность вычислений ЭСПФ.
Кроме оценки погрешности сжатия в ЭСПФ, можно определить также совокупную погрешность ЭСПФ со сжатыми данными. Из [2] известно, что:
\н (» - Н( » < Н (» - Н (»+\Н (» - Н( » (17)
а из [1], что:
|/(х)-/(х)| < (2т + 1)й2»5й) <18)
Тогда погрешность ЭСПФ будет оцениваться как:
210
\н(® - Н(<£ (2т +1)
И2 т® (/(2т), И) 22т (2т)!
(19)
а совокупная погрешность ЭСПФ со сжатыми данными в соответствии с выражением:
И-1 И2тё (/(2 т\ И)
Н(У®) - Н(<У (2т +1)-
22т (2т)!
и-1
+2 У тах
I =0
¿2, А
у А и
О !
х=0 ° !
( ^ А
А
1_с2т
(2т)!
А А
Ь О! (2т)! 2
О!
(20)
чх=0 х! (2т)!
Таким образом, используя предложенный [2] метод сжатия данных при применении ЭСПФ для анализа исследуемых экологических кривых [1], можно достичь значительного уменьшения временных затрат при обработке результатов измерений с сохранением требуемой точности расчетов, которую обеспечивают полученные оценки погрешности ЭСПФ в результате сжатия (16) и совокупной погрешности аппроксимации ЭСПФ со сжатыми данными (20).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Саркисян А.Х., Нерсисян Н.Я. Об одном методе цифровой обработки экспериментальных данных // Естественные и технические науки. 2004. № 3. - С. 131-132.
2. Саркисян А.Х., Нерсисян Н.Я. Сжатие данных при применении метода сплайн-преобразования Фурье в анализе экспериментальных экологических кривых // Естественные и технические науки. 2006. № 3. - С. 135-136.
3. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976. - 248 с.
1=0
211
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.