ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2014, том 77, № 6, с. 785-797
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ЕЩЕ ОДИН ВЗГЛЯД НА ПРИРОДУ КВАРКОВЫХ КОНДЕНСАТОВ
© 2014 г. Г. М. Зиновьев1^ С. В. Молодцов2),3)*
Поступила в редакцию 23.08.2013 г.
На примере двух простых моделей с четырехкварковой формой взаимодействия рассматриваются некоторые вопросы природы и роли кварковых конденсатов. Продемонстрировано, что в существенном конденсаты кварков мало чувствительны к форме взаимодействия.
DOI: 10.7868/80044002714060178
Проблема цветовой сверхпроводимости привлекает к себе пристальное внимание начиная с основополагающих работ [1], и несмотря на то, что она уже находит применение в физике нейтронных звезд, многие вопросы остаются все еще мало изученными. Когда взаимодействие кварков аппроксимируется как точечное, то остается неясным, что происходит за импульсом обрезания. Каков истинный профиль конденсата как функции импульса кварка? Нелокальные модели, где рассматривается та или иная форма ансамбля глюонных вакуумных полей, оперируют с приближением нулевых мод [2], необходимость выхода за рамки которого обсуждалась в [3]. Интересно также выяснить, насколько сильно искажает картину удобная для аналитических исследований сепарабельная форма взаимодействия. В целом, не всегда понятно, как соотносятся каналы, в которых возможна конденсация кварков и антикварков, и, например, дикварковые каналы. Мы постараемся осветить некоторые из поставленных вопросов, сосредоточившись на анализе двух полярных по отношению друг к другу простых моделей с бесконечно малой и бесконечно большой корреляционными длинами в координатном пространстве. Наше исследование базируется на наблюдении, что в интересном для приложений диапазоне констант связи динамические характеристики кваркового ансамбля не сильно зависят от формы взаимодействия [4].
Предполагается, что кварки находятся под действием интенсивных вакуумных стохастических глюонных полей. Рассматривая стохастическое поле в виде "белого шума" (с бесконечно малой
''Институт теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова НАНУ, Киев.
2) Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия.
3)Институт теоретической и экспериментальной физики, Москва, Россия.
E-mail: molodtsov@itep.ru
корреляционной длиной по времени) и применяя процедуру усредненного описания ансамбля кварков [5], можно получить эффективный кварковый лагранжиан с мультикварковым взаимодействием [6] с соответствующими глюонными корреляционными функциями. В этом приближении предполагается также, что кварки не оказывают существенного обратного влияния на стохастические глюонные поля. Такое рассмотрение вакуумных глюонных полей сродни приближению Гинзбурга—Ландау в теории сверхпроводимости, где фотоны приобретают массу и, формально, потеряна калибровочная инвариантность. Для ее восстановления требуется, как известно, привлечение более мощного аппарата соответствующих тензоров поляризуемости среды [7]. (См. также работу [8], где разрабатывается аппарат для изучения поведения одной частицы.) Интересующую нас в настоящей работе плотность кваркового гамильтониана можно привести к виду четырех-фермионного взаимодействия (остальные члены корреляционного ряда, выражаемые через высшие корреляторы глюонного поля, как известно, эффективно сводятся к этому старшему вкладу):
H = -q(ij V + m)q - ft J dy{Aa^)jt
(1)
где = — кварковый ток с соответствую-
щими операторами кварковых полей д, (¡, взятыми в пространственной точке х (переменные со штрихом относятся к точке у); т — токовая масса кварка; 1а = \а/2 — генераторы цветовой калибровочной группы Би^с); ц,и = 0,1,2,3. Коррелятор глюонного поля (А^Л'Ь) для простоты берется в простейшей аппроксимации, синглетной по цвету, с контактным по времени взаимодействием, без запаздывания:
(АаАЬ) = д$аЬVР(х - у) (2)
(мы не включили в эту формулу соответствующую дельта-функцию по времени). Вообще говоря, в
этой корреляционной функции допустимы члены, натянутые на вектор относительного расстояния, но для простоты мы ими пренебрегаем. Как было сказано выше, это эффективное взаимодействие появляется естественным образом при упрощенном описании системы (усредняя по быстрым вакуумным глюонным полям, например, в виде инстантонной жидкости, см. [4]). Формфактор Г(х) интерпретируется при этом элементарным образом как потенциал взаимодействия точечных частиц. Сама по себе корреляционная функция выглядит, формально, как калибровочно-неинвариантный объект, и мы встаем перед необходимостью скомпенсировать этот недостаток, перебирая, в определенном смысле, все представляющие интерес потенциалы. Для того чтобы этот набор был максимально широким, мы сопоставляем два противоположных предела. Один из них соответствует формфактору с дельтаобразной функцией в координатном пространстве, который, понятно, реализует модель Намбу—Иона-Лазинио (НИЛ) [9], а второй — формфактору с дельта-образной функцией в импульсном пространстве, например, аналог которой хорошо известен в физике конденсированного состояния как модель Келдыша (ККБ) [10] и отвечает бесконечной корреляционной длине в координатном пространстве. Глюонные корреляционные функции изучаются в теоретических моделях и вычисляются в решеточном приближении, и для характерного размера конфигураций получены оценки порядка 0.1—0.2 Фм [11], см. также [12]. На решетке также получены данные для глюонного пропагатора, которые можно интерпретировать как генерацию массы глюона в определенном окне импульсов [13]. Настройку масштаба константы взаимодействия д, представляющую интерес для приложений, мы проводим путем привязки к соответствующим мезонным наблюдаемым. Сопоставляя полученные результаты, можно (по непрерывности) делать определенные заключения о поведении системы практически с любым потенциалом взаимодействия.
Предполагается, что при достаточно сильном взаимодействии основное состояние системы преобразуется из тривиального вакуумного |0) (вакуум свободного гамильтониана) в смешанное состояние (с кварк-антикварковыми парами с противоположными импульсами, с квантовыми числами вакуума), которое выбирается в виде боголюбов-ской пробной функции (тем самым вводится некоторая выделенная система отсчета и фиксируется киральная фаза конденсата):
И = ТЩ, Т = + ар,8Ь-р,8)\.
р,в
Здесь а+, а и Ь+, Ь — операторы рождения и уничтожения кварков и антикварков, а|0) = 0, Ь10) = = 0. Напомним, что одевающее преобразование Т превращает кварковые операторы в операторы рождения и уничтожения квазичастиц А = ТаТ^, В + = ТЬ+Т^. Угол спаривания находится из условия минимума средней энергии {&1Н|ст). Исследование преобразования Боголюбова как функции формфактора показало, что угол спаривания кварков и антикварков (динамическая масса кварка) не проявляет существенной зависимости от вида формфактора [4]. На рис. 1 для сравнения приведены наиболее выгодные углы спаривания в = = 2^> для модели НИЛ (сплошная кривая) и модели ККБ (штриховая кривая), полученные для нормальных условий. Непосредственно для дельтаоб-разного потенциала в координатном пространстве (модель НИЛ) для получения разумных результатов, как известно, следует ввести обрезающий импульс Л, который, наряду с константой взаимодействия д и токовой массой кварка т, является настроечным параметром модели. Например, для одного из стандартных наборов модели НИЛ [14]: Л = 631 МэВ, дЛ2/(2п2) и 1.3, т = 5 МэВ. Параметры модели ККБ выбраны такими, чтобы при одинаковых токовых массах динамические массы кварков в обеих моделях, НИЛ и ККБ, совпадали при нулевом импульсе кварка. Интересно также отметить, что импульс р$ отвечает максимальному притяжению кварка и антикварка. Обратная величина этого параметра определяет характерный размер квазичастицы. Для рассматриваемых моделей он оказывается порядка р$ ~ (тЫд)^2, где Ыя — характерная динамическая масса кварка, т.е. размер квазичастицы сравним с размером п-мезона. Примечательно, что размер квазичастицы, как это демонстрирует рис. 1, не зависит существенным образом от вида формфактора, иными словами от масштаба, а определяется в основном константой взаимодействия. Сегодня с определенностью можно сказать, что вакуумный ансамбль наделен характерным размером порядка корреляционной длины. Понятно, что пределу ККБ в этом случае отвечает как раз характерный размер системы.
Динамическая масса кварка Ыд выражается через угол спаривания посредством соотношения
P0
(3)
где P0 = [p2 + M2(p)]1/2 — энергия квазичастицы кварка, ниже мы также будем применять обозначение Ep. Угол 0m определяется равенством sin 9m =
= m/p0, где p0 = [p2 + m2]1/2. Можно показать, что динамическая масса кварка определяется посредством уравнения
Mq (p) = m + (4)
0, град -10
-50
-70 -1
200
400
Ръ
600 p, МэВ
Рис. 1. Наиболее устойчивые равновесные углы в как функции импульса р. Кривые: сплошная — модель НИЛ, штриховая — модель ККБ.
+ 2G dq(1
n
M'
где п, п — функции распределения кварков и антикварков в условиях внешней среды в = Т-1, Т — температура ансамбля, ¡1 — химический потенциал кварков:
n =
ов (Ро-V)
l
1 - 1
(5)
n = (Ро+и)
+ 1
i - 1
Интегрирование проводится по импульсам р = = р/(2п)3. Соотношение между константами д и С будет рассмотрено ниже. В частности, в нормальных условиях (Т = 0, 1 = 0) динамическая масса кварка в модели НИЛ равна Мч ~ 340 МэВ. Динамическая масса кварка в модели ККБ (Г(р) = = 6(р)) определяется из уравнения
М(р) = 2 аЩ (6)
причем динамическая масса кварка связана с индуцированной соотношением Мд = т + М. На практике часто удобнее пользоваться обратной функцией р(Мд). В частности, в киральном пределе Мд = (4С2 — р2)1/2 при |р| < 2С, Мд = 0 при |р| > 2С. При этом состояния кварка с импульсами |р| < 2С вырождены по энергии Р0 = 2С. На рис. 2 показаны три ветви решений уравнения (6) для динамической массы кварка. Точками показаны мнимые части решений, которые образуются в месте слияния двух вещественных корней.
Теперь сосредоточимся на анализе приближения среднего поля в модели ККБ. Представим плотность лагранжиана в виде
С = ^(¿Тм + 1 — т)д + ЗД %, (7)
где введено дополнительное слагаемое с хими
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.