КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2011, том 49, № 4, с. 355-362
УДК 531.391
ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАНЕТ В ПОЛЕ СИЛ ВЗАИМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ © 2011 г. В. Г. Вильке1, А. В. Шатина2, Л. С. Шатина1
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова 2Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)
shatina_av@mail.ru Поступила в редакцию 06.05.2009 г.
Исследуется поступательно-вращательное движение двух вязкоупругих планет в гравитационном поле сил. Планеты моделируются однородными изотропными вязкоупругими телами. В естественном недеформированном состоянии каждая из планет представляет собой шар. Изучается частный случай, когда движение центров масс планет происходит в неподвижной плоскости, а ось вращения каждой из планет направлена по нормали к этой плоскости. Получено уравнение, описывающее эволюцию медленной угловой переменной — долготы перигелия. Проведено сравнение наблюдаемого смещения перигелия Меркурия с результатами, полученными в рассматриваемой модельной задаче о движении двух вязкоупругих планет. Существенным обстоятельством является тот факт, что движение меньшей по массе планеты (Меркурия) происходит не в центральном ньютоновском поле сил, а в гравитационном поле вращающейся вязкоупругой планеты (Солнца).
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим задачу о движении двух вязкоупругих планет в поле сил взаимного притяжения. Каждую из планет будем моделировать однородным изотропным вязкоупругим телом, которое в естественном недеформированном состоянии занимает шаровую область в трехмерном евклидовом пространстве. Обозначим через Ш1, р,, гт (г = 1, 2) соответственно массу, плотность и радиус г-ой планеты в недеформированном состоянии
mi
4 з
3 тср^-0
Введем инерциальную систему координат ОХЛ с началом в центре масс рассматриваемой механической системы. Так как система изолирована, то ее центр масс движется равномерно и прямолинейно. Радиус-вектор точки М1 г-ой планеты имеет вид:
RM = Ri + Г (r + ui (r, t)) ( i = 1,2),
(1)
определяются однозначно по заданному векторному полю (1) следующими условиями [1]:
КI = — ¡К- М (г, 1 V ¡, |и ¡йVI = 0, I"гс* и £ VI = 0,
(2)
(IVг = йx1(i)йx2i)йxз(i), V = {г е Е3 : |г| < гю}, / = 1,2.
Потенциальная энергия гравитационного поля имеет вид:
П = -
Vi V21
f Р1Р2
R
Mi
i^-d R M2I
Vid v 2,
(3)
где f — универсальная гравитационная постоянная.
Функционал потенциальной энергии упругих деформаций зададим в соответствии с линейной моделью теории упругости:
2 2
% _ X%i [ui] = X |ад - ааНж),
i = 1
i = h
ай
E (1 -Vi)
где Г i — оператор перехода от подвижной системы координат С(х1г)х2' )xзi), интегральным образом связанной с шаром, к системе осей Кенига С^^^з', иi (г, t) — вектор упругого смещения, Иi = ОСi (г = 1, 2).
Радиус-вектор центра масс г-ой планеты И, и подвижная система координат С-х^х^хЗ^ ^ = 1, 2)
а;-2 =
2 (1 + v;. )(1 - 2Vi) _ 2(1 - 2Vi)
1 -vi
ад > 0, 0 < аа < 3,
(4)
IiE _ X ej \ IIe _ - ef),
j = 1
k < I
(i) 1 e ki _ -k 2
^duP , du
(i) Л
vdx() 5xk()
, ui _ (м(), 4°, и3!)), i _ 1, 2,
355
5*
где Ei — модуль упругости Юнга, V , — коэффициент Пуассона /-го шара, I т, II ¡Е — инварианты тензора малых деформаций.
Функционал внутренних диссипативных сил будем полагать заданным в виде:
2
Э = XЭ;К], Э1[й1] = х %1[И1], х,> 0,
¡=1
X, — коэффициент внутреннего вязкого трения (модель Кельвина—Фойгта).
Кинетическая энергия системы равна
(5)
Ri = --
m2
R, R 2 =
m1
R,
m1 + m2 m1 + m2
m1R 1 + m2R 2 = 0. В рассматриваемом "плоском" случае
R = (R cos y, R sin y, 0), ю,- = ф(e3, 'cos ф,- - sin ф,- 0N sin ф;- cos ф;- 0 , i = 1, 2, 0 0 1
(6)
ез = (0, 0, 1), Г,= 1 (R2 + m2R2) = imr (R2 + R2y2), mr =
(7)
_ m1m2 m1 + m2
-.(8)
Перейдем от обобщенных скоростей, входящих в компоненты векторов И, щ, (, = 1, 2) к обобщенным импульсам:
Рк = VТ = т^, рч = V^ = тК2у, (9) 11 = VФT = [и,] + Ощ, , = 1,2,
где I, [и,] = |[ез х (г, + и,)]2 рdv¡, Ощ =
V
= |(е3 х (г + и,), u;■)p;■dv
Выделим в функционале кинетической энергии (5) квадратичную и линейную части по обобщенным скоростям К, у, ф 1, ф2:
Т = Т2 + т + То, (10)
2
Т2 = 1 тг (К2 + К V2) + 2 X |ф2 [ез х (г + и,)]2 р^у,,
Т = X ТТЮ =11 т,!И2
¡ =1 V
+ 2 |[ш;- X (г + и,)]2 Р¿»1 +
V
+ |(ш;- X (г + и,), И,)V, +1 |и]р4V,,
V V
а, х (•) = Г;-1Гг (•), ,= 1,2.
Уравнения движения системы выпишем в форме уравнений Рауса. Каноническую часть будут составлять переменные, описывающие поступательно-вращательное движение системы, а лагранжеву часть будут составлять переменные, описывающие деформации. Ограничимся рассмотрением частного случая, когда движение центров масс планет происходит в неподвижной плоскости, а ось вращения каждой из планет направлена по нормали к этой плоскости. Существование такого класса движений следует из работы [1] (ч. II, стр. 3—11), где из вариационного принципа Даламбера—Лагранжа была получена система уравнений рассматриваемой механической системы в векторном виде.
Введем в рассмотрение вектор И = И2 - И1, соединяющий центры масс планет (И = С1С 2). Так как О — центр масс системы, то
i = 1V
T1 = X J<Pi (e3 x ( + u¿) üi)Pidvi,
i = 1l
t0=2 x J1" 2p id v i.
,=1 V
Функционал Рауса определяется равенством
9К = Т2 -Т0 +п + %, (11)
где в правой части формулы (11) следует обобщенные скорости заменить на обобщенные импульсы. Учитывая соотношения (9)—(10), получим:
® = рК. + ру +1 X- 2 2 -
' + —^ +
2mr 2mrR2 2 ^ J¡ [ui]
2
- 2 XJU2Pidvi + П + %.
2 i = 1к
(12)
Для описания движения вектора И от переменных (К, у, рк, рч) перейдем к каноническим переменным Делоне [2] (g, I, О, X) с помощью следующих соотношений:
у = g + 9, R =
G2
f0mr (1 + e cos 9)
f0 = f (m1 + m2), R(1 + ecos9) = a(1 -e ), P4 = G, Pr =
2 _ (13)
f0m„esin 9 e =
G
l = w - esin w, cos w =
e + cos 9 1 + ecos 9
2
Здесь а, е — большая полуось и эксцентриситет орбиты конца вектора И, 9, I, w — истинная, средняя и эксцентрическая аномалии соответственно, g — долгота перигелия от восходящего узла.
Выделяя в правой части формулы (12) линейную часть по компонентам векторов и , и и, = 1, 2), выполняя замену переменных согласно соотношениям (13), а также учитывая равенства (1), (3), получим следующее выражение для функционала Рауса:
- _-/о
у 2 3
/о тг
2Ь
I
, = 1
2 А, А,
¡- |[ез, Г х и,]p¡dv,
ц
А,
л |[(г, и,)- (ез, г,)(ез, и,)]рАV,
(14)
IКз }{{, и,)-зг)($,, и,)}рА, + %
■ 1 к
1 = 1 V
Здесь
.22 А = 5 тго,
71 = /тъ у 2 = /ту,
= Г^и/к ( = 1,2), а слагаемое Ш* содержит члены второго и более высоких порядков по компонентам векторов и,- и и, ( , = 1, 2).
Уравнения движения системы двух вязкоупру-гих планет примут вид:
Ь = -—, О = -—, Ц = -—,
д1 дg дф,
I =
1[(
дЬ
- А. у. dt и
дО
, ф,
д1-
( = 1, 2),
■к1,, 8и,
(15)
+ (X го18и,)] аV , = 0, У8и;- е (( (V)) (( = 1,2).
(16)
е,- = 0, то соответствующий вектор упругого смещения полагается равным нулю. Тогда рассматриваемая механическая система состоит из двух абсолютно твердых шаров, движущихся в гравитационном поле взаимного притяжения. Уравнения невозмущенного движения имеют вид:
ь = о, о = о, I, = о, I = п, g = о, (р,, = ю,- ( = 1,2),
(17)
где п =
п2 з
_/о тг
, Ю = —.
Ь А
Уравнения (17) легко интегрируются, а само невозмущенное движение таково: конец вектора И описывает кеплеровскую орбиту, при этом каждый из шаров равномерно вращается вокруг оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости орбиты.
Согласно методу разделения движений [1] из уравнения (16) найдем функции и,- ( , = 1, 2), описывающие вынужденные колебания вязкоупру-гих шаров под действием внешних сил и сил инерции переносного движения. При этом величины Ь, О, I , I, g, ф,- ( , = 1, 2), входящие в уравнение (16), зависят от времени согласно невозмущенной системе уравнений (17).
Функции и,, ( , = 1, 2) и множители Лагранжа к,, к ц будем искать в виде разложений по степеням малых параметров б, ( , = 1, 2):
(1) 2 (2) и,, = 8ги, + 8, и, + ...
— + 8г^(() + ...,
^ и — ^ 2()+^+....
(18)
Подставляя разложения (18) в уравнение (16), получим
А2 (г - (г, ез )ез Ь^ ( - з (г,, ^ )-
Последнее уравнение записано в виде вариационного принципа Даламбера—Лагранжа и содержит неопределенные множители к,, кпорожденные условиями (2).
2. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ
ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Будем считать, что жесткости вязкоупругих
планет достаточно велики, т.е. малы безразмер-
ные параметры = ю2ор¡г^Е-1 = 1, 2), обратно пропорциональные модулям Юнга. Выбирая со-
ответствующим образом масштабы размерных
единиц, можно положить = Е-1 ( = 1, 2). Если
- к
(о)
, 8и;)¿VI- |(к(2о)п;)8и;Ас,
ЗУ,
(19)
- 8
и[и(1) +Х,и(1)], 8иг) = о
У8и, е ((V)), , = 1,2,
где д V — поверхность , -го шара, п, — единичная нормаль к поверхности -го шара.
Так как работа упругих и диссипативных сил на бесконечно малых поворотах и на поступательном движении равна нулю, то, полагая в (19) последовательно 8и, = 8а х г,,, 8и, = а ( , = 1, 2), получим к 2о) = о, = о. Краевая задача для определения векторов ипервого приближения примет вид:
2
т2
wV,, «,[u(1} + = (r, -(ü, ез)eз)-
A (20)
Pili,
- R-( - 3(r,, £,)£,-),
0 (i = 1,2).
(21)
Здесь s,Vui [ui] =
1
1
, ч| -V Шу и i + Ди i I, 2 (1 + V i )Ц - 2у г )
а соотношение (21) означает равенство нулю напряжений на поверхности шара [3].
Решение краевых задач (20)—(21) имеет вид [1,3]:
u(1) = u ¿о + u il + u i2 (i = 1,2),
(22)
u¿0 = 2Pi®2 + d2,-Г'2) ri,
u¿1 = pfäi [6 ri - 2(ri, e3)2 [fl2ir2 + Ü3irio] 3 r,- - (ri, ез)e
ri +
+
u ¿2 =- (1 + 3Xi RR ) Hau
1 r2 -1 (r. £.)2 .6 ü 2(r" £12
r, +
+ I[aar,2 + азГо ] 3 r, - (r,, £ i )£, - ^(а.(r-, £,)(r,, £)r, + + [a2;-r2 + a^r-O ][(, £ - )£, + (r-, £, )£, ]},
_ (1 + v)(1 - 2v) d _ (3 -v)(1 - 2v)
, d2i _
du _ -
10 (1 -v)
10 (1 -v)
a _ 2 g + v i ) a fl + v i )(2 + v, ) % _ (5v+ 7) a2i _" (5v+ 7) , a _ (2v, + 3)(1 + v) a3i _ (5v- + 7) .
ной процедуры возмущенная система уравнений будет описывать поступательно-вращательное движение системы двух планет с учетом возмущений, вызванных упругостью
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.