научная статья по теме ЭВОЛЮЦИЯ ОРИЕНТАЦИИ ОРБИТАЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ДВУХПРОТОПЛАНЕТНОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННЫМИ МАССАМИ Астрономия

Текст научной статьи на тему «ЭВОЛЮЦИЯ ОРИЕНТАЦИИ ОРБИТАЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ДВУХПРОТОПЛАНЕТНОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННЫМИ МАССАМИ»

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 91, № 9, с. 762-772

УДК 521.135

ЭВОЛЮЦИЯ ОРИЕНТАЦИИ ОРБИТАЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ДВУХПРОТОПЛАНЕТНОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННЫМИ МАССАМИ

2014 г. М. Дж. Минглибаев1,2, Г. М. Маемерова1*

1 Механико-математический факультет Казахского национального университета им. аль-Фараби,

Алматы, Республика Казахстан 2Астрофизический институт им. В.Г. Фесенкова, Алматы, Республика Казахстан Поступила в редакцию 14.01.2014 г.; принята в печать 17.03.2014 г.

Исследуется двухпротопланетная задача трех тел с переменными массами. Предполагается, что массы протопланет намного меньше, чем масса протосолнца: т\(Ь) ^ т0(Ь), т2(Ь) ^ т0(£). Законы изменения масс тел со временем считаются известными. Изменение масс происходит изотропно в различных темпах: т0/т0 = т\/т\, т0/т0 = т2/т2, т\/т\ = т2/т2. Тела рассматриваются как материальные точки. Исходя из уравнений движения в системе координат Якоби, проблема описывается в аналогах второй системы элементов Пуанкаре. В качестве исходного невозмущенного промежуточного движения используются индивидуальные апериодические движения по квазиконическому сечению. В выражении возмущающей функции не учтены члены, пропорциональные третьей степени и выше относительно малых масс т\, т2. В рассматриваемой постановке задачи по классической схеме получено новое аналитическое выражение возмущающей функции в принципе в аналогах второй системы переменных Пуанкаре. При этом аналоги эксцентриситетов е\, е2 и наклоны орбит н, 12 тел считаются малыми величинами. С помощью системы компьютерной алгебры Mathematica в символьном виде фактически вычислена возмущающая функция с точностью до второй степени включительно малых величин е\, е2, н, г2. Получены уравнения вековых возмущений протопланетной задачи трех тел — точек с массами, изменяющимися изотропно в различных темпах. Найдены общие строгие аналитические решения полученных уравнений вековых возмущений для облических элементов при произвольных законах изменения масс, описывающие эволюцию орбитальных плоскостей. Для наклонностей орбит доказан аналог теоремы Лапласа. Получены аналитические формулы, описывающие изменение во времени долгот восходящих узлов и наклонностей при любом законе изменения масс в различных темпах. Показано, что, за исключением специальных начальных условий, теорема Якоби об узлах, имеющая место в классической задаче трех тел с постоянными массами, нарушается в исследуемой задаче.

DOI: 10.7868/80004629914090060

1. ВВЕДЕНИЕ

Реальные космические тела — нестационарные. Со временем изменяются их массы, размеры, формы и структура распределения масс внутри тел [1 — 6]. Эти процессы особенно интенсивно происходят в двойных и кратных системах [5, 7]. В ходе формирования планетных систем результаты этапа нестационарности играют важную роль. В связи с этим исследуется протопланетная задача трех тел с массами, изменяющимися в различных темпах изотропно. Тела предполагаются как материальные точки. В рассматриваемой постановке, несмотря на неинерциальность относительной системы координат, уравнения движения в относительной систе-

E-mail: mayemerova@gmail.com

ме координат имеют классический вид. В системе координат Якоби, которая также неинерциальная, уравнения движения внутренней протопланеты сохраняют свой классический вид, а в уравнениях внешней протопланеты из-за различия темпа изменения масс протосолнца и внутренней протопланеты появляется дополнительная сила.

Следует отметить, что в проблеме трех тел с переменными массами, изменяющимися в различных темпах изотропно, не известно ни одного интеграла. Поэтому рассматриваемая задача исследуется методами теории возмущений [6].

В настоящей работе, используя наши разработки [6, 8] и модифицируя классическую схему [9], мы получили в принципе новое разложение в ряд возмущающей функции в протопланетной задаче

трех тел с массами, изменяющимися изотропно в различных темпах. В выражении возмущающей функции сохраняются члены второй степени включительно относительно малых масс mi, m2. Возмущающая функция выражена через аналоги второй системы элементов Пуанкаре с точностью до второй степени включительно малых величин ei, e2, i1, i2. Эта громоздкая и трудоемкая задача алгебры, конкретное выполнение которой возможно только с использованием компьютерной системы символьных вычислений.

С помощью системы аналитического вычисления Mathematica нами фактически получено полное выражение возмущающей функции, в котором только выражение m1m2/r12 состоит из 684 слагаемых. На основе полученной возмущающей функции впервые получены уравнения вековых возмущений рассматриваемой задачи — канонические неавтономные уравнения вековых возмущений. Для облических элементов найдены общие строгие аналитические решения полученных уравнений вековых возмущений при произвольных заданных законах изменения масс. На основе этих решений проанализирована эволюция орбитальных плоскостей протопланет.

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ

2.1. Уравнения движения в абсолютной системе координат

Рассмотрим систему взаимогравитирующих трех тел—точек: То — протосолнце с переменной массой m0 = m0(t), Ti — внутренняя протопланета с переменной массой т1 = m1(t) и Т2 — внешняя протопланета с переменной массой m2 = m2(t). Пусть выполняются условия

mi(t) < mo(t), m-2(t) < mo(t). (1)

Массы тел изменяются изотропно в различных темпах:

mo mi rño rñ2 rñi nb m o mi' mo m2 m\ m2

Уравнения движения в абсолютной системе координат имеют вид

mR* = grads* U, i = 0,1,2,

где

TJ _ f (m0mi , ra0m2 mim2\

l í?* Í?* Í?* / ' \ R01 R02 r12 /

R* = \J(X -X)2 + Y* - y*)2 + (z* - zi)2

R* = R*(X*, Y*, Z*) — радиус-векторы тел, f гравитационная постоянная.

2.2. Уравнения движения в относительной системе координат

Учитывая, что силовая функция зависит только от взаимных расстояний тел, и следуя работам [ 1, 2], переходим к относительной системе координат с началом в точке T0 с массой m0 = m0(t). Обозначим

Ri = Ri(Xú Yi, zi) = R* - Ro, i = 11,2■ (3)

Уравнения относительного движения имеют

классический вид

■ R.

Ri +f(rno+ = graáñWi, (4)

w 1 XiXj + FiFj + ZiZ.

j=1

гз

R3

j = 1,2, j = i,

Лгз = \ (Xj - Xi)2 + (Yj - Yi)2 + (Zj - Zi)2 =

R

ij>

Аго = Ri = л X2 + Y2 + Z2.

Если мы знаем решения системы дифференциальных уравнений (4), то Я0 определяется интегрированием уравнения

R 0 = grad

R Í

f i mi i mi i p* p* R01 R02

после этого Л1, Я2 легко определяются из соотношений (3).

2.3. Уравнения движения в системе координат Якоби

Исходя из уравнений относительного движения (4) и выполняя преобразования

т\ = Я1, т2 = Я2 - игЯ 1,

получим уравнения движения в координатах Якоби [6]

№ = ^а^ и, (5)

^2^2 = gгadíí2и - М2^ + щп),

где

Ш1Ш0 , Hi = Hi (t) =-const,

H2 = №(t) =

Ш0 + Ш1 Ш2(Ш1 + Ш0)

Ш0 + Ш1 + Ш2

приведенные массы,

= const

JJ _ f {m0mi + ra0m2 + mim2\

Г01

Г02

Г12 J

2 2,2,2 2 r01 = X + Vi + = ГЪ

ñ = X2 + V2 + Z^ Г1/Г2 < 1, Г22 = (X2 + V1 X 1 )2 + (V2 + ^1V 1 )2 + Z + ViZ 1 )2, Г22 = (X2 - VoX1)2 + (V2 - VoV1)2 + (Z2 - V0Z1)2,

V1 = V1(i) = Vo = Vo(i) =

m1

m0 + m1

m 0 m0 + m1

= const, = const.

На основе уравнений движения (5) строится теория возмущения на базе апериодического движения по квазиконическому сечению [6] для исследуемой задачи.

3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В канонических ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТАХ

3.1. Канонические уравнения движения Уравнения (5) запишем в виде

№ = gra^ f

,m,1mo\ _ .

- I + bin + grad^-ñi,

Г1

№2 = gradr->2 f

.m2(m1 + mo)

Г2

+

+ b2f2 + grad^„ Д2,

где

61 = 61(f) = V1

71

7i:

71 = 71 (t) =

mo(fo) + mi(¿0) mo(í) + m1(í)

b2 = 62(f) = V2

72 72 ,

72 = 72(f) =

mo(fo) + mi(fp) + m2(io)

mo(f)+m1(f)+m2(f)

1

Д1 = + W, Д2 =-^rl + Ж - F,

цг - f (mom2 + "T-i^-2 _ m2(m0 + mi)\ V ^02 Г12 r2 J '

F = jU2[(2z>1¿ 1 + V1X1)X2 + (2z>1 V1 + i>1V1)V2 + + (2Z>1ZZ1 + i>1Z1)Z2 ].

Обозначив

Ki = + y\ + zj),

K2 = 2^2(^2+1/2+^2),

Ai = ^i(t) =

Vi

Vi(t)

Vio Vi(fo) ' перейдем к квазисферической системе координат Xi = 7ipi cos ^ cos 01, Vi = 7iPi cos p, sin 0i,

Zi = 7iPi sin Pi

В переменных

P,

1 dKi

Pi

Ai dpi 0i, ^ =

i = 1,2.

Pi, PVi 1 dKi

'Фг 9фг

Ai ddi '

уравнения движения имеют каноническую форму [6]:

Pi =

дНг

дРРг р

Pi =

OH,,

0PL

=

2i

дНг дРег

(6)

P

дНг dOi

где

Hi = Hio + Нц,

H

1o

Ф1

5 H1I1I1 Ppi---Pi

P 2

-f

H'

2o

2V17nV Ф1 p2

1 2 1 2 9 P21 P12 cos2 P1

m1mo 1 ,, 2 , -2ч 2

-----{bill +/Í171 Pi!

Ф171Р1 Ф1

Ф2

+

(7)

(8)

2V2 72

5 /Х27272 ---.-P2

Ф2

+

-f

52 p

m2(mo + m1)

P P 2

1 2 1 2 9 P22 P22 cos2 P2

Ф272Р2

#11 —--— -ñl, Я21 —--—-^2-

Ф1 Ф2

(9)

3.2. Невозмущенное движение

При = К2 = 0 уравнения (6)—(9) определяют невозмущенное движение и интегрируются методом Гамильтона—Якоби [6]. При этом постоянные интегрирования

ац, а2г, а.ы, @и, вы, г = 1,2 (10)

2

есть аналоги соответствующих элементов Якоби в классической задаче двух тел с постоянными массами. При Иг1 = 0{Яг = 0) каждая система уравнений (6) определяет идивидуальное апериодическое движение по квазиконическому сечению:

ГН

ri = Yi(t)pi, pi =

1 + ei cos Vi,'

Vi = Ui - Ui, i = 1,2,

Pi = ai(1 - e2),

pi = pi(t) =

1

Pi

Ui =

VioiHt) VP¡

1 Piy/Pi IMoliit) P¡

sin vi,

Pi = ¡^1&0)Ш1(г0 )Ш0&0), PI = ¡№&0)Ш2&0 )[Ш0(Ь) + Ш1(Ь)},

Vi

+ \/Г+~ё1 Ei

tg Т = л-^ Т

2 1 - ei 2

ei < 1,

Ei - ei sin Ei = Mi, Mi = ni ф(t) - ф^п)}

ni =

Mi

Hi0a.

3/2 '

При Иг1 = 0 {Яi = 0) каждая система уравнений (6) определяет уравнения возмущенного движения в аналогах канонических оскулирующих элементов Якоби (10):

(11)

а к2

где

а к1

дК2

дРк2:

1

dRi

дРк1

рк1 = -

Рк2 = -

дК2 дак2,

dRi

дак1,

k = 1,2,3,

где ф1(t), ф2(t) — первообразные функции y i (t) и Y22(t), соответственно. Величины

ai, ei, Ui, Qi, ii,

— элементы орбиты — аналоги соответствующих кеплеровских элементов, и они связаны с выражением (10) по формулам

р2

-2ац = ——, a2i = fay/in, a3i = /3iy/p¡ cos ц, Hi0ai

P1i = -ф^п), P2i = Ui, Psi = Qi.

Координаты и скорости двух тел с приведенными массами ¡i1(t), ¡i2(t) в системе координат Якоби могут быть записаны в следующем виде:

xi = Yipi

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Астрономия»