ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 5, с. 823-829
УДК 519.63
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ОСКОЛКОВА НЕНУЛЕВОГО ПОРЯДКА
© 2015 г. А. О. Кондюков, Т. Г. Сукачева
(173003 Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, 41, Новгородский гос. ун-т) e-mail: k.a.o_leksey999@mail.ru; tamara.sukacheva@novsu.ru Поступила в редакцию 19.09.2014 г.
Описано фазовое пространство первой начально-краевой задачи для системы уравнений в частных производных, моделирующей течение несжимаемой вязкоупругой жидкости Кель-вина—Фойгта ненулевого порядка. Исследование проводится в рамках теории полулинейных уравнений соболевского типа на основе понятий относительно спектрально ограниченного оператора и квазистационарной траектории для соответствующей системы Осколкова, моделирующей плоскопараллельное течение вышеуказанной жидкости. Библ. 18.
Ключевые слова: уравнения соболевского типа, фазовое пространство, квазистационарные траектории, системы Осколкова, несжимаемая вязкоупругая жидкость Кельвина—Фойгта.
DOI: 10.7868/S0044466915050130
Система уравнений Осколкова
к
(1 - XV2)vt = vV2v- (v • V) v + ^p,V2w,- Vp + f,
0 = V • v,
i = 1
(1)
—1 = v + a,w,, a, e p, e R+, I = 1, K,
д t
моделирует динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина—Фойгта ненулевого порядка К (см. [1]). Здесь V = (Уь у2, •••, V"), Vк = ^(х, 1) — вектор скорости жидкости, р = р(х, 1) — функция давления,/ = (/1,/2, „.,/"),/к = /к(х) — вектор внешнего воздействия в точке (х, 1) е О х К, О с К", — ограниченная область с границей класса Сш. Параметры X, V е К+ характеризуют упругие и вязкие свойства жидкости соответственно.
В случае жидкости Кельвина—Фойгта нулевого порядка (К = 0) задача Коши—Дирихле для системы уравнений (1) в цилиндре О х К изучена в различных аспектах в [1], [2], причем экспериментально подтверждено в [3], что параметр X может принимать отрицательные значения. Известно, что при некоторых отрицательных значениях параметра X (а именно X-1 е ст(У2)) такая задача, вообще говоря, не разрешима (см. [4]). Поэтому возникает проблема описания множества корректности этой задачи, понимаемого нами как фазовое пространство (см. [5], [6]).
Пусть О с К2 — ограниченная область с границей дО класса Сш. В цилиндре О х К рассмотрим задачу Коши—Дирихле
У(х, У, 0) = Уо(х, У), ^(х, у, 0) = м>ю(х, у) У(х, у) еО,
2 (2) у(х,у, 0) = V2у(х,у, 0 = 0, V,(х,у, г) = 0 У(х,у, I)едОх К
для системы уравнений
2 К
(1 - XV )V ш, = vV ш - -7-7-+ У Р;V ( —--1 - —-- ) + я,
д(х, у) ' ( ду дх у
д^л = ——ш + а ™ (3)
——, " ду + ^
= -ддш + а^2, а; е К, I = КК, д, дх
которая получится из системы (1) при п = 3, если положить V = 0 и формулами V! = д, v2 = — ддш
ду дх
ввести функцию тока ш = ш(х, у, ?), определенную с точностью до аддитивной постоянной.
Таким образом, система (3) моделирует плоскопараллельное течение вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина—Фойгта К-го порядка.
Преимущество задачи (2), (3) по сравнению с задачей Коши—Дирихле для уравнения (1) заключается в том, что фазовое пространство уравнения (3) может быть описано полностью при любых значениях параметра Хе К. Изложению этого факта и посвящена данная работа.
Статья состоит из трех разделов: в разд. 1 задача (2), (3) редуцируется к задаче Коши для полулинейного уравнения соболевского типа и устанавливается однозначная локальная разрешимость этой задачи в случае Х-1 £ ст^2), в разд. 2 приводятся необходимые сведения из теории (Ь, ^-ограниченных операторов (см. [7], [8]), в разд. 3 устанавливается существование квазистационарных траекторий (см. [9]) в случае Х-1 е ст^2) и содержится описание структуры фазового пространства (или его морфологии) (см. [10]).
Все рассмотрения проводятся в вещественных банаховых пространствах, но при изучении "спектральных" вопросов вводится их естественная комплексификация, символами 0 и О обозначаются соответственно "единичный" и "нулевой" операторы, области определения которых будут ясны из контекста.
Отметим, что результаты данной работы обобщают результаты из [11] на случай модели Кельвина—Фойгта ненулевого порядка и дополняют результаты из [12].
1. РЕДУКЦИЯ К АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧЕ КОШИ В СЛУЧАЕ Х-1 £ ст^2)
Положим % = % х %,, где % = {ш е ^4 (О) : ш(х) = V2ш(x) = 0, х е дО}, % = пК= 1 {щ е е ^ (О) : щ(х) = 0, х е дО,] = 1, 2}; и = (ш, щп, Щгъ ^22, •••, Щк1, Щю), а/ = (%, 0, ..., 0 ), где
2К
% е Ь2(О).
Обозначим через ст^2) спектр однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа V2 в области О. Определим оператор Ь формулой
Ь =
( ~ ] Ь О
V О I У
(4)
где Ь = (1 — XV2), I — единичный оператор (матрица порядка 2К), О — нулевой оператор.
М : и
(М + м1]
V М2 У где
М = vV4ш - д(ш, V2ш)/д(х, у) + я,
(д V,, д"мг
М = X в,
, = 1
ду дх
м2 =
ду
- Я + 2
дх
I = 1, X
Лемма 1. 1) Формулой (4) задается линейный непрерывный фредгольмов оператор Ь е ^(Ш, 9) при любом X е К, причем если X-1 £ ст^2), то существует оператор Ь 1 е !£(9; Ш). 11) Формулой (5) задается оператор М е Сш(Ш, 9).
Доказательство. 1) Непрерывность оператора Ь очевидна, фредгольмовость вытекает из самосопряженности оператора X и из того, что если X-1 £ ст^2), то
= X
к = 1
( % Фк>
X к ( 1 - XXk )
Фк,
(6)
где {фк} — ортонормированное в Ь2(О) семейство собственных векторов задачи Дирихле для оператора Лапласа, занумерованное по возрастанию собственных значений {Xk} с учетом их кратности.
И) Непрерывность первой и второй производной Фреше оператора М : Ш ^ 9 в любой точке и е Ш очевидна. Остальные производные Фреше — тождественный нуль. Лемма доказана.
Отметим, что при доказательстве леммы 1 использовались результаты из [11] для операторов X и М.
На основании леммы 1 задача (2), (3) редуцируется к задаче Коши для полулинейного уравнения соболевского типа
Хй = М( и), (7)
и(0) = и0. (8)
Теорема 1. Пусть операторы Ь, Мопределены формулами (4) и (5) соответственно и X-1 £ ст^2). Тогда при любом и0 е Ш существует единственное решение и е Сш((—10, 10); Ш) задачи (7), (8), где 1о = ^0) > 0.
Доказательство. В силу леммы 1 уравнение (7) будет иметь вид
й = Т( и), (9)
где оператор Т = Ь-1М е Сш(Ш). Разрешимость задачи (8), (9) - классическая задача Коши (см. [13]). Теорема доказана.
Замечание 1. В последние десятилетия уравнения соболевского типа активно изучаются в разных аспектах, о чем свидетельствуют появившиеся монографии (см. [8], [14]—[17]).
зо
2. ОТНОСИТЕЛЬНО СПЕКТРАЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Пусть Ш, 9 — банаховы пространства, операторы Ь, М е ^(Ш; 9). Следуя [7], [8], введем в рассмотрение Ь-резольвентное множество рЬ(М) = {ц е С : (цЬ — М)-1 е ^(9; Ш)} и Ь-спектр стЬ(М) = С\рЬ(М) оператора М.
Определение 1. Оператор Мназывается спектрально ограниченным относительно оператора Ь (короче (Ь, ст)-ограниченным), если
За > 0 Уц е С (|ц| > а )^(це рХ (М)).
Теорема 2. Пусть оператор М(Ь, ст)-ограничен. Тогда существуют расщепления пространств Ш = Ш0 © Ш1, 9 = 90 © 91, Ш0 ^ кегЬ, 91 ^ 1т Ь и расщепление действий операторов Ь, М: Шк ^ 9к, к = 0, 1.
Доказательство. Проекторы Р е ^(Ш) и О е ^(9), определяющие искомые расширения, задаются интегралами типа Данфорда—Тейлора
р = — Г(ць - М)-1 ьйц, о = — (Ь(цх - М)-1 йц,
2 п и 2 я /л
г г
где контур Г = {ц е С : |ц| = г > а}. Теорема доказана.
Через Ьк(Мк) обозначим сужение оператора Ь(М) на подпространство Шк, к = 0, 1.
Теорема 3. Пусть оператор М(Ь, о)-ограничен. Тогда существуют операторы М01 е ^(90; Ш0) и Ц1 е Ш1).
Доказательство. Оператор М01 равен сужению оператора —— ("( цЬ — М)—1йц на 90, а опера-
2п/л
г
тор Ц1 — сужение оператора — ("(цЬ — М)—1йц на 91. Контур Г здесь определяется так же, как
2 п /л
г
при доказательстве теоремы 2. Теорема доказана.
Положим Н = М01 Ь0, £ = Ь-1 М1; очевидно, что операторы Н е ^(Ш0), ^ е ^(Ш1).
Следствие 1. Пусть оператор М(Ь, ст)-ограничен, тогда при любом ц е С, |ц| = г > а имеет место разложение относительной резольвенты в ряд Лорана:
да да
(ць - м)-1 = - ^ ц^мо1(I- о) + ^ ц-к/- 1ц1 о.
к = 0 к = О
Определение 2. Пусть оператор М(Ь, ст)-ограничен. Для Ь-резольвенты (цЬ — М)-1 оператора М точка да называется:
(1) устранимой особой точкой, если оператор Н = 0;
(И) полюсом порядкар е N, если Нр Ф 0, а Нр +1 = 0;
(И) существенно особой точкой, если Н = О при любом q е N.
Замечание 2. Будем считать для удобства устранимую особую точку полюсом порядка нуль. Тогда выражение "оператор М(Ь, с)-ограничен, причем его Ь-резольвента имеет в точке да полюс порядкар е N0" эквивалентно выражению "оператор М(Ь, р)-ограничен, р е N0".
Упорядоченное множество {ф1, ф2, ...} векторов из Ш называется цепочкой М-присоединен-ных векторов вектора ф0 е кегЬ\{0}, если Ьфq +1 = Мфч, q = 0, 1, ... и фq £ кег Ь\{0}, q = 1, 2, ... . Цепочка может быть бесконечной (в частности, она может быть закончена нулями, если ф0 е кег Ь п кег М\{0}), но она обязательно конечна, если в ней найдется вектор фр такой, что Мфр £ 1т Ь. В частности, вектор ф0 е кег Ь\{0} не имеет М-присоединенных векторов, если Мф0 £ 1т Ь.
Теорема 4. Пусть оператор М (Ь, 0)-ограничен. Тогда любой вектор ф е кег Ь\{0} не имеет М-присо-единеннъх векторов, причем кег Ь = Ш0, 1т Ь = 91.
Введем в рассмотрение условия, которые нам понадобятся в дальнейшем. А1) Оператор Ь — бирасщепляющий, причем любой вектор ф е кег Ь не имеет М-присоеди-ненных векторов.
Положим 90 = Н(кег Ь), 91 = 1т Ь. А2) 9 = 90 © 91.
Теорема 5. Пусть выполнены условия А1), А2). Тогда оператор М(Ь, 0)-ограничен. Замечание 3. Бирасщепляющими называются линейные операторы с дополняемыми ядром и образом (см. [18]). Теорема 5 — частный случай более общего результата из [9], устанавливающего необходимые и достаточные условия (Ь, р)-ограниченности оператора М. Простейший случай бирасщепляющего оператора Ь-фредгольмов оператор (тё Ь = 0).
Следствие 2. Пусть оператор Ь фредгольмов, причем любой вектор ф е кег Ь\{0} не имеет М-при-соединенных векторов. Тогда:
1) справедливо утверждение теоремы 5;
И) Ш1 = {и е Ш : (0 — О )М(и) = 0}, где О: 9 ^ 91 — некоторый произвольный проектор.
3. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ Т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.