ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ДВУМЕРНОЙ ФЕРРО-И АНТИФЕРРОМАГНИТНОЙ МОДЕЛЯХ ПОТТСА НА ТРЕУГОЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ
А. К. МуртазаеваЬ, А. Б. Бабаев""*
" Институт физики Дагестанского научного центра Российской академии наук 367003, Махачкала, Россия
ьДагестанский государственный университет 367025, Махачкала, Россия
€Дагестанский государственный педагогический университет 367003, Махачкала, Россия.
Поступила в редакцию 19 марта 2012 г.
На основе кластерных методов и классического метода Монте-Карло исследованы фазовые переходы в двумерных ферро- и антиферромагнитной моделях Поттса с числом состояний спина </ = 3 на треугольной решетке. Рассмотрены системы с линейными размерами Ь = 20-120. Используя метод кумулянтов Биндера четвертого порядка и гистограммный анализ данных, мы показали, что в ферромагнитной модели Поттса наблюдается фазовый переход второго рода, а в антиферромагнитной модели Поттса — фазовый переход первого рода. На основе теории конечно-размерного скейлинга для ферромагнитной модели Поттса рассчитаны статические критические индексы теплоемкости о, восприимчивости -у, намагниченности в и индекса радиуса корреляции и.
1. ВВЕДЕНИЕ
В последнее время интенсивно обсуждаются фазовые переходы (ФП) и критические явления (КЯ) в магнетиках, описываемых двумерными (2D) решеточными моделями Илинга и Поттса [1,2]. Особый интерес представляет 2£>-модель Поттса на треугольной решетке. Это обусловлено тем, что решеточные 2£)-модели Поттса на треугольной решетке описывают большой класс реальных физических систем: слоистые магнетики, пленки жидкого гелия, сверхпроводящие пленки, адсорбированные пленки и др. [3 5]. В частности, адсорбция инертных газов на адсорбентах типа графита может описываться моделями решеточного газа Поттса. Такие физически адсорбированные пленки дают экспериментальную реализацию ФП в двумерных системах [3,6]. Обычно антиферромагнетики с треугольной решеткой являются фрустрированными магнетиками. Однако необходимо отметить, что в случае модели Поттса с числом состояний спина q = 3 на треугольной ре-
* E-mail: b_ albert 78'fflmail.ru
шетке в основном состоянии фрустрация, обусловленная геометрией решетки, отсутствует (см. рис. 1) и магнитная система упорядочена при конечной температуре. Поэтому можно считать, что антиферромагнитная 2£)-модель Поттса с ц = 3 на треугольной решетке эквивалентна трехвершинной модели Поттса с тремя подрешетками А, В, С.
Несмотря на интенсивные теоретические исследования двумерных спиновых решеточных систем, описываемых моделями Поттса, в течение последних тридцати лет, к настоящему времени существует совсем немного надежно установленных фактов. Известно, что в чистой модели Поттса с состоянием </ > (¡с(О), где £> размерность системы, наблюдается ФП первого рода, а ФП второго рода в случае Ч < Чс((1) [3, 7]. Для 2£>-модели Поттса (¡с((1 = 2) = 4
[7], в то время как для 3£>-модели (¡с((1 = 3) = 2.45
[8]. При этом для (¡с((1 = 2) = 4 наблюдается ФП второго рода, а для (¡с((1 = 3) = 2.45 слабо выраженный ФП первого рода. Характер ФП в двумерной антиферромагнитной модели Поттса с ц = 3 па треугольной решетке до сих пор еще не ясен. По
®-----ф-----
' \
/ 4 ' \ ' \
/ N / ^ / \ — #-----&-----&
/ \ ' 4 ' \ / \ / \ ' 4 ' \ / \
' \ / ^ / 4 / <¿- — -0-----$-----ф——®
\ ' \ ' 4 / \ /
4 / \ / ^ / 4 /
4 > \ ' ^ / 4 / ----ф-----&-----ф
/ V / ^ /
я = -- 5« = 1,2,3,
(1)
ё-
\ / \ % /
-ф—&
Рис.1. Пример отсутствия фрустраций на треугольной решетке (антиферромагнитная модель Поттса с числом состояний спина ц = 3)
одним данным это слабо выраженный ФП первого рода [5,9,10], по другим переход второго рода [11].
В данной работе методом Монте-Карло (МК) и гистограммным методом анализа данных исследованы фазовые переходы и термодинамические свойства двумерных ферро- и антиферромагнитных моделей Поттса с числом состояний спина ц = 3 на треугольной решетке.
Отметим, что первые попытки исследования этих моделей методами вычислительной физики предпринимались в то время, когда мощности вычислительных машин и используемые алгоритмы метода МК не позволяли рассчитывать критические параметры с необходимой степенью точности.
2. ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ПОТТСА НА ТРЕУГОЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ
Приведем здесь формулировку 2£>-модели Поттса с числом состояний спина ц = 3 на треугольной решетке.
1. В узлах двумерной треугольной решетки расположены спины 5';, которые могут находиться в одном из ц = 3 состояний (см. рис. 1).
2. Энергия связи между двумя узлами равна нулю, если они находятся в разных состояниях (безразлично, в каких именно), и равна |7|, если взаимодействующие узлы находятся в одинаковых состояниях (опять же, все равно, в каких именно).
С учетом этих особенностей микроскопический гамильтониан такой системы может быть представлен в виде
где 7 параметр обменного ферро- (7 > 0) или
антиферромагнитного (7 < 0) взаимодействия, = { <Ч'-1И '4'
1 0, если 5; Ф 5'^.
3. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ
Кластерные алгоритмы метода МК [12,13] оказались мощными и весьма эффективными инструментами исследования критических явлений в различных системах и моделях [14,15]. Критические параметры, рассчитанные на основе данных, полученных с помощью кластерных алгоритмов, обладают высокой точностью и надежностью [14]. Из всех вариантов кластерных алгоритмов метода МК наиболее эффективным на сегодняшний день является алгоритм Вольфа [12]. Этот алгоритм был реализован нами для исследования двумерной ферромагнитной модели Поттса на треугольной решетке. Подробно детали реализации алгоритма Вольфа для спиновых моделей даны в работах [16 20]. В случае антиферромагнитной модели Поттса на треугольной решетке для выполнения условий эргодичности этот алгоритм использовался в сочетании с классическим алгоритмом Метрополиса метода МК.
Исследовались системы с линейными размерами Ь х Ь = N. Ь = 20 120. Начальные конфигурации задавались таким образом, чтобы все спины находились в одинаковом состоянии в случае ферромагнитной модели Поттса и в разных состояниях в случае антиферромагнитной модели Поттса. Для вывода системы в равновесное состояние вычислялось время релаксации то для всех систем с линейными размерами Ь. Этот неравновесный участок длиной то отбрасывали. Затем усреднение проводилось по участку марковской цепи длиной т = 150ть. Кроме того, для повышения точности расчетов проводилось усреднение по десяти различным начальным конфигурациям. Затем эти данные, полученные путем усреднения, использовались для последующего анализа.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ
Для наблюдения за температурным ходом поведения теплоемкости и восприимчивости использовались флуктуациоииые соотношения [21]
Рис.2. Температурная зависимость теплоемкости С для ферромагнитной 21)-модели Поттса на треугольной решетке
Рис.3. Температурная зависимость теплоемкости С для антиферромагнитной 21)-модели Поттса на треугольной решетке
С = (МК2) ((и2> - {и)2) , (2)
х = {МК) ((ш2) - (ш)2) , (3)
где К = \J\fkBT, N = Ь2 — число магнитных узлов, и — внутренняя энергия, т — параметр порядка системы, угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю. В качестве параметра порядка для ферромагнитной (тр) и антиферромагнитной {шаг) моделей Поттса использовались следующие выражения [22]:
тр =
тА¥ =
N„ + N0 + N. N
1/2
(4)
(5)
где Ма = {АГх, А^з}, N1 — число спинов в состоянии С ^ = 1, N2 — число спинов в состоянии с ^ = 2, N3 — число спинов в состоянии с д = 3, А^, А^, — число спинов соответственно в подрешетках А, В и С; N = 1А
На рис. 2 и 3 представлены характерные зависимости теплоемкости С от температуры Т соответственно для ферромагнитной и антиферромагнитной 2^-моделей Поттса с числом состояний спина д = 3 для систем с линейными размерами Ь = 20, 40, 60, 80. Здесь и далее на всех рисунках погрешность данных не превышает размеров символов, используемых для построения графиков. Отметим, что в зависимостях теплоемкости С от температуры для всех исследуемых нами систем проявляются четко
выраженные максимумы, и эти максимумы в пределах погрешности приходятся на одну и ту же температуру.
Для определения критических температур и анализа характера фазового перехода использовался метод кумулянтов Биндера четвертого порядка [23,24]: 4
= (6)
иь(Т) = 1 -
з(£2)!
(7)
3(т*(Т,Ь))Г
где Е — энергия и т — параметр порядка системы с линейными размерами Ь. Выражения (6) и (7) позволяют с хорошей точностью определить Тс при фазовых переходах соответственно первого и второго рода. Следует отметить, что применение кумулянтов Биндера позволяет также хорошо тестировать тип фазового перехода в системе. Известно, что фазовые переходы первого рода характеризуются, в частности, следующими отличительными особенностями [25]: усредненная величина Уь(Т) стремится к некоторому нетривиальному значению V* согласно выражению
У(Т) = V* + ЪЬ~* (8)
при Ь —>► оо и Т = Тс(1/), где V* отлична от 2/3, а минимальная величина иь,т1п(Т = расходит-
ся иь,тгп(Т = Тш1п) -оо при Л/ У оо, что и продемонстрировано на рис. 4 и 5 соответственно для исследованной нами антиферромагнитной 2^-модели Поттса с д — 3; максимумы теплоемкости С и восприимчивости х пропорциональны объему В слу-
иь(Т,р)
квТ/
Рис.4. Температурная зависимость кумулянтов Биндера Уь{Т) для антиферромагнитной 21)-моде-ли Поттса с д = 3
иь(Т,р)
0.56
0.60
0.64
0.68
квТ/\3\
1.54 1.56 1.58 1.60 1.62
квТ/^\
Рис.6. Температурная зависимость кумулянтов Биндера 17ь(Т) для ферромагнитной 21)-модели Поттса с д = 3
0.6625 -
0.6600
квТ/
Рис.5. Температурная зависимость кумулянтов Биндера 17ь(Т) для антиферромагнитной 21)-моде-ли Поттса с д = 3
Рис.7. Температурная зависимость кумулянтов Биндера Уь{Т) для ферромагнитной 21)-модели Поттса с д = 3
чае ФП второго рода кривые температурной зависимости кумулянтов Биндера 11ь(Т) имеют четко выраженную точку пересечения. Характерные зависимости кумулянтов Биндера 11ь{Т) для ферромагнитной 2^-модели Поттса от температуры для систем с разными линейными размерами Ь приведены на рис. 6. Как видно на рис. 6, в критической области наблюдается четко выраженная точка пересечения, что и свидетельствует о ФП втор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.