УДК 539.3;532.685
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ ГАЗОВЫХ ГИДРАТОВ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ: ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИЙ
УПЛОТНЯЮЩИЙСЯ СКЕЛЕТ © 2013 г. О. Я. Извеков1, А. В. Конюхов2
Московский физико-технический институт (государственный университет) 2Объединенный институт высоких температур РАН, г. Одинцово E-mail: izvekov_o@inbox.ru Поступила в редакцию 26.11.2012 г.
Развивается феноменологическая модель, описывающая поведение природных пористых сред насыщенных фазами, способными испытывать фазовые превращения, что приводит к изменению прочностных, реологических и транспортных свойств среды. Примером такого поведения является пористая среда, насыщенная газовыми гидратами, цементирующими частицы минерального скелета. При понижении давления/повышении температуры в такой среде имеет место диссоциация гидрата с образованием газа и воды. Образовавшийся флюид играет роль смазки между частицами скелета — упругая реакция сменяется вязкой, инициируются процессы уплотнения и многофазной фильтрации в деформирующемся скелете.
DOI: 10.7868/S0002333713060057
ВВЕДЕНИЕ
Природные отложения газовых гидратов значительно варьируются по составу и физическим свойствам. Наряду с монокристаллическими отложениями с малым относительным содержанием минерального остатка газогидраты могут также присутствовать в пористой среде в сравнительно малых количествах в виде частичного заполнения пор минеральной основы [Дмитриевский, 2009].
Целью настоящей работы является феноменологическое описание поведения природных пористых сред, насыщенных веществами, способными испытывать фазовые превращения, что приводит к изменению прочностных, реологических и транспортных свойств среды. Примером такого поведения является пористая среда, насыщенная газовыми гидратами, цементирующими частицы минерального скелета. При изменении термобарических условий в такой среде имеет место диссоциация гидрата с образованием газа и воды. Образовавшийся флюид играет роль смазки между частицами скелета — упругая реакция сменяется вязкой, инициируются процессы уплотнения (компакции) и многофазной фильтрации в деформирующемся скелете. Задача о консолидации пористого материала под действием массовых или поверхностных сил была поставлена в первой половине двадцатого века [Терцаги, 1943; Био, 1941] и изучалась в работах многих исследователей для различных грунтов и горных пород. Обзор этих исследований можно найти, например, в [Каракин, 1999].
Одной из особенностей химических и фазовых превращений в пористой среде является наличие большой площади поверхности раздела фаз, которая может оказывать влияние на фазовое равновесие в том случае, если поверхностная энергия становится заметной на фоне объемной составляющей энергии фазового превращения. В таких средах условия фазового равновесия могут достигаться локально, т.е. в порах различного размера одновременно могут быть устойчивыми различные фазы. На макроуровне данный эффект проявляется в том, что на диаграмме давление-температура вместо кривой фазового равновесия образуется протяженная область фазового превращения, в которой количество разложившегося газового гидрата является непрерывной функцией давления и температуры [Кондауров, Конюхов, 2011]. Подобный эффект (подплавление) учитывается также, например, в моделях динамики двухфазной астеносферы [Каракин, 1985]. При увеличении размера пор влияние поверхностной энергии на фазовое равновесие уменьшается, и данная область стягивается в кривую равновесия фаз, соответствующую классическому случаю фазового превращения газового гидрата. Построение моделей таких сред на основе микрофизических исследований неизбежно сталкивается с трудностями, связанными со сложным строением порового пространства и свойствами поверхности раздела фаз.
В настоящей работе, начатой под руководством профессора Кондаурова В.И., используется феноменологический подход, в рамках которого
67
5*
формулируются термодинамически согласованные уравнения кинетики вязкоупругого деформирования и фазовых превращений. Показано, что диссипация фазового превращения равна произведению скорости превращения и разности химических потенциалов флюидов и скелета. Поскольку разность химических потенциалов — знакопеременная функция, то диссипация фазового превращения неотрицательна, если скорость превращения пропорциональна указанной разности. Используемый подход непосредственно связывает термодинамический потенциал и кинетику фазового превращения.
КИНЕМАТИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
В основу построения модели насыщенной пористой среды положим континуальный подход [Сош8у, 2004; Кондауров, 2007]. Материальному элементу каждого из континуумов, составляющих пористую среду, припишем скалярные объемные доли фА, такие что
Ф, + Ф £ + Ф* = 1, Ф £ + Ф* = Ф>
(1)
где ф — пористость среды, индексы s, g, м/ означают скелет, газ и воду соответственно. В начальном состоянии пористость среды равна ф0. Насыщенность пористой среды флюидом а определяется как = фа/ф. Поэтому для объемных долей справедливы соотношения
Фа = Ф^а, ^ + = 1-
(2)
мени частицами континуума А, находящимися в текущий момент времени I в области %.
В векторной форме отображения отсчетных конфигураций на актуальную конфигурацию записываются в виде
Xл = Xа(х, г), х ех, Xа екЛО, г > 0.
Приращения радиус-векторов связаны соотношением
йХл = в л ■ йх, = ёй в л Ф 0,
т
где Оа = [V ® X а(х, г) ] — дисторсия континуума А. Массовые скорости имеют вид
VА = дхфА, г)/ д^XА ■
Имеет место уравнение совместности деформаций и скоростей
А' ' ^ТГ = -(У0 V А )Т ,
(3)
где материальная производная вдоль траектории континуума А:
й/ = з/ (X А, г)
йг дг
.Шй
дг
+ V -
V/.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ
Запишем закон сохранения массы скелета в форме Эйлера
Пусть — осредненная плотность массы скелета, состоящего из частиц горной породы и гидрата, га = фара — осредненная плотность массы флюида а в текущем состоянии, ра — истинная плотность флюида а. Далее используются обозначения Б=Sg, 1 — Б = Введем также следующие обозначения: капиллярное давлениерсар = р — рк, среднее давление флюида в порахр = Бре + (1 - р*.
Пусть материал скелета несжимаем, тогда истинные плотности составляющих скелета константы. В начальном состоянии масса гидрата, заключенная в единице объема, равна рАф^(х), где рп —
истинная плотность гидрата, ф^(х) — объемная доля гидрата в исходном состоянии, различная в общем случае для разных точек скелета. В текущем состоянии масса гидрата, заключенная в единице объема, равна ркфъ где фА(х, г) — текущая объемная доля гидрата.
Пусть актуальная конфигурация х — фиксированная область, в каждой точке х е х которой совмещены частицы твердого скелета и двух флюидов. Отсчетные конфигурации кА(?) — области пространства, занятые в начальный момент вре-
дг й
дг йг
(4)
где правая часть есть скорость изменения массы скелета в единице объема пористой среды, вызванная образованием или разложением газового гидрата, т — глубина фазового превращения [Кондауров, Конюхов, 2011].
В условиях стабильности природных газовых гидратов твердые фазы, составляющие скелет, частицы собственно скелета и газовый гидрат можно считать несжимаемыми. В этом случае параметр глубины фазового превращения т можно связать с объемной долей газового гидрата в скелете фА(х, г):
т = 1п(1 -фА) + С, где С — постоянная интегрирования.
Действительно, уравнения неразрывности для газогидратной и инертной составляющей скелета имеют вид
5(1 фЖр* + V • ((1 - ф)ф^,) = -(1 - ф)р*
дг
й,т
йг '
д(1 -Ф)(1)р* + V • ((1 -ф)(1 -Ф*)р*V,) = 0.
дг
Разделив первое из данных уравнений на рА, а второе на рм и сложив, получим уравнение для пористости
^ + V • ((1 -ф)у ,) = -(1 -ф) ^. dt dt
(5)
Вычитая полученное уравнение, умноженное на произведение фкръ из уравнения для газогид-ратной составляющей скелета имеем
_ 1 ds (1 - фк) = _ 1 -фн йг йг
Константу интегрирования выберем таким образом, чтобы т обращалось в ноль при объемной
доле газового гидрата в скелете фк:
m = ln ((1 -ф „)/ (1 -ф0)).
са. Все континуумы считаются неполярными. Предполагается, что справедливо представление
1 А(х, п) = п • ТДх),
где ^ — симметричный тензор парциальных напряжений Коши континуума А.
Запишем уравнение движения флюида а:
r - у. t = r g - bi!
'а . v *-a ' ao "o
dt
Уравнение равновесия скелета имеет вид
V- Ts = b int - rg.
(9)
(10)
Пренебрегая инерционными членами в уравнении движения флюидов (медленные течения) и силой тяжести, из (9) и (10) получаем уравнение равновесия для элемента пористой среды:
Максимальное значение m при таком определении достигается в состоянии полного разложения газогидрата mmax = - ln (l - ф°h). При малой насыщенности скелета газогидратной фазой глубина фазового превращения является малым параметром. Разложению гидрата соответствует положительный знак производной dsm/dt > 0.
Законы сохранения массы флюидов в дифференциальной форме имеют вид
^ + V- = (6)
dt dt
--—^ + V- (( - ) = , (7)
dt dt
где £,а = const — стехиометрические коэффициенты (массовые доли воды и газа в гидрате), + £,2 = 1.
Далее предполагается, что сила fA, действующая на континуум А, заключенный в области V, равна сумме трех слагаемых — контактной силы
fc rb
A, силы тяжести fA и массовой силы взаимодействия fТ континуума А с другими составляющими пористой среды:
V • T = о,
(11)
где T = T + I Ta — тензор полных напряжений.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И НЕРАВЕНСТВО ЭНТРОПИИ
Предположим, что компоненты насыщенной пористой среды находятся в локальном термическом равновесии, т.е. частицы скелета и флюидов, находящиеся в точке х в момент времени t, характеризуются одной абсолютной температурой 0(х, г) > 0.
Первое начало термодинамики для заключенной в области V пористой среды в этом приближении может быть записано в виде уравнения баланса полной энергии, равной сумме внутренней и кинетической энергий. С учетом уравнений неразрывности (4)—(7), уравнений движения (9), (10) локальный закон сохранения энергии можно привести к виду
I <
dAUA ' dt
f tb fint ,c t ,v r.int,^ J. = I(Ta : V® Va + b Ant • v a ) + V • q + rQ + Qm
fA = f
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.