ФЕРРОМАГНЕТИЗМ В МОДЕЛИ ХАББАРДА В ПРЕДСТАВЛЕНИИ МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ ОПЕРАТОРОВ
А. В. Зарубин, В. Ю. Ирхин*
Институт физики металлов Уральского отделения Российской академии наук 620990, Екатеринбург, Россия
Поступила в редакцию 15 июля 2011 1".
Рассмотрена модель Хаббарда для металла с сильными корреляциями в представлении многоэлектронных Л'-операторов. Получены общие самосогласованные выражения для одночастичных функций Грина с учетом флуктуационных поправок. Найдены области устойчивости насыщенного и ненасыщенного ферромагнетизма в основном состоянии на плоскости п—и (п — концентрация электронов, V — параметр кулоновского взаимодействия) для различных затравочных плотностей состояний (полуэллиптическая зона, квадратная, кубическая и гиперкубическая решетки).
1. ВВЕДЕНИЕ
Сильный ферромагнетизм коллективизированных электронов имеет место в ряде силыгокорре-лированных (/-соединений [1, 2], например, в полуметаллических ферромагнетиках [3]. Соответствующая многоэлектронная картина ферромагнетизма, учитывающая формирование локальных моментов, очень сложна и существенно отличается как от стонеровской (коллективизированные электроны в среднем поле), так и от гейзенберговской (локализованный магнетизм). Для ее анализа может быть использована простейшая модель Хаббарда [4].
В простейшем приближении Хаббард I [4] (см. ниже формулы (6)) магнитное упорядочение есть результат сужения и расширения спиновых подзон (а не постоянного спинового расщепления, как в теории Стопора). Однако оказалось, что это приближение, рассматривающее невзаимодействующие квазичастицы в хаббардовских подзонах, также не дает удовлетворительных результатов. В частности, Хаббард [4] не нашел магнитных решений для простых затравочных плотностей состояний (хотя ситуация может измениться в случае вырожденных ii-зон [5]).
Метод многоэлектронных А'-операторов Хаббар-да [2,6]
Xf =
(о = 0 означает дырки, а = 2 двойки, а а = = ±(f4) однократно занятые состояния на узле)
E-mail: Valentin.Irldiinö'imp.uran.ru
проясняет причину этой неудачи: выражения для функций Грина Хаббард I нарушают кинематические соотношения для А'-операторов. Действительно, в ферромагнитной фазе (при (5'~) ф 0) в простом квазичастическом (полюсном) приближении невозможно одновременно для обеих проекций спина а удовлетворить тождества
£ (А^АГ) = {А'00) = н0 = 6, (1)
к
где фурье-компоненты А'-операторов, п0
концентрация носителей тока (дырок), подробнее см. разд. 3.
Таким образом, необходим учет флуктуаций и некогерентных состояний, которые дают существенный вклад в электронный спектр.
Более успешным оказывается критерий неустойчивости насыщенного ферромагнетизма, учитывающий неполюсныо вклады и связанный с появлением спин-поляронного полюса функции Грина со спином вниз ниже уровня Ферми [7]. Однако этот подход по позволяет описать ненасыщенное ферромагнитное состояние.
Рот [8] применила к модели Хаббарда специальное двухполюсное приближенно и получила две критические концентрации носителей тока. Первая соответствует неустойчивости насыщенного ферромагнетизма и в пределе большого кулоновского взаимодействия V —¥ ос составляет для различных решеток около 30 % значение, которое было затем получено различными методами. Вторая соответствует
переходу из ненасыщенного ферромагнетизма в парамагнитное состояние, причем результаты для нее гораздо менее устойчивы.
В ряде работ, начиная с пионерской работы Нага-ока [9], исследовалась неустойчивость насыщенного состояния относительно переворота спина [10 13].
В предыдущих работах [14, 15] мы применили к модели Хаббарда с и = ос 1/¿-разложение для од-ночастичных функций Грина в многоэлектронном представлении с учетом продольных флуктуаций и получили интерполяционное описание насыщенного и ненасыщенного ферромагнетизма.
В настоящей работе мы обобщим это рассмотрение на случай конечных значений V и построим магнитную фазовую диаграмму с учетом насыщенного и ненасыщенного ферромагнетизма для различных решеток.
где па = {Хаа^
Гкгт(-Е) = - х>ч<дак°ч+•
ч
+ -ггй Е +4
1 1
х Е К-ч'ч-«* + (7)
ч
¿>\4 = .4 — (А) флуктуирующая часть оператора. Составляя уравнения движения для функции Грина (7) и выполняя расцепления членов с тремя Л'-операторами, запишем электронную функцию Грина (5) через самосогласованный локатор
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОДНОЭЛЕКТРОННОИ ФУНКЦИИ ГРИНА В ПРЕДСТАВЛЕНИИ Х-ОПЕРАТОРОВ
Запишем гамильтониан модели Хаббарда в многоэлектронном представлении [6, 16]
н = + <тЛ'!г)(АГ + «х^2) +
ксг
+ (2)
■I
где ¿к зонный спектр, явные выражения для обобщенных проекционных операторов Хаббарда имеют вид
Л7° = 4(1 -щ-л = ,т. (3)
Рассмотрим запаздывающую функцию Грина
= «с^кЛя =
= {{АП4Ь + Ьп^ > 0. (4)
Записывая пару уравнений движения для функций Грина в правой части (4), мы находим формальное решение
Оыт(Е) —
1
Дс <т(Е) ~ ¿к
-Рксг(-Е') - '"'/г.!' (8)
«ксг!-С )
По + Па- П-0+П2 /1 1 Ык<7 (Е) = ----Ь —-— + I — -77 I X
Е Е-и \Е Е-и
— Е-Ид-гт + Ц(пч-
'ч 1 Е2 - £(*„ + и) + тч(по + н_,
ЕПц—сг и^Пц—сг Пс^—сг ^к—д)
Е2 + Е(1Ч - и) - тч(п„ + п2)
и (■4 - -Д— I X
ч
Е Е — и
_ к—д_
ЧЕ* +Щ +Шч(п0+П„
О)
Ька(Е) = 1 - ( - „ 1 „ I X
Е Е — и
Еич-сг Ъ'Чц — а
Е2 - Е(1Ч + и) + тч(п0 + п.
ЕИц—гг сг '"'д—сг)
Е-2 + £(*ч - и) - тч(па + п2)
(10)
Оыг(Е) = С^(Е)[1 + £"(£')ГкСг(Е)]. (5) где п^ = {4ск<т) одночастичные числа заполне-
Здесь функции Грина в приближении Хаббард I выражаются через нулевой локатор:
1
Е°(Е) =
Е(Е - Ц) Е - и(п0 + п„
"ксг = (^^к7)' '"'ксг - Йксг = о(Х2_ъ (Ъ.<т) (Н)
и введены спиновые и зарядовые корреляционные функции
\<| " = {¿'с^-д}' К<1 " = {РцР-ц)'
12 ЖЭТФ, выи. о
977
(12)
= - ( Т++ — V-'
д 2^4 ^ ч
Р% ~ ■ Рч ~ 2 ^^ч2 -
Результат (8) соответствует первому порядку формального разложения по обратному координационному числу 1/г. При этом приближение Хаббард I [4] (результат расцепления на разных узлах) выступает в качестве приближения среднего поля по электронному переносу. Знаменатели в (9) и (10) можно выразить через функции Грина Хаббард I (6) и сопряженные функции Грина
=
1
Е(Е - Ц) Е - и(па + п2)
(14)
Заменяя функции Грина Хаббард I на точные, получаем
«ксг(-Е') =
По + п,т П-о- + П-2
Е
1 1
Е — и \Е Е — и
-Епч-„ + и(пч-
Е - и(п0 + п.
1-1'({ П V { 11(1 п I 'а а К
(Т — (Т \
Щ-1Т "<д-СГ Пк-Ч'
Е - и(п,т + п2)
и 14
Л
к—q
Е Е~и } ^ 'чЕ^и(п0+по
-Сгчгт(Е), (15)
^ксг (Е) — 1 (
Е Е — и
х
Е,2 ( у Ъ 'Иц^—{т ^ , р.
ч \ ~Е* ¥777. ГТ! '^ч-а-у-^ I
ч
Еп,
4 * Е-и(тю + п-с'"4'
■ц—аг ~~ fíq_сгу
Е - и(п,т + п2)
СГ(Е) . (16)
В свою очередь, для самосогласованной функции Грина С^сг(Е) необходимо записать свою систему уравнений. Разрешая ее, получаем
<Зьсг(Е) —
1
^ксг (Е) / г? \ ■
иьАь>
„ По+П-г Па+П2 . ( 1 1
аксг(£) = ——— +—— + I —--—- I х
Е-и Е
х ЕЧ -Е-Щ^ + п^)-Ст«-АЕ)
Е Е — V /
(7(7 \
ч \
Епч-а — и (п.
Ц-(7 Г
Е - и(п,г + п2)
■ и
1 1
Е^я
Л:
к—q
Е Е~и } ^ *чЕ^и(п0+по
СгчАЕ). (18)
Числа заполнения п^ выражаются через функции Грина (8) с помогцыо спектрального представления (ср. ниже (24)). Для определения недиагональных чисел заполнения п^ аналогичным образом вычислим функцию Грина
6ы(Е) = «ЛГ кО* =
1
(19)
РиЛЕ) =
ЬьАЕ)
В результате найдем
По + Пе
«ксг(-Е') =
Е
( Е'Пд-д + V (Пд-д \к ч)
£ 2—, 4 \ г тги,- I,,, \ "д-сг^Л )
ч
Е-и{п0+п-
Епч^„ - - п.
д-<т "к-д'
Е - и(п,г + п2) р. я
-С4ЧГТ(Е), (20)
Е ^ ЧЕ — и(п0 + п„
~КЛЕ) ~ 1 Е Е % ( Е-Щщ+п-„] +
Е'11 д-,7 — Ь ('/¿д_о- — Пд _ д- ) \ ^
Е-Щн^+нз) 7 ' '
Таким образом, мы вывели замкнутую самосогласованную систему уравнений. Полученные выражения могут быть использованы для анализа электронного спектра и различных фазовых переходов в модели Хаббарда с сильными корреляциями. При этом корреляционные функции возбуждений бозовского типа, вообще говоря, также должны находиться самосогласованно через соответствующие функции Грина. Кроме того, следует учесть динамику этих возбуждений. К сожалению, такая программа сталкивается со значительными вычислительными трудностями. Поэтому здесь мы используем для этих
корреляторов локальное приближение, заменяя их одноузольными значениями, определенными из правила сумм:
ш/и
\ — "'О
.-.С — (Т _
Л ч — 11-2 ,
Ад = (по + '"<т)('"-<т + П-2)
(22)
Тогда величины «к¡т(Е) и Ь^(Е) не зависят от импульсов, а при численном решении уравнений мы можем перейти к однократному интегрированию с плотностью состояний. Отметим, что для поведения электронных спектральных функций (особенно в низкоразмерных системах) импульсная зависимость корреляторов важна и приближение (22) может оказаться недостаточным. Однако для интегральных термодинамических величин и фазовой диаграммы оно удовлетворительно. Подчеркнем, что в отличие от локального приближения Хаббард III [17] выражения (8) (10) позволяют последовательно учесть эффект фермиевских возбуждений, причем без перехода к вспомогательной модели Андерсона, как это делается в динамической теории среднего поля
(БШТ) [18].
3. МАГНИТНАЯ ФАЗОВАЯ ДИАГРАММА
Поскольку, как это подтверждается дальнейшими вычислениями, ферромагнитное состояние в модели Хаббарда возникает при достаточно больших V, мы можем пренебречь зарядовыми флуктуа-циями и (в случае электронных концентраций п < 1) положить п-2 = 0. (Отметим, что в пределе больших и имеем п2 ос 1/Ц2.) Это позволяет нам зафиксировать число дырок п0 = 6 = 1 — п и решать самосогласованные уравнения только для намагниченности основного состояния тп = (5'~) = (щ — щ)/2 и химического потенциала
к
оо
[ ЪиСы(Е)(1-ПЕ)),1Е, (23)
ь
1
7Г
й- = но = ^{А'ГА^к) = к
= -^Е/ьиСкЛЯШЯЫЯ. (24) к
где /{Е) функция Ферми. С хорошей точностью решение уравнения для химического потенциала (24) по зависит от а. Выполнение этих правил
Рис.1. Магнитная фазовая диаграмма для квадратной решетки. Линии 1 и 2 — границы между ненасыщенным ферромагнетизмом и парамагнитной фазой (ФМ'-ПМ) и между насыщенным и ненасыщенным ферромагнетизмом (ФМ-ФМ') в многоэлектронном подходе, 3— граница между насыщенным и ненасыщенным ферромагнетизмом в приближении [7], 4 — результаты вариационного подхода [10], 5
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.