ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2008, том 42, № 2, с. 160-169
УДК 532.62:66.02
ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ ЧАСТИЦЕ ИОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ИМПУЛЬСОВ ДАВЛЕНИЯ НА ЛОКАЛЬНЫХ УЧАСТКАХ ЕЕ ПОВЕРХНОСТИ
© 2008 г. А. И. Мошинский, Е. В. Иванов
Санкт-Петербургская государственная химико-фармацевтическая академия
eim@users.mns.ru Поступила в редакцию 6.02.2006 г.
Рассмотрены задачи фильтрации экстрагента в "плоских" моделях пористых частиц под действием единичных импульсов давления на локальных участках их поверхности. Предложена вероятностная модель извлечения экстрагента из частиц при воздействии на них серии импульсов давления. Показано, что если интенсивность импульсов давления невысока, в частицах образуются зоны, где жидкость не обновляется и извлечение целевых компонентов из них происходит только за счет молекулярной диффузии.
Экстрагирование в системе жидкость-твердое тело описываются в научно-технической литературе, как правило, в рамках диффузионных моделей извлечения [1]. Между тем, большинство методов интенсификации этого процесса направлены на замену диффузионного механизма извлечения в крупных (транспортных) порах на конвективный. Фильтрация жидкости возникает в результате отжима сырья, соударения частиц друг с другом и рабочими органами аппарата, вследствие периодического изменения давления в системе при наличии в пористых частицах защемленного газа. Особенно интенсивный конвективный массопере-нос в частицах инициируется при возникновении и схлопывании в рабочем объеме большого количества паровых или парогазовых пузырьков. Это наблюдается в аппаратах с резким сбросом давления, вакуумного осциллирующего кипения, с ультразвуковой обработкой суспензии, роторно-пульса-ционных. Рост и схлопывание пузырьков происходит преимущественно на поверхности или вблизи поверхности твердых частиц, сопровождается формированием и распространением ударных волн. При их взаимодействии с частицами из крупных пор частично вытесняется экстрагент и заменяется "свежим", поступившим из основного объема жидкости. Вместе с экстрагентом из частиц удаляется целевой компонент, однако в крупные поры он поступает из системы мелких пор за счет молекулярной диффузии.
В случае быстрого (взрывного) вскипания жидкости или кавитационного схлопывания пузырьков в их окрестностях формируются нестационарные микропотоки с градиентом скорости до 107 с-1 и импульсом давления до 800-1000 МПа [2, 3]. Если пузырьки находятся на расстоянии не более 4-5 максимальных радиусов от твердой поверхно-
сти, то в нее ударяет тонкая кумулятивная струйка диаметром менее 0.1 мм со скоростью ~10 м/с [4]. Даже в режиме обычного кипения при спонтанном росте пузырьков градиент давления в локальных точках превышает 50 МПа/м, а градиент скорости перпендикулярно направлению микропотока - 105 с-1.
Наличие двух основных физических механизмов извлечения целевого компонента из пористых частиц (диффузии и конвекции) ставит вопрос об относительной их значимости на разных стадиях процесса. Учитывая, что в литературе преимущественно рассматриваются диффузионные модели извлечения, целью данной работы стало исследование конвективного (фильтрационного) массопереноса, возникающего в пористых частицах под воздействием импульсов давления на локальных участках их поверхности.
Модель извлечения целевого компонента из пористой частицы сформулируем следующим образом. В начальный момент времени целевой компонент растворен в экстрагенте и равномерно распределен по объему пористой частицы. В случае возникновения локального резкого (импульсного) увеличения давления, например, в результате схлопывания парового пузырька, в частице возникает фильтрационный поток экстрагента, который и выносит целевой компонент из частицы. На место вытесненного экстрагента поступает "свежий" из основного объема жидкости, окружающего частицу. При относительно редких воздействиях импульсов давления на поверхность частицы процесс извлечения целевого компонента в промежутке времени между импульсов давления можно рассматривать в бесконечном интервале времени. Вместе с тем, по крайней мере, на начальной стадии процесса, его анализ должен
опираться на нестационарные уравнения теории фильтрации в форме [5]:
кДр = др/дг,
где к - коэффициент пьезопроводности, который определяется особенностями взаимодействия фильтрационного потока и пористого скелета и т.д., м2 с-1 [5].
В общем случае наряду с уравнением фильтрации следует учитывать и уравнение конвективной диффузии в пористой среде. Пример такого подхода при стационарной двумерной фильтрации рассмотрен, в частности, в работе [6]. Как видно из соответствующего уравнения [6], если роль диффузионных эффектов массопереноса незначительная, то перенос целевых компонентов осуществляется в режиме идеального вытеснения. В данной работе акцентируется внимание на роли конвективного переноса целевых компонентов в пористой частице. В связи с вышесказанным, также будем считать, что перемещение целевых компонентов в каналах (крупных порах) происходит в режиме идеального вытеснения (высокое число Пекле, связанное с длиной канала).
Предположим, что локальные изменения давления и концентрация целевого компонента в экстрагенте не сказываются существенным образом на фильтрационных характеристиках жидкости и пористой частицы, в частности частица не разрушается. Учитывая эти допущения, уравнение фильтрации принимаем линейным.
Элементы (элементарные объемы) жидкости, втекающей при фильтрации в частицу при импульсном повышении давления в некоторой точке можно разделить на два класса: первый - те элементы, которые за бесконечное время так и не сумели выйти из частицы, второй - те элементы, которые покинули частицу. Траектории элементов определяются решением системы уравнений
йх = к др й"у - к др — - к др (1)
йг дх йг ду' йг дг'
Система уравнений должна быть дополнена начальными условиями, характеризующими место входа элементарного объема жидкости в пористую частицу. Полное решение уравнений (1) с определением функции р(х, у, г, г) в рамках принятых допущений и упрощений неоправданно сложно, поэтому далее будет исследована приближенная модель, опирающаяся на "плоскую" задачу. Хотя, как правило, она не соответствует реальной ситуации, но в силу большей, чем пространственный случай, простоты позволяет получить менее сложные количественные соотношения между параметрами и, как показывает опыт исследования фильтрационных проблем, дает верные качественные результаты.
Более того, ряд примеров гидродинамических течений показывают [7, 8], что наряду с качественным совпадением результатов, существует и не слишком грубое количественное различие в расчетах по плоским и пространственным моделям. При изучении новых явлений обычно начинают с задач, найти решение которых менее сложно, т.е. с плоского варианта (пример исследования кумулятивных струй в рамках "плоской" постановки [8, 9]).
Рассматриваемые пористые системы характерны для растительного сырья, в котором средние диаметры пор составляют й ~ 2 х 10 ^-Ю-4 м. Скорости движения жидкости в порах м> ~ 1.7 х 10-35 х 10-3 м с-1 [10, 11]. Физические свойства экстра-гента близки к физическим свойствам воды: ц ~ 10-3 Па с, р ~ 1000 кг м-3. Исходя из этого, даже при воздействии импульсов давления на поверхность частицы, критерий Рейнольдса для потока экстрагента в порах частицы имеет значения Ие ~ 0.03-0.5, поэтому можно использовать линейные уравнения фильтрации. Если и будут отклонения от линейного закона фильтрации, связанные с воздействием импульсов давления на поверхность частицы (например, около 10 м с-1 в точке удара кумулятивной струйки диаметром менее 0.1 мм [4]), то они носят локальный характер в пространстве и непродолжительны по времени.
Уравнение для распределения давления внутри пористого тела возьмем в виде [5]
V с^ + ^-р
^дх2 ду2
д р "д?
(2)
Рассмотрим процессы фильтрации в плоских моделях листового пористого тела "большой" толщины (в полупространстве) и в цилиндрической частице (в круге).
ФИЛЬТРАЦИЯ ЭКСТРАГЕНТА В ПОРИСТОМ ЛИСТОВОМ ТЕЛЕ
"БОЛЬШОЙ" ТОЛЩИНЫ (В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ) ПОСЛЕ ОДНОГО ИМПУЛЬСА ДАВЛЕНИЯ
Область течения определена в верхней части (у > 0) плоскости х , у (рис. 1). На участке границы -а < х < а , (а > 0) прилагается импульс давления. Начальное давление без ограничения общности можно принять нулевым. Это определяет начальное условие:
Р\г =
- 0.
(3)
Распределение давления по поверхности частицы зависит от способа создания импульса давления и может быть самым разнообразным. Для упрощения будем считать, что внутри локальной зоны размера а давление распределено равномерно по поверхности частицы. Тогда, в соответ-
0
У)
/ц
, д р 9 = -к ду
у = 0
Основной интерес для дальнейшего изложения будет представлять величина притока жидкости за бесконечное время
б (х) = 19 (х, х) йх.
(5)
Для решения задачи (2)-(4) воспользуемся преобразованием Лапласа. Пусть
р*(х, у, 5) = |ехр(-5Х)р(х, у, х)йх.
(6)
Рис. 2. Область течения экстрагента в сечении пористой цилиндрической частицы после одного импульса давления.
Интегральный приток жидкости определяется соотношением:
б(х) = ^
у; « = 0
Преобразуем согласно (6) уравнение (2) и условие (4):
1, |х| <а 0, |х| > а
кДр* = 5р*, р* \у = 0 = Р х-
(7)
Рис. 1. Область течения экстрагента в пористом листовом теле "большой" толщины (в полупространстве).
ствии с вышесказанным, граничное условие запишем в виде:
Г1, |х| < а
^ = 0 = Р8(х)х1», Iх >а- (Р>0), (4)
Локальный поток жидкости через границу в область у > 0 равен
Для определения б(х) в силу соотношения (5) достаточно принять в (7) 5 = 0, т.е. фактически можно использовать уравнение Лапласа Др* = 0 для функции р*(х, у, 0). Решение задачи (7) в этом случае имеет вид:
р
РР * = Р р = Р
к п
аг^ (
у
V х - а
- агС^ (
у
V х + а
(8)
(см. рис. 1). Здесь и далее функция р* будет использована только при 5 = 0. Ниже для нее применяется то же обозначение р*, но без аргумента 5.
Для интегрального притока жидкости б(х) получаем выражение
б (х) = ^-т2^. (9)
п а - х
Заметим, что в формулах (8) и (9) отсутс
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.