ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2009, том 45, № 1, с. 87-94
НАУЧНАЯ СЕССИЯ: ИННОВАЦИОННАЯ ЭКОНОМИКА: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ФИНАНСОВЫЕ ИННОВАЦИИ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКЕ*
© 2009 г. А. Н. Ширяев
(Москва)
1. ПЕРВЫЕ ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ ЦЕН
Построение правильных вероятностно-статистических моделей, описывающих динамику цен основных финансовых инструментов (таких как банковский счет, облигации, акции и т.д.), является, несомненно, одним из ответственнейших этапов на пути использования достижений финансовой математики и методов финансовой инженерии. Без правильных, адекватных моделей для цен не может быть и речи об успешном управлении риском (risk management), составлении оптимального портфеля ценных бумаг (portfolio optimization), распределении фондов (allocation of funds), расчетов в производных ценных бумагах (derivative pricing) и др. Основной акцент в статье сделан на конструкции гиперболических процессов Леви, широко используемых в последнее время в эконометрических моделях, описывающих движение финансовых индексов.
Будем считать, что S = (S)t >0 — цена одного (для простоты) актива.
Напомним, что первым, кто стал строить математическую модель эволюции движения цен, был Л. Башелье (Bachelier, 1900). Он считал, что St = S0 + ^t + aBt, где B = (B) t>0 — стандартное броуновское движение (гауссовский процесс с независимыми приращениями, непрерывными траекториями, B0 = 0, EBt = 0, E(Bt - Bs)2 = t - s, где E — математическое ожидание).
Важным этапом в понимании того, как изменяются цены, были исследования М. Кендалла (Kendall, 1953). Им был проведен эмпирический анализ (недельных) цен S = (S,)„>0 на пшеницу (Чикагский рынок, 1883—1934), хлопок (Нью-Йоркская торговая биржа, 1816—1951). Вопреки ожиданиям, этот анализ не выявил ни ритмов, ни циклов. Оказалось, что наблюдаемые данные выглядят так, как если бы "the Demon of Chance drew a random number and added it to the current
price to determine the next price": Sn = S0eHn, где Hn = h1 +-----+ hn — сумма независимых случайных
величин ("гипотеза случайного блуждания").
Следующие две работы сыграли важную роль в построении модели (неотрицательных) цен, в которой "случайность" описывалась броуновским движением. Это работы М.Ф.М. Осборна (Osborne, 1959) и П.Э. Самуэльсона (Samuelson, 1965), в которых предложили использовать для цен следующее представление:
S, = S0 eHt, H, = (ц - 0.5a2)t + oBt.
Процесс S = ( St)t >0 носит название "экономическое (геометрическое) броуновское движение"; по формуле замены переменных Ито
dSt = St(^ dt + a dB)
(как известно, эта модель легла в основу теории Блэка—Шоулса расчетов в опционах).
2. МАРТИНГАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ МОДЕЛЕЙ S = (S,)n>0
Будем записывать Sn в виде Sn = S0eHn, Hn = h1 + —+ hn (hn = log(Sn/ Sn_1) — "возврат", "логарифмический возврат"). Базисную роль в мартингальном подходе к описанию динамики движения цен играет разложение Дуба. Предполагается, что стохастические колебания рынка описываются фильтрованным вероятностным пространством (Q,F,(Fn)n>0,P) и E | Hn |< да, n > 0. Ясно,
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 0801-00740, 08-01-91205-ЯФ).
что hn = E(h|F„_D + (h„ - E(hn\Fn_1)) = цn + 8„, где ^n — -измеримы, 8n — Fn -измеримы. Последовательность (8 J является мартингал-разностью, т.е. Е | hn |< да и E(8n|= 0, n > 1.
С точки зрения разложения Дуба уместно сейчас рассмотреть некоторые традиционные модели.
1970-е годы (большие временные интервалы — год, квартал, месяц). В эти годы основными были линейные модели типа AR, MA, ARMA с hn = + ansn (т.е. Sn = ansn ), где цn и an — Fn-1 -измеримы, sn — стандартные нормально распределенные, ^"(0,1), и независимые случайные величины, n > 1. В случае:
— AR(p) -модели: ц n = ao + + - • + aftn-p, a n = const;
— MA(q) -модели: ^ = bo + Ьфn-1 + • • • + bq&n-q, ffn = const;
— ARMA(p,q) -модели: ^ = [ao + aA-1 + — + aphn-p] + [bo + b^n-1 + • • ■ + bqSn-q], an = const.
1980-е годы (анализ дневных данных). Основной интерес был связан с нелинейными моделями:
- ЛЯСН(р)-модель1 - hn = aпг„ ап = (ао + а¡Н2п_)х/2\
2
1/2
- GARCH(p,q)-MORem? — h„ = а„&„, ап = ( а + аfi2^ +
— бинарная CRR-модель — hn = log(1 + р„), где pn принимает два значения, рn > -1. 1990-е годы (внутридневный анализ данных). В эти годы основной интерес был связан с анализом данных, описываемых случайными процессами "тиковой" структуры (Ht = ^hkI(тk < t), где т k — тики) и процессами с непрерывными траекториями.
h 2
Отметим ряд недостатков модели St = S0 e ', Ht = (ц - a / 2)t + aBt, основанной на броуновском движении: dSt = St(^ dt + a dB) с постоянной волатильностью а. Реально наблюдаемый так называемый "smile effect" говорит о том, что на самом деле волатильность а не является постоянной величиной. Объясняется это следующим образом.
Рассматривается стандартный опцион-колл (опцион покупателя) с платежной функцией
(ST - K)+. Пусть C(t,x) = Ep[(ST - K)+1St = x] — цена опциона в момент времени t при условии St = x. По известной формуле Блэка—Шоулса находим C(t, x) = CBS(t, x;T, K,a). На рынке опционов есть, конечно, реальные цены C( t, x;T, K). Естественно предполагать, что если цены "хорошо" вписываются в модель Блэка—Шоулса, то должно быть выполнено соотношение
CBS(t,x;T,K,a) « C(t,x;T,K), из которого находим предполагаемую волатильность ö = ö(t,x;T,K). Фиксируем t, x, T. Тогда из эмпирических данных обнаруживаем, что ö (K) имеет U -образную форму с Kmin ~ x.
Первая коррекция модели Блэка—Шоулса была дана Р. Мертоном в (Merton, 1973) и заключалась в замене a ^ a(t). Вторая коррекция была предложена Б. Дюпиром (Dupire, 1994) и состояла в том, что a(t) предполагалось зависимым также и от St: a(t) ^ a(t, St).
3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНЫХ И ДВУМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПРОЦЕССОВ H = (Ht)t>0
В статистике финансовых данных известны следующие свойства величин ht(A) = log(St/St-д) для разных значений А > 0.
1. Эмпирические одномерные плотности p(A)(x), построенные по h(A), н2д, ... (при не очень больших А > 0), имеют форму, отличную от формы плотности нормального распределения. В окрестности центрального значения плотности p(A)(x) имеют пикообразную форму. При
x ^ ±да наблюдаются "тяжелые хвосты" — плотности pt(A)(x) убывают с ростом | x | много медленнее, нежели принято для нормального распределения.
1 AutoRegressive Conditional Heteroskedastic Model.
2 Generalized ARCH Model.
3 Cox, Ross, Rubinstein Model.
Экспонециальная броуновская модель
3 = ¿0 ехр(ц, + аБ,)
Экспонециальная броуновская модель с заменой времени
3 = ¿0 ехр(н.Д0 + Бдо)
2. Эмпирическая оценка автокорреляции (г = к Л)
р(лД) = [Е^л - Е^К^пл] / К«лГ
(Б — дисперсия) показывает, что при малых пЛ величины р (пД) отрицательны и для большинства значений р(пД) близки к нулю (некоррелированность).
3. Аналогичные оценки для автокорреляции абсолютных величин | | и | А*+пл | показывают, что эта автокорреляция для малых пЛ положительна.
4. МОДЕЛИ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРОЦЕССАХ ЛЕВИ
Поиски адекватных статистических моделей для описания динамики цен £ = (£г)г >0 привели к необходимости рассмотрения класса процессов Леви, к которым принадлежит и броуновское движение. Именно эти процессы занимают сейчас центральное место в моделировании цен финансовых индексов, характерной особенностью которых является то, что в их движении прослеживается скачкообразный механизм изменения.
4.1. Экспоненциальные модели, базирующиеся на броуновском движении. Если считать, что ц = 0, то в краткой форме приведенные модели можно представить в виде
£ — £о с ^— £ — £о с —^ £ — £0 с , •
где а • В обозначает стохастический интеграл |ст5ёВ5 ; В о Т — замену времени в броуновском
о
движении БТ(Г) (см. рисунок).
4.2. Экспоненциальные модели, базирующиеся на процессах Леви. Обобщение "броуновских" моделей, долго превалировавших в финансовом моделировании, основано на замене броуновского движения Б = (Бг)г>0 на процессы Леви Ь = (Ц)(>0:
£ — ^0 с ^— £ — ^0 с —^ £ — ^0 с .
Процесс Леви Ь = (Ь)г >0 — это процесс со стационарными приращениями, Ь0 = 0, непрерывный по вероятности. У таких процессов существуют модификации с траекториями, непрерывными справа (при г > 0) и имеющими пределы слева (при г > 0).
При аналитическом изучении процессов Леви центральную роль играет формула Колмогоро-ва—Леви—Хинчина для характеристической функции:
Е схр(ад =схр{ 6 - 2с +1(схр(ах) -1 -ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ том 45 № 1 2009
где h(х) = xI(\ x |< 1) — классическая функция "урезания", F(dx) — ст-конечная мера на R \ {0} с jmin(1,х2)F(dx) < да, b Е R, c > 0; (b,c,F) =: T — триплет характеристик L.
Стохастический анализ процессов Леви основан на представлении Леви—Ито для траекторий L = (lt)t>о:
t t Lt = Bt + LC + Jjh(x)d(ц - v) + JJ(x - h(x))dp,
о 0
где Bt = bt; Lct — непрерывная составляющая процесса L, Lct =4Cwt; Wt — винеровский процесс; ц — мера скачков:
M(©;(0,t] х A) = £Ia(AL,), A e B(R \ {0}) (ALS = Ls - Ls_);
0<s<(
v — компенсатор меры скачков ц:
v((0,t] х A) = tF(A), F(A) = f F(dx).
Ja
Мера скачков ц — это пуассоновская мера с
Eexp{i{lkinX(G) = exp{{(exp(iXk) - 1)v(Gk)}, n > 1,
где Gk — множества из R+ x R, v(dt, dx) = dtF(dx).
Примерами процессов Леви являются броуновское движение, процесс Пуассона, составной
процесс Пуассона Lt = "YN-£k, где (Nt)t>0 — процесс Пуассона, (2,k)kа1 — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин.
5. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В связи с финансовой эконометрикой значительный интерес представляют так называемые гиперболические процессы Леви, хорошо моделирующие реально наблюдаемые процессы H = (Ht)t>0 многих первичных финансовых инструментов — обменных курсов, акций и т.п. Большая заслуга в становлении теории таких процессов и их применений принадлежит Э. Хальфену, О.Е. Барндорфф-Нильсену, Э. Эберлейну.
Приведем (конструктивное) построение таких процессов, пользуясь во многом материалами из (Barndorff-Nielsen, Shiryaev, 2008, ch. 9, 12).
Для каждого процесса Леви (Ht)t>0: Ee'XHt = (E etXHl)'. Из свойств процес
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.