ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 96, № 1, с. 91-95
УДК 535.14
ФИЗИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА
О ПЕРЕПУТЫВАНИИ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИИ НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПОДСИСТЕМ
© 2004 г. А. М. Башаров, Э. А. Маныкин
Российский научный центр "Курчатовский институт", 123182 Москва, Россия E-mail: bash@online.ru; edmany@isssph.kiae.ru Поступила в редакцию 10.04.2003 г.
В рамках простых моделей измерения характеристик системы из двух невзаимодействующих между собой атомов показано, что неселективность измерения, связанная с неразличимостью квантовых подсистем по отношению к какому-либо общему для них параметру, приводит к перепутыванию атомных состояний выделенной таким образом подсистемы. Указанное перепутывание никак не связано с каким-либо коллективным процессом и обусловлено лишь эффективным измерением в перепутанном базисе. Установлена аналогия между приготовлением перепутанных состояний системы невзаимодействующих между собой подсистем при помощи квантовой редукции (измерения) и квантовой эволюции.
Перепутанные состояния квантовых систем играют важную роль как при исследовании квантовых корреляций, так и в анализе возникновения классического мира из квантового [1]. В простейшем случае чистого состояния составной системы перепутанность состоит в невозможности представить волновую функцию составной системы в виде произведения волновых функций ее подсистем. Количественным выражением перепутанности в простейшем случае двух систем служит энтропия одной из подсистем. Перепутанные состояния представляют собой один из основных ресурсов квантовой теории информации и в последнее время множатся публикации, в которых обсуждаются механизмы возникновения перепутанных состояний (см. обзор [2]). Кроме того, факт наличия или отсутствия перепутанности обусловливает необходимость описания системы при помощи матрицы плотности, а само возникновение перепутанности является также важным фактором декогерентности [3].
Обычно перепутанные состояния обязаны своим происхождением либо прямому взаимодействию между системами [4-6], либо опосредованному взаимодействию, например через вакуумное состояние электромагнитного поля [7-12]. в данном сообщении мы хотим обратить внимание на элементарные соображения, согласно которым перепутанные состояния всегда возникают в любых системах, состоящих из невзаимодействующих между собой частей, где какой-либо общий для системы и ее частей (малый) параметр позволяет разбить пространство состояний системы на физически различаемые подпространства, охватывающие составные части исходной системы.
Рассмотрим две квантовые системы А и В, волновые функции которых обозначим через |ТА) и |ТВ). Пусть системы не взаимодействуют между собой и в начальный момент времени их состояния не перепутаны, т.е. волновая функция |ТА + В) составной системы А + В равна произведению волновых функций подсистем в любой момент времени:
1^А + В) = В) -
Пусть каждая из подсистем эволюционирует во времени независимо от другой, однако оператор эволюции указанных систем можно разложить в ряд по одному и тому же параметру £ так, что можно записать
|^а> = 1^А0)) + £|^А1}) + £ 21^А2)) +..., 1^В> = № В0)> + £|^ В1}) + £2 |^В2)> + ....
Тогда общая волновая функция
|^А + В> = (|^А0)> + £|^А1)> + .}(|^В0)> + £|^В1)>.) =
= |^А0))|^В0)>+£(|<«)> + РА1)>|^В0)>) + ...(1)
формально выглядит перепутанной в любом, кроме нулевого, порядке указанного разложения, несмотря на то, что подсистемы по-прежнему остаются невзаимодействующими друг с другом. Проблемой остается лишь физическое выделение состояний, отвечающих нужному порядку в разложении (1). Мы сознательно избегаем использования термина теория возмущений, поскольку разложение (1) может быть и формальным и не по малому параметру.
Есть два способа приготовить систему в требуемом состоянии - это эволюция и проекционное измерение. Разложение (1) отвечает по сути дела квантовой эволюции системы. Однако выделение тех или иных состояний уже приготовленной квантовой системы, равно как и суждение об их реализации, возможно лишь при помощи процедуры измерения квантовой системы, осуществляемого путем взаимодействия квантовой системы с измерительным прибором. Здесь решающим обстоятельством, определяющим возникновение перепутанности в измеряемой системе, служит способность измерительного прибора различать характеристики, относящиеся к различным подсистемам исследуемой составной системы. При этом измерительный прибор разбивает пространство состояний составной системы на подпространства, вообще говоря, без всякой связи с состояниями, выделяемыми разложением (1). Однако, как показано ниже, существуют случаи, когда формальное разбиение системы на подсистемы при помощи разложения (1) может быть реализовано экспериментально хотя бы для одного порядка разложения (1). Таким образом, между приготовлением перепутанного состояния системы при помощи квантовой эволюции, заложенным в разложении (1), и проекционным измерением существует тесная связь, обусловленная фактором неразличимости квантовых подсистем по отношению к какому-либо общему параметру.
Пусть в качестве систем А и В выступают два одинаковых двухуровневых атома, а параметром £ является площадь возбуждающего их резонансного импульса классического электромагнитного поля с напряженностью электрического поля Е и несущей частотой ю:
Е = % ехр [г(кг - юг)] + к.с.,
г
£ = й йг'|%йе^.
0
Здесь % - медленно меняющаяся амплитуда электрического поля, d - оператор дипольного момента атома. Частота ю близка к частоте (Ее - Е)й атомного перехода |е) —- |#).
Если в начальный момент времени г = 0 атомы находились на нижнем энергетическом уровне |£>, то взаимодействие с резонансным импульсом переводит их в возбужденное состояние |е) (с некоторой вероятностью). В результате медленно меняющаяся часть волновой функции составной двухатомной системы для £ <§ 1 оказывается равной
|^А + В> = |£а)Ь) +
+ ¿£(|еАЖв) + е'е|£А>|ев>) +
(2)
где введен фазовый множитель еге, отражающий возможный набег фазы возбуждающего поля из-за различного положения атомов в пространстве, е = к(гв - гА), гА и гв - радиусы-векторы центра масс атомов. Кроме того, для простоты предположено выполнение условия строго резонанса ю = (Ее - Е^/й и малость рассматриваемого промежутка времени по сравнению с характерным временем излучения фотона. Индексы А и В отмечают величины, относящиеся к соответствующим системам А и В, а знак тильда всюду указывает на использование ненормированной волновой функции.
Из формулы (2) видно, что нулевой порядок теории возмущений характеризуется числом возбужденных атомов, равным нулю. Первый порядок теории возмущений выделяет подсистему, в которой число возбужденных атомов равно единице, причем неважно, какой атом является возбужденным. Для того чтобы экспериментально выделить указанную подсистему, необходимо выполнить проекционное измерение на подпространство состояний, в котором число возбужденных атомов равно единице. Для этого достаточно реализовать измерение, отвечающее проекционному оператору Р(е) = (|еА)Ы + е^ев^АЖеА КЯв l + е-е(ев Кяа |)/2,
т.е. выполнить измерение в перепутанном (бел-ловском) базисе. Подчеркнем, что именно требование неразличимости возбужденного атома приводит к необходимости проводить измерение в перепутанном базисе. По сути дела измерения в перепутанном базисе полностью аналогичны выделению подсистем формальным разложением в ряд (1). Имея в виду возможные экспериментальные реализации, отметим, что все эксперименты по телепортации и плотному кодированию основаны на измерении в перепутанном базисе. Мы укажем здесь лишь недавние работы [13, 14].
Таким образом, непосредственные измерения атомных состояний, приводящие к выделению той же подсистемы, что и в (1), должны выполняться в перепутанном базисе. Однако всегда ли так? На первый взгляд представляется, что для приготовления обсуждаемой подсистемы можно обойтись и без измерения в перепутанном базисе, если, например, абстрагироваться от конкретного состояния подсистем при помощи регистрации фотонов, излученных атомами, без фиксации излучившего атома. Рассмотрим эту возможность более подробно.
Прежде всего отметим, что приготавливаемые в результате регистрации фотонов подсистемы не совпадают с подсистемой, выделенной разложением (1), а являются результатом ее квантовой редукции. Указанные подсистемы характеризуются так называемыми апостериорными волновыми функциями [15, 16] и, вообще говоря, также будут в перепутанном состоянии. Однако для пе-
О ПЕРЕПУТЫВАНИИ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ
93
репутанности атомных состояний в рассмотренной выше простейшей системе, состоящей из двухуровневых атомов, не хватает "степеней свободы". Апостериорная волновая функция такой системы при регистрации фотона редуцируется к единственно возможному вектору пространства состояний без возбуждений |^А)|^В), так что после излучения фотона перепутываться нечему. Для того чтобы апостериорная волновая функция отражала перепутанность, заложенную в разложении (1), необходимо, чтобы начальная волновая функция одного или каждого из атомов имела бы более сложную структуру, например была бы суперпозицией двух атомных состояний. В принципе в качестве этих двух состояний можно рассмотреть и состояния |#) и |е). Однако мы для примера рассмотрим несколько более общую модель.
Пусть теперь в качестве систем А и В выступают два одинаковых трехуровневых атома с энергетическими уровнями |#>, |#') и |е). Для определенности будем рассматривать простейшую в данном контексте конфигурацию энергетических уровней - Л-конфигурацию [17], когда переходы |е) —► |#) и |е) —► |#') являются оптически разрешенными, а переход |#') —► |#) - оптически запрещенным. В начальный момент времени оба атома находятся в одинаковом суперпозиционном состоянии
|ТА0)В) = 008 а|£> + ЯП а|£'>,
(3)
с1 №а + В (0> = (- гЖ^г + deg\%__ 1) dЩ( г)
+ (Х'7%'| deg\ % •__!)) йЩ (г ))|у А + В (г)).
(4)
Здесь |\уА + В (г)) - ненормированная апостериорная волновая функция системы двух атомов, йЩ(г) = (йЩ(г ))2 - инкремент классического пу-ассоновского процесса, %- = С- ® 1 + е'в1 ® С
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.