ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 463, № 4, с. 414-417
= МЕХАНИКА
УДК 621.454.3 - 21:533.6.013.422
ФЛАТТЕР СЛОИСТОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ПОДКРЕПЛЕННОЙ КОЛЬЦЕВЫМИ РЕБРАМИ И НАГРУЖЕННОЙ ОСЕВЫМИ СИЛАМИ © 2015 г. В. Н. Бакулин, Е. Н. Волков, А. Я. Недбай
Представлено академиком РАН В.А. Левиным 14.11.2014 г.
Поступило 21.01.2015 г.
Исследуется сверхзвуковой флаттер слоистой цилиндрической оболочки, подкрепленной изнутри кольцевыми ребрами и нагруженной по торцам осевыми силами. Движение оболочки описывается уравнениями теории слоистых ортотропных оболочек. Решение уравнений ищется в виде тригонометрических рядов по осевой координате. С помощью метода Бубнова—Галёркина задача сводится к системе алгебраических уравнений, для анализа устойчивости которых используется критерии Ра-уса—Гурвица. На числовом примере показано влияние количества и высоты ребер на критическую скорость обтекания оболочки.
Б01: 10.7868/80869565215220090
В настоящее время при изучении проблемы панельного флаттера тонкостенных конструкций исследователи практикуют два подхода [1]. Первый подход характерен для конструкций, обтекаемых потоком газа со скоростями, соответствующими числам Маха меньше 1.5, и обусловлен использованием в задачах полных уравнений аэродинамики. При этом рассматривают два типа флаттера: дозвуковой (для скоростей, соответствующих числу Маха менее 0.9) и трансзвуковой (одномодо-вый), возникающий при скоростях, соответствующих диапазону чисел Маха от 0.9 до 1.5 [2, 3].
Второй подход характерен для конструкций, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа М > 1.5, и для описания его воздействия используется закон плоских сечений [4]. Кроме того, при втором подходе в зависимости от этапа проектирования, сложности конструкции, наличия исходных данных и необходимой точности расчета условно применяются три вида расчетных моделей.
По первой модели в исходных уравнениях пренебрегают всеми видами демпфирования [5]. В уравнениях второй модели учитывают только аэродинамическое демпфирование [6]. Наконец, в уравнениях третьей модели учитывают аэродинамическое и конструкционное демпфирование. Далее остановимся на двух последних моделях, которые наибо-
Институт прикладной механики Российской Академии наук. Москва e-mail: vbak@yandex.ru
АО "Корпорация "Московский институт теплотехники"
лее полно отражают процесс взаимодействия конструкции с газовым потоком.
Вопросы взаимодействия гладких цилиндрических оболочек со сверхзвуковым потоком газа в настоящее время изучены достаточно широко [6, 7]. Наиболее обширная библиография этих работ (750 наименований), представляющая самостоятельный интерес, приведена в [8]. Однако проблема поведения оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, оказалась практически незатронутой.
ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим шарнирно опертую ортотропную слоистую цилиндрическую оболочку, подкрепленную изнутри кольцевыми ребрами, обтекаемую сверхзвуковым потоком газа. Расчетная схема оболочки представлена на рис. 1. По торцам оболочка нагружена осевыми сжимающими силами. Между оболочкой и ребрами учитываются только радиальные составляющие контактного взаимодействия. Тангенциальной и осевой составляющими инерционных сил оболочки, а также взаимным влиянием инерционных сил ребер пренебрегаем. Конструкционное демпфирование в оболочке не учитывается.
Введем безразмерную систему цилиндрических координат, в которой все линейные размеры отнесены к радиусу срединной поверхности оболочки. Тогда уравнения движения оболочки, за-
ФЛАТТЕР СЛОИСТОИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОИ ОБОЛОЧКИ
г
415
писанные в функциях перемещения, можно представить в виде [9]
Ьлы + Ц^у + Ь^м + ¿^ф + ¿^У = (1)
5 = 1, 2, 3, 4, 5,
где
N
Z = BX
J=1
Си
5Р2
V Я2 + С —
+ C2J я/2 j dt
1
д w + dw + ' a8 „ 2 + a10 „ + a11 -dt da dt
Wj S(a - a j ) + dw.
LSj — дифференциальные операторы:
т _ д2 ^ 52 г _ г д2
Al + ^W' ^12 - L21 - a2 д„,
да др дадр
L13 - L31
'Р
А
да
L14 - L41 - L15 - L51 - 0'
д2 д2 д L99 — ai —г + a, —г as, L23 — L32 — a7 —,
22 1 да2 3 др2 5 23 7 др
L24 = L42 = L25 = L52 = а5>
y __/ ч д2 д2
¿33 - a3 - (a6 - a9)~ 2 - a5 ТТЛ'
да др
L34 — L43 — a
5
'43
L35 — L53 — a5~' L44 — a4 dp
.A
' 5a'
4 + a, ^ 5a 5p
л
- a6,
L45 — L54 — a2a4
5
2
a, =
L55 — a4
^ da
_ ^aP(1 -VaVp)
E a
2
^ д2 , д a, —2 + a3
дадр
2
- a5,
a4 =
h2
12R2
a5 =
dp2 l+V
_ 5Gez(1 - vaVp)
a2 _ a1 +Vв' a3 _ E'
E a
6E„
5Gaz (1 - v av в)
a6 =-—--' a7 = a3 + a5'
6E a
a8 = Bhp0' a9 — .
R
a10 —
_ BxPo • M
R
a.i =
_bXPo
B =
C _ J
C1J
= (1 -v av в) R2
E ah
C _ FJpj.
C2j -
R
T
П П n
К*"
Рис. 1. Расчетная схема.
начальное усилие; Ер Рр — модуль упругости и плотность материала р-го ребра; ¥ , 1] — площадь и момент инерции ребра; х, р0, с0 — показатель политропы, давление и скорость звука невозмущенного потока; М — число Маха; N — количество ребер; 8(а) — дельта-функция; — символ Кронекера.
Решение уравнений (1) будем искать в виде, удовлетворяющем условиям шарнирного опира-ния оболочки на торцах:
(U ф) = cos лр X (A1m A4m) cos yae
m=0
mt.
(V' v) = sin npX^A2m' A5m)sin
m=1
yae
w = cos np X A3m sin yaemt, m=1
где y = —' a0 = L — длина оболочки, ю — ком-
a 0 R плексная частота колебаний.
Подставляя (2) в (1) и используя метод Бубно-ва—Галеркина, получим бесконечную систему алгебраических уравнений относительно постоянной А
(2)
3m
m — 1
N
ы, V, м — безразмерные осевое, окружное и нормальное перемещения точек срединной поверхности оболочки; ф, у — функции сдвига; Я, к — радиус и толщина оболочки; Еа, Ер, Оаг,, О^г — соответственно осевой, окружной модули упругости и модули сдвига; va, Vp — коэффициенты Пуассона; р0 — плотность материала оболочки; Та — осевое
где
Skm^k - + X Qkm + a10Gkm
J - 1
k - 1, 2, 3, ...,
c _ Ak e _ kn
sk - """tF; , e - —, ao
2 -.2
A3m - 0,
(3)
fi(/> _ 2B(n - 1)
vkm -
a
■C1J- sin yaj sin ^aj,
0
a
a
a
да
да
да
V
416
БАКУЛИН и др.
М
16
0.25 7К
Редуцируя систему уравнений (3), с помощью метода Данилевского [10] приведем исходную матрицу к матрице Фробениуса. В результате получим характеристическое уравнение в следующем виде:
Хг — Аг —1 Хг 1 + А„
_2Хг_2_ ... _А1Х + Ао = 0, (4) где Аг - известные вещественные коэффициенты.
Полагая X = X + /Х2 и отделяя в (4) действительную часть комплексных собственных значений от мнимой, получим систему уравнений относительно Х1 и Х2. Понижая порядок уравнения для Х1 с помощью алгебраических операций и используя уравнение параболы устойчивости [6]
0Х1 = х2,
N = 1
а.
получим систему двух уравнений. Для г = 6 она имеет вид
0 2 4 Н
Рис. 2. Зависимость критического числа Маха от высоты ребер для сжатой оболочки.
—Х = а12 Ю + а11 Ю,
N
Ь0 Х1 + Ь1Х1 + Ь2Х1 + Ь3Хх + Ь4 Х1 + Ь5 = о, а0Х1 + а1Х1 + а2Х\ + а3Х2 + а4Х1 + а5 = 0,
(5)
2В
«0
. 2па,-
а0
&кт =
4 тк
а0 к2— т2
X С2, ^ , = 1
к ± т-нечетное число,
0, к ± т — четное число,
где
Ь0 = 6, Ь1 = 5А5 - 200, Ь2 = 602 - 10А50 + 4А4;
Ь3 = А502 - 4А40 +3А3, Ь4 = 2А2 - А30, Ь5 = А1,
а0 = А5 - 700, а1 = 8402 - 50А50 + 2А4;
а2 = 29А502 - 603 - 32А40 +3А3,
а3 = 6А402 - 17А30 + 4А2,
а4 = 5А1 - 6А20, а5 = 6А0.
Используя критерий Рауса- Гурвица, приравняем нулю результант этих уравнений:
Дк - алгебраическое дополнение и определи- Ь0 Ь1 Ь2 Ь3 Ь4 Ь5 0 0 0 0
тель матрицы, элементы которой имеют вид: 0 Ь0 Ь1 Ь2 Ь3 Ь4 Ь5 0 0 0
ап = —(^2 + аП), аи = а21 = а2 п,
0 0 0 0 Ь0 Ь1 Ь2 Ь3 Ь4 Ь5
а1з = —аз1 = Vp£,, а0 а1 а2 а3 а4 а5 0 0 0 0
а 14 = а 15 = а24 = ац = а42 = а51 = 0, 0 а0 а1 а2 а3 а4 а5 0 0 0
22 а22 = -(а1 + а3п ) — а5, а23 = —а32 = —а7п, 0 0 0 0 а0 а1 а2 а3 а4 а5
= 0.
(6)
а25 = а52 = а5,
а33 = а3 + (а6 _ а9)£, + а5п ,
аз4 — —а4з — аб ^, а 35 — —— —п,
22
= -а4(£, + а1п ) — а6, а45 = а54 = а2а4п£,,
55
= — а4(а1 + а3п ) — а5.
Характеристическое уравнение (6) позволяет определить критическую скорость потока в зависимости от конструктивных параметров оболочки.
ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР
В качестве примера рассмотрена оболочка, подкрепленная одинаковыми прямоугольными ребрами и нагруженная осевой сжимающей силой. Коли-
а
8
2
12 = а8 +
а
ФЛАТТЕР СЛОИСТОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
417
чество ребер и их высота Н варьировались. Базовые параметры оболочки и ребер были следующие:
Е Е,)
L R
= 6.0,
R
= 0.02,
= 1.6,
(Gaz, Gbz, Gab ) _ о 23
Ea
va = 0.15, Vp = 0.24, b — фиксированная ширина ребра.
На рис. 2 показано изменение критического числа Маха в зависимости от безразмерной высо-
ты H =
Гт 102 H
R
ребер для оболочки, нагруженной
сжимающими силами Т= 0.25 Ткр (Ткр - сила потери устойчивости неподкрепленной оболочки). Из приведенного примера следует: наличие ребер сильно влияет на критическую скорость обтекания - для линейного участка графиков увеличение высоты ребра в 2 раза увеличивает критическое число Маха в 2 раза;
для оболочки с одним ребром при действии сжимающей силы увеличение высоты ребра Н > 3 не приводит к увеличению критического числа Маха; для трех ребер указанный эффект отсутствует.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 14-08-01026-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматлит, 1961. 340 с.
2. Веденеев В.В. Одномодовый флаттер пластины с учетом пограничного слоя. // Изв. РАН. МЖГ. 2012. № 3. С. 147-160.
3. Веденеев В.В., Гувернюк С.В., Зубков А.Ф., Колотников М.Е. Экспериментальное исследование одномодового флаттера в сверхзвуковом потоке газа // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 2. С. 161-175.
4. Ильюшин А.А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // ПММ. 1956. Т. 20. № 6. С. 733-755.
5. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Физматлит, 1967. 984 с.
6. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969. 695 с.
7. Москвин В.Г. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки из линейного вязкоупругого материала в сверхзвуковом потоке газа. Тр. VIII Всесо-юз. конф. по теории оболочек пластин. М.: Наука, 1973. С. 527-537.
8. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пласти
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.