ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2013, том 450, № 6, с. 659-661
== ФИЗИКА
УДК 538.945.5
ФЛУКТУАЦИИ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
НАМАГНИЧЕННОГО КВАНТОВОГО ЦИЛИНДРА В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ © 2013 г. П. А. Эминов, С. В. Гордеева, В. В. Соколов
Представлено академиком А.С. Сиговым 27.12.2012 г. Поступило 10.01.2013 г.
DOI: 10.7868/S0869565213180102
ВВЕДЕНИЕ
После открытия графена — устойчивой плоской системы толщиной в один атом, а также нанотру-бок — полых цилиндров, на поверхности которых реализуется двумерный газ подвижных носителей, значительно возрос интерес к проблеме поверхностной сверхпроводимости [1]. В работах [2, 3] построена теория плоского двумерного сверхпроводника с учетом спин-орбитального взаимодействия, в том числе и в параллельном магнитном поле. Сверхпроводимость нанотрубок теоретически изучалась многими авторами. Зависимость критической температуры от радиуса углеродной нанотрубки и энергии Ферми численно рассматривается в [4—6]. Микроскопическая теория сверхпроводимости электронного газа на цилиндрической поверхности построена в работах [7— 10]. Однако флуктуации, играющие существенную роль в системах пониженной размерности, какой является нанотрубка, в литературе не рассматривалась.
В настоящей работе впервые исследован флук-туационный вклад в термодинамические свойства намагниченной нанотрубки полупроводникового типа, находящейся при температуре выше критической.
ФЛУКТУАЦИОННЫЙ ВКЛАД В ТЕПЛОЕМКОСТЬ И НАМАГНИЧЕННОСТЬ НАНОТРУБКИ ВЫШЕ ТОЧКИ ПЕРЕХОДА
В трехмерных металлических сверхпроводниках область температур вблизи критической, в пределах которой флуктуации параметра порядка у
Московский государственный университет приборостроения и информатики Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики"
становятся большими, а теория Гинзбурга-Ландау неприменимой, является относительно узкой [11, 12]. Флуктуационные поправки к термодинамическим величинам вне этой области малы, но они могут быть существенными для магнитных свойств нормальной фазы вблизи точки перехода. Например, флуктуационный вклад в магнитную восприимчивость нормального металла вблизи точки перехода, вычисленный в рамках теории Гинзбурга-Ландау, возрастает пропорционально
(Т - Тс)-1/2 и представляет собой основной вклад в диамагнитную восприимчивость металла, находящегося при температуре выше критической температуры [12].
Изменение свободной энергии нанотрубки в теории Гинзбурга-Ландау определяется функционалом [12]
^ [у] = ¥ - ¥„ =
1 -ih\ - 2e A
4m c
+ a
'I2 + 21
dS.
(1)
Здесь интегрирование проводится по цилиндрической поверхности с радиусом Я, ¥п — свободная энергия в нормальном состоянии, когда у = 0, величина а зависит от температуры по закону а = а(Т - Тс), параметр а > 0, т и е — масса и заряд электрона, A — векторный потенциал магнитного поля. Из-за малости флуктуаций в подынтегральной функции далее мы будем сохранять только квадратичные по параметру порядка у слагаемые.
Как показывает анализ, впервые приведенный
в [13], при условии
2-Ф-
< 1, где ¥ 0 = - од-
2 e
ноэлектронный квант магнитного потока, ф — магнитный поток через сечение цилиндра, энергетически выгодно спариваться электронам с противоположными по знаку квантовыми числами. Для этого случая зависимости критической
S
660
ЭМИНОВ и др.
AF = -T ln
Dy
(2)
температуры и свободной энергии от параметров
нанотрубки, включая и параметр 2—, получены
^ о
в работе [8]. С учетом периодической зависимости ширины щели от магнитного потока [14] следует достаточно периодически с периодом, равным 1, продолжить результаты работы [8] на
о Ф
весь диапазон значений параметра 2—*-.
^ о
Для вычисления флуктуационного вклада AF в свободную энергию функционал (1) рассматривается как эффективный гамильтониан, определяющий AF согласно формуле [12, 15]
Нр
где функциональное интегрирование проводится по всем распределениям у = у (г).
Вычислим интеграл по траекториям (2) с помощью рядов Фурье. Векторный потенциал однородного магнитного поля, направленного вдоль оси г, совпадающей с осью цилиндра, выберем в виде
Л = (-1, | ,о). о,
Варьирование квадратичной части (1) по переменным у и у*, которые рассматриваются как независимые переменные, дает уравнение
=_й! (у _ 2е А)2 ¥ + = о. (4)
5у* 4т \ с ! Таким образом, функцию у = у (г) можно разложить в ряд по собственным функциям эрмито-вого оператора
2 = - — А)2 + а (5)
4ш с ! на цилиндрической поверхности.
В цилиндрических координатах собственные значения и соответствующие им собственные функции задачи Штурма—Лиувилля для оператора 2 на цилиндрической поверхности определяются энергией и волновыми функциями стационарных состояний частицы с массой М = 2т и зарядом д = 2е, которые задаются формулами
е (n, рз) = е у (n, Рз ) =
n +
ф ф.
\2
0
2
Рз
2M'
1
imp+izp3
(6)
(7)
>j2nRL
где n е Z — азимутальное квантовое число, р3 —
1
продольный импульс, 6
2MR2
— энергия раз-
мерного конфайнмента, S = 2п RL — площадь поверхности нанотрубки, ф = nR 2И — магнитный
2пп с
поток через сечение трубки, ф0 =--полови-
ы
на одноэлектронного кванта магнитного потока.
Разложение функции у = у (г, ф) по собственным функциям оператора (5) представляется в виде двойного ряда Фурье:
у (г, ф) = Xс Рз (8)
«, Рз
где с (п, р3) = с' (п, р3) +1с'' (п, р3) — произвольные комплексные коэффициенты.
Подставив (8) в (1) и вычислив гауссовы интегралы по всем йС и ёе", для величины AF в формуле (2) получаем следующий результат: AF =
= —T
X J dp3
(L 2п
ln-
nT
Рз 2M
(n-
))2
+ a (T — Tc)
2МЯ2 " (9)
При больших энергиях Е = Е (п, р3) сумма и интеграл в формуле (9) расходятся. Как и в трехмерном случае, эта расходимость связана с тем, что формула (1) применима только при медленно меняющихся у = у (г, ф) — изменение у должно быть мало на расстояниях порядка длины когерентности [12].
Ограничим область суммирования по п и интегрирования по р3 в формуле (9) с помощью 0-функции Хевисайда, считая допустимыми лишь значения квантовых чисел п ир3, удовлетворяющие условию
n +
2
Рз
2
Ро
о У
+ < E = 2M 2M
(10)
Воспользуемся далее формулой суммирования Пуассона
+TJ
X f(n) = X Jexp (2пikx) (x)dx (11)
n
и перейдем к полярным координатам (Р, ф):
x = pR cos ф, Рз = Р sin ф. (12)
В результате получаем следующее выражение для флуктуационного вклада в изменение свободной энергии:
S = - (()Х Jpdpe " Фо Jo (2п\k\Rp)x
kо
X ln-
nT
2 , (13)
р2 /2М + а?
где г = Т - Тс, J0 (х) — функция Бесселя нулевого порядка действительного аргумента.
Двукратное дифференцирование (13) по переменной г дает первую флуктуационную поправку
n -ж
ФЛУКТУАЦИИ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
661
к теплоемкости квантового цилиндра в магнитном поле в области применимости теории Гинзбурга—Ландау:
T
\ 2
S -- lb 2 <2M )2 s
k=-<&
-2nik
ф
• * ■ e>
(14)
Здесь К1 (х) — функция Макдональда и введены обозначения
р = 2п |к|Я, Ь = л12М а (15)
Для сравнения приведем результат работы [10] для разности теплоемкостей сверхпроводящей и нормальной фаз электронного газа квантового цилиндра при Т ^ Тс:
АС = 2п „ 5 (3)
Ф * (16) Ф
х mTc
1 + 2S J0 (2nkRpF)cosI 2nk—
k=i V
где 2, (х) — дзета-функция Римана, р¥ — импульс Ферми электронного газа нанотрубки.
Для флуктуационного вклада в намагниченность квантового цилиндра выше точки перехода получаем формулу
AMz
= -—S sin I 2nk -^Л К1 (cy ),
Ф •
k=1
Ф(
(17)
где приняты обозначения
с = 2пк, у = Я/ 2М а (Т - Тс). (18)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Как это следует из результатов (13),(14) и (17) , флуктуационные вклады в свободную энергию и соответствующие термодинамические величины испытывают осцилляции Ааронова—Бома.
Формула (14) допускает предельный переход к плоскому 2D-случаю, когда поверхностная плотность электронов фиксирована, а радиус цилиндра Я ^ да.
Воспользовавшись асимптотикой функции Макдональда
Ki (x )\ x<i = I,
(19)
из формулы (14) в предельном случае плоской структуры получаем
AC S
Tc\2 Ma
(20)
\2я/ Т - Тс
В трехмерном случае флуктуационная поправка к теплоемкости в области применимости теории Ландау была вычислена в работе А.П. Лева-нюка и определяется формулой [11]
= ^ (2M a )3/V V 16л ; #
1
(21)
Сравнение показывает, что если в трехмерном случае флуктуационная поправка к теплоемкости при приближении температуры к критической температуре увеличивается пропорционально
(T - Tc )-1/2, то в случае плоской структуры она
возрастет пропорционально (T - Tc) 1, т.е. роль флуктуационных эффектов существенно возрастает с уменьшением размерности системы.
Результат (21) получается также из формулы (1) на с. 525 работы [11], если при интегрировании учесть изменение фазового объема при переходе от трехмерной к двумерной системе.
Таким образом, в работе получены аналитические формулы, описывающие зависимость от характерных параметров системы флуктуационно-го вклада в термодинамические свойства намагниченного квантового цилиндра и показано, что роль флуктуаций становится существенной вблизи точки перехода. Детальное количественное сравнение полученных результатов с термодинамическими свойствами квантового цилиндра в продольном магнитном поле будет проведено отдельно.
Работа выполнена в рамках проекта РФФИ 12-07-12031.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гинзбург В.Л. // УФН. 2004. Т. 174. № 11. С. 12401255.
2. Gorkov L.P., Rashba E.I// Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. № 3. Р. 037004-1-037004-4.
3. Barzykin V., GorkovL.P. // Phys. Rev. Lett. 2002. V 89. № 22. Р. 227002-1-227002-4.
4. Benedict L.X., Grespi V.H., Louie S.G., et al. // Phys. Rev. B. 1995. V. 52. № 20. Р. 14935-14940.
5. Sasaki K., Jiang J., Saito R. // J. Phys. Soc. Jap. 2007. V. 76. № 3. Р. 033702-1-033702-4.
6. Gonzalez J. // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88. № 7. Р. 076403-1-076403-4.
7. Эминов П.А., Сезонов Ю.И. // ЖЭТФ. 2008. Т. 134.
B. 4 (10). С. 772-778.
8. Эминов П.А., Ульдин А.А. // ФНТ. 2011. Т. 37. № 4.
C. 356-359.
9. Ермолаев А.М., Кофанов С.В., Рашба Г.И. // Bicnik XHY Фiзика. 2010. № 915. В. 14. С. 5-10.
10. Eminov P.A., Yl'din A.A., Sezonov Ya.I., et al.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.