ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 96, № 1, с. 107-116
ФИЗИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ^^^^^^^^^^ ОПТИКА
УДК 535.32/58
ФОКУСИРОВКА СИНГУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ
© 2004 г. А. В. Воляр, Т. А. Фадеева
Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, 95007 Симферополь, Крым, Украина
Поступила в редакцию 22.01.2003 г.
В окончательной редакции 20.05.2003 г.
Рассмотрен процесс фокусировки неоднородно поляризованного лазерного пучка, прошедшего систему, содержащую одноосный кристалл и поляризационный фильтр. Показано, что действие этой системы аналогично действию фазового транспаранта со сложным рельефом показателя преломления. В частности, при условии, что угол между осями четвертьволновой пластинки и поляризатора составляет 45°, соответствующий транспарант имеет геликоидальный фазовый рельеф. Одновременно в транспаранте возникают два сингулярных пучка с различной кривизной волнового фронта. Действие линзы выражается в формировании комбинированного сингулярного пучка, имеющего три фокальных перетяжки. Краевая волна, возникающая при фокусировке, способна не только формировать новый спектр тороидальных вихрей, но и распрямлять область фокусировки, образуя достаточно протяженную область со слабой расходимостью.
ВВЕДЕНИЕ
Использование сингулярных пучков, переносящих продольные и поперечные оптические вихри [1], например, в устройствах для захвата и транспортировки микрочастиц [2] или в волоконно-оптических датчиках физических величин [3], так или иначе связано с острой фокусировкой модово-го пучка. Как правило, даже слабая асимметрия апертуры микрообъектива, наличие неизбежной расцентровки оптических элементов рабочей системы или частичное обрезание сингулярного пучка может вызвать существенные структурные изменения волнового поля [1]. Так, за счет дифракции пучка Лагерра-Гаусса Ь001 с I Ф 1 на плоском экране вырожденный оптический вихрь с топологическим зарядом I расщепляется на I оптических вихрей с единичными топологическими зарядами и, кроме того, вблизи области геометрической тени происходит зарождение системы топологических мультиполей. Примером аналогичного изменения структуры поля является генерация оптического вихря при дифракции фундаментального гауссова пучка на краю оптического клина [4], в процессе которой волновое поле без фазовых син-гулярностей превращается в волну, переносящую почти идеальный единичный оптический вихрь (или семейство таких вихрей). Тем не менее, симметричная фокусировка простейших сингулярных пучков типа лазерных мод ТЕМ01* не вносит существенных структурных изменений в поле, не считая формирования аномальных колец Эйри в окрестности фокальной плоскости (тороидальных вихрей) и связанных с ними дислокационных реакций на периферии пучка [5]. По мере увеличения апертуры линзы аномальные кольца постепенно взаимно аннигилируют и структура поля в фокальной плоскости становится практически идентич-
ной исходной. Моды высших порядков ведут себя аналогичным образом. Структурным изменениям не подвержены не только продольные оптические вихри на оси, но и вырожденные кольцевые дислокации, охватывающие ось. В то же время даже ра-диально симметричные искажения распределения амплитуды пучка Лагерра-Гаусса вызывают нарушения его структурной устойчивости [6]. Наиболее ярко такие искажения проявляются в окрестности фокальной плоскости линзы.
С другой стороны, в работе [7] мы уже касались вопроса формирования неоднородно поляризованного сингулярного пучка непосредственно за выходной гранью одноосного кристалла, в котором можно управлять положением оптических вихрей за счет вариаций профиля состояний поляризации в поперечном сечении пучка при условии сохранения гауссовой формы его амплитуды.
Целью данной работы является исследование структуры неоднородно поляризованного сингулярного пучка Лагерра-Гаусса при его фокусировке сферической линзой.
ДИФРАКЦИЯ НЕОДНОРОДНО ПОЛЯРИЗОВАННОГО СИНГУЛЯРНОГО ПУЧКА
Рассмотрим поле циркулярно поляризованного сингулярного параксиального гауссова пучка, прошедшего одноосный кристалл вдоль его оптической оси г (рис. 1). Волновая функция такого пучка имеет вид [7]
г, ф, г) =
= ¡ЕехР(-""У еХР(г'/Ф)еХР(-^Ц*)' (1)
Рис. 1. Фокусировка сингулярного пучка: Сг - одноосный кристалл, Я/4 - четвертьволновая пластина, Р - поляризатор, Ls - линза. Картины распределения интенсивности пучка соответствуют плоскостям входной грани кристалла, линзы, первого, второго и третьего фокусов.
где = 1 + iz/zo, z0 = кр2/2 - длина Релея, р - радиус перетяжки пучка, к - волновое число, gx = cos 5/2 + + i sin5/2ехр0'а2ф), gy = ia[cos 5/2 - i sin5/2ехр0а2ф)] -элементы вектора-столбца Джонса, 5 =
= kAnr2/VГ + L2 ~ ar2, a = kAn/2L - разность фаз между локальными ортогональными компонентами электрического поля, вызванная анизотропией кристалла, An = ne - no, ne и no - показатели преломления необыкновенного и обыкновенного луча, l -топологический заряд, г и ф - радиальная и азимутальная координаты соответственно, a = ±1 - направление циркуляции электрического вектора (спиральность), L - толщина кристалла вдоль оси z (считается, что входная плоскость кристалла совпадает с плоскостью перетяжки пучка z = 0).
Расположим тонкую сферическую линзу с фокусным расстоянием f и радиусом апертуры г0 на расстоянии d от выходной грани кристалла и рассмотрим процесс фокусировки пучка. Чтобы най-
ти распределение поля вдоль оси г для параксиального случая, достаточно ограничиться рассмотрением дифракционного интеграла Кирхгофа для каждой компоненты вектора Джонса и Если через Я(г) обозначить радиус кривизны волнового фронта в плоскости апертуры линзы, то
величина г0 / |Л(г)|Я может характеризовать расходимость пучка. Остановимся на случае умеренной
расходимости [8], когда г0 / |Л(г)|Я ~ 1. Таким образом, наша задача будет охватывать три возможные зоны дифракции. Так, вблизи линзы имеем
г ^ г22 /Я и поле можно считать "геометро-оптическим". Затем оно становится френелевским, и только вблизи фокальной плоскости, где г ~ |, мы приходим к дифракции Фраунгофера.
Введем комплексный параметр д [9]
1 = _!__ • 2 д = К ( г) км>2 ( г )'
где м!(г) = р|^|, и учтем, что смещение пучка на расстояние й изменяет д на величину = д + й, а действие тонкой линзы с фокусным расстоянием / выражается преобразованием 1/д2 = 1/д1 - 1/1, в то время как волновое смещение описывается соотношением = д2 + г. Для каждой из компонент волновой функции Т в (1) запишем дифракционный интеграл Кирхгофа в виде
iA
W(x'У>(г', Ф', г) =
.kr"
Я q2
iexpI -i~2z ^eXp^-ik(Z + x
2n
X
Jdфexp
kr
i—r cos (ф - ф')
(2)
xJdrj [a0y cos ar2exp(Иф) +
+ bOУ sin a r2exp [ i (l + 2 а)ф]]х
x exp
2
kr_ (_Ц_ + IL^i rIH + 1 . 2 \q2 zJ
. х 1 у . , X
где А - амплитуда пучка, а0 = 1, а0 = га, Ь0 = г,
7 У Т"> X, у
Ь0 = а. В то же время, интегралы по ф при а0 и
7 X, у
Ь0 равны соответственно
2п
= | ехр
J. a0)
" kf
i—r cos (ф - ф') + Иф
z
dф =
Л bo)
2п
= J exp
= 2п ie'lvJl( br),
kr'
i—r cos (ф - ф') + i (l + 2а)ф
z
dф =
- .l + 2a i(l + 2а)ф' T /74
= 2п i e Jl + 2a( br),
x- y)( r ф' z) = 11+1 kA exp (-ik^.
2 z
Wy;(r, ф', z) = i
2 q2
_rexp I-i
x
xj a0yJ+ 1 J\i\(br)[exp[-i(C1 + a)r2]
^ r\
+
(3)
+ exp [-i(С1 - a)r2]]dr + i2a + 1 bO'yexp (i2аф') x
Г Ill + 1
Jr '
XJr
0
|l + 2a|
(br) x
х[ ехр [-г (С! + а) г ] -ехр [-г (С!- а) г ]]йг
где С = к(1/& + 1/г)/2.
Имеет смысл рассмотреть два случая: радиус перетяжки пучка значительно меньше радиуса апертуры линзы (г0 > р, р > Я), радиус перетяжки пучка сравним с радиусом апертуры (г0 ^ р, р > Я). СВОБОДНАЯ ФОКУСИРОВКА ПУЧКА
(го > р, р > Я) В выражении (3) можно взять бесконечно большой верхний предел интегрирования. Интегралы в (3) приведены к стандартной форме и имеют вид [10]
D
= J rl + 1 Jn (br) exp (-iCr2) dr =
(4)
2l +1 (iC)
b2
l +Iexp11С
D
(l a)
= J + 1 J\i + 2a( br) exp (-iCr2) dr =
l +1
l +2
+ 2' i4C_J, l0,
(5)
|l - 2
|l-2 +
0ll; ll-2|+1; i С
где Ji(br) - функция Бесселя первого рода l-ro порядка, b = kr'/z и в интеграле Кирхгофа использовалось разложение в ряд расстояния R между точкой на волновом фронте в плоскости z = 0 и точкой наблюдения
22 r r rr R - z + ___ + __---cos(ф - ф').
2z 2z z
Теперь выражение для волновой функции можно переписать в виде
2
^ I а < 0,
где у(и, г) - неполная гамма-функция, ^(а; Ь; г) -конфлюэнтная гипергеометрическая функция Куммера. В окончательном варианте волновую функцию (4) можно переписать как
<(la)( г ф' z) = Л +1 kA (-iкТ!
2 z
WZ'(r'-ф'' z) = r
2q2
_lexp I -i
x exp[-ik(z + d)]exp(Иф') x
(6)
yr +)
x { a0 [ D^'(r\ z) + D'(r, z)] +
x exp[-ik(z + d)] exp(Иф') x ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ том 96 < 1 2004
+ г2а +1Ь0уехр(г2аф')[г\ г) - г', г)]},
где индекс (+) соответствует С = С1 + а, а индекс (-) соответствует С = С1 - а.
Рассмотрим практически важные частные случаи.
r
0
r
0
0
0
0
0
ф
0
Гауссов пучок (I = 0, а = +1)
Если через одноосный кристалл проходит пра-воциркулярно поляризованный (а = +1) фундаментальный гауссов пучок (I = 0), на который затем действуют четвертьволновая пластинка и поляризатор (как это делалось, например, в работе [7]), то в поле пучка можно выделить особые области - оптические вихри, пространственное положение которых зависит от взаимной ориентации осей пластинки и поляризатора. При условии, что оси пластинки и поляризатора составляют угол в = п/4, в волновой функции (6) остается только слагаемое с Ь0 и ее можно записать в форме
¥(0)(г', ф', г) = 4--3ехр[-гк(й + г)] х
г?2
( 2 2. Л
х ( .кг'2 Чз- ?/г| х ехр -1 ---2-Г
( 2 Чз- С )
1|7 А 12- • гч2 чз [М - • 2 к ( чз" - ^ 2 ) _
ехр (¿2 ф') х
81П
22 а Ч 2 г
2 2 (Чз - С )
(7)
22 —Ч2 г 2 2 2 к (Чз - С )
008
22 —Ч 2 г
2 2 (Чз - С )
вительную и мнимую части в сомножителе (в фигурных скобках) волновой функции (7). Введем следующие обозначения:
22
ао = й/г + (/ - г)( й + го), Ъ) = /гго,
2
С2 = 2/г(й1 + г)), ах = а)- Ъ) - — С2, (8)
к2
Ъ = Ь))а)).
Тогда характерные слагаемые аргумента экспоненты, синуса и косинуса в (7) можно представить в виде
2 2 2 кг Чз- С /г .кГ
1 "2--2-Т + г -ГГ
2 Чз - С 2г
кг^^ г(а!а) + ЪЪ))
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.